2.5《一元一次不等式与一次函数》暑假讲义 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册暑假典题巩固练习 2.5 一元一次不等式与一次函数 一、基础知识 一元一次不等式与一次函数的关系： 1. 不等式或0的解集即为一次函数的图象与轴交点处图象对应的自变量的取值。 的解集为 的解集为 2. 不等式或的解集即为一次函数与的图象交点处图象对应的自变量的取值。 的解集为 的解集为 二、典题练习 一、单选典题练习 1．如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　） A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2 2．数形结合是非常重要的数学思想，利用数形结合可以帮助我们换个角度思考问题．例如我们可以从“图形”的角度来研究一元一次不等式：在解不等式x+1＞2（2x﹣1）时，我们可以令y1＝x+1，y2＝2（2x﹣1）＝4x﹣2，在平面直角坐标系中分别画出函数y1＝x+1和函数y2＝4x﹣2的图象，如图所示，观察图象可知当x＜1时，y1＞y2，即x+1＞2（2x﹣1），所以原不等式的解集为x＜1． 请你用以上方法解决下面的问题：已知关于x的不等式kx+b＞3x的解集是x＜1，则下列选项中可能是一次函数y＝kx+b图象的是（　　） A． B． C． D． 3．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝﹣|kx+1|+b（k，b为常数，k≠0）上，下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2＜b，则 B．若x1x2，则|b﹣y1|＞|b﹣y2| C．若y1＜y2＜b，则 D．若x1x2，则|b﹣y1|＜|b﹣y2| 4．已知一次函数y1＝mx+n和y2＝ax+b的图象如图所示，有下列结论：①ab＞0；②a+b＞m+n；③2（a﹣m）＝b﹣n；④P（x1，y1）、Q（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 5．已知整数a使得不等式组的解集为x＜﹣3，且一次函数y＝（a﹣3）x+3的图象经过第四象限，则满足条件的整数a的个数最多为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 6．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论：①当x＞0时，y1＞0，y2＞0；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③；④d＜a+b+c．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空典题练习 7．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象经过第一、二、四象限，与x轴交于点A（2，0），那么不等式kx+b＞0的解集是 　 　． 8．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）和y＝mx+n（m≠0）与x轴的交点分别为和．则不等式组的解集是 　 　． 9．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4）和点B（﹣4，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组mx＜kx﹣b＜0的解集为 　 　． 10．一次函数y1＝kx+b（k≠0，k、b是常数）与y2＝mx+3（m≠0，m是常数）的图象交于点D（1，2），则下列结论： ①关于x的方程kx+b＝mx+3的解为x＝1； ②一次函数y2＝mx+3（m≠0）图象上任意不同两点A（xa，ya）和B（xb，yb）满足：（xa﹣xb）（ya﹣yb）＜0； ③若|y1﹣y2|＝b﹣3（b＞3），则x＝0； ④若b＜3，且b≠2，则当x＞1时，y1＞y2； 其中正确的结论有 　 　（填写所有正确结论的序号）． 11．在平面直角坐标系中，一次函数y1＝mx+2m﹣1（m≠0）的图象为直线l，在下列结论中： ①无论m取何值，直线l一定经过某个定点； ②过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是； ③若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝1； ④对于一次函数y2＝a（x﹣3）+1（a≠0），无论x取何值，始终有y2＞y1，则a＝m，m＜0或． 其中正确的是 　 　．（填写所有正确结论的序号）． 12．已知直线yx+2与函数y图象交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）点A的坐标是　 　； （2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝　 　时，|OA'﹣OB'|取最大值． 三、解答典题练习 13．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣4，0），B（2，6）两点． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积； （3）请直接写出当kx+b＜0时的x的取值范围． 14．探究函数的性质可以扩展我们的数学思维、某班数学兴趣小组同学探究函数y＝a|x﹣1|+b（a，b为常数，且a≠0）的性质，探究过程如下，请解决下列问题： （1）绘制函数图象： ①列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 m … 分析数据，完成填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　； ②描点：在平面直角坐标系中，根据表中的数值描点（x，y），现已描出部分点，请补充表中未描出的各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． （2）探索函数性质： 当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而 　 　； （3）运用函数性质： ①不等式a|x﹣1|+b≥5的解集是 　 　； ②当x＞4时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝a|x﹣1|+b的值且小于7，则t的值为 　 　． 15．已知关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a，则称这两个一次函数为“衍生函数”． （1）当a＝1，b＝2时，求这两个“衍生函数”图象的交点坐标； （2）若a＜b＜0，求当ax+b＞bx+a时，x的取值范围； （3）若两函数图象的交点为P，且a+b≠0，当点P在函数y＝m（ax+b）+n（bx+a）的图象上时，求m与n的数量关系． 16．请根据函数相关知识，对函数y1＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表； ②描点； ③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n … （1）表格中：m＝　 　，n＝　 　． （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象． （3）观察图象，回答问题： ①当x 　 　时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为 　 　； ③已知点（2022，a）和（2023，b）在函数y1＝2|x﹣3|﹣1的图象上，则a 　 　b；（填“＞”或“＜”） ④已知直线y2过点（1，3）和（4，1），直接写出当y1≤y2的x取值范围是 　 　． 17．如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D． （1）求一次函数的解析式； （2）求C点的坐标； （3）求△AOD的面积； （4）直接写出不等式kx+b＜0的解集　 　． 18．在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合所学研究函数的方法，我们研究函数y＝﹣2|x|+b性质及其应用，请根据下表信息，按要求完成下列各小题． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣6 ﹣4 m 0 2 n ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）b＝　 　，m＝　 　，n＝　 　； （2）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确（正确的打√，错误的打×）； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ 　 　） ②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．（ 　 　） （4）请在同一平面直角坐标系中再画出函数y＝2x﹣4的图象，结合函数y＝﹣2|x|+b的图象，直接写出不等式﹣2|x|+b＞2x﹣4的解集 　 　． 参考答案 一、单选典题练习 1-6．CCABBC． 二、填空典题练习 7．x＞2． 8．． 9．2＜x＜4； 10． 　①②④　 11．①②． 12．6． 三、解答典题练习 13．解：（1）根据题意得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+4； （2）当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴一次函数与y轴的交点坐标为（0，4）， ∵一次函数与x轴的交点A点的坐标为（﹣4，0）， ∴这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积4×4＝8； （3）当kx+b＜0时的x的取值范围为x＜﹣4． 14解：（1）①当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1， ∴， 解得， ∵函数的解析式为y＝2|x﹣1|+1， 把x＝4代入得y＝2×3+1＝7， ∴m＝7； ③画出函数图象，如图所示： （2）根函数图象可知：当x＜1时，y随x的增大而减小，当x≥1时，y随x的增大而增大； （3）①根据函数图象可知，当x≤﹣1或x≥3时，y＝a|x﹣1|+b的函数值大于等于5， ∴不等式a|x﹣1|+b≥5的解集为：x≤﹣1或x≥3； ②把x＝4代入y＝2|x﹣1|+1得：y＝7， 把（4，7）代入得：， 解得：t＝10， 如图，当x＞4时，对于x的每一个值，函数的值小于函数y＝a|x﹣1|+b的值且小于7，t的值应该满足当t＜10． 15解：（1）依题意得：， 解得， 则这两个伴生函数的交点坐标为（1，3）； （2）如图， 解方程组得， 所以一次函数y＝ax+b、y＝bx+a的图象交点的坐标为（1，a+b）． 所以，当ax+b＞bx+a时，x的取值范围是：x＜1； （3）由（2）知，P（1，a+b）， 所以a+b＝m（a+b）+n（b+a）， 整理，得 m+n＝1． 16．解：（1）当x＝1时，m＝2×|1﹣3|﹣1＝3， 当x＝6时，n＝2×|6﹣3|﹣1＝5， 故答案为：3，5； （2）根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）①由图可知，当x＜3时，y随x的增大而减小， 故答案为：＜3； ②当x＝3时，函数值y最小，最小值为﹣1． 故答案为：﹣1； ③把x＝2022和x＝2023分别代入y1＝2|x﹣3|﹣1得，a＝4037，b＝4039， ∵4037＜4039， ∴a＜b， 故答案为：＜； ④∵直线y2过点（1，3）和（4，1），如图所示， ∴当y1≤y2的x取值范围是1≤x≤4， 故答案为：1≤x≤4． 17．解：（1）把A（m，2）代入y＝2x得2m＝2，解得m＝1，则A（1，2）， 把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得，解得， 所以一次函数解析式为y＝x+1； （2）当x＝0时，y＝x+1＝1，则C（0，1）； （3）当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，则D（﹣1，0）， 所以△AOD的面积1×2＝1； （4）利用图象得x＜﹣1时，kx+b＜0， 所以不等式kx+b＜0的解集为x＜﹣1． 故答案为x＜﹣1． 18． 解：（1）把x＝0，y＝2代入y＝﹣2|x|+b得，b＝2， ∴y＝﹣2|x|+2， 将x＝﹣2代入函数y＝﹣2|x|+2得，y＝﹣2×|﹣2|+2＝﹣2， ∴m＝﹣2， 将x＝1代入函数y＝﹣2|x|+2得，y＝﹣2×|1|+2＝0， ∴n＝0， 故答案为：2，﹣2，0； （2）画出函数图象如图， ； （3）观察图象可知： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴； ②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大． 故答案为：√；√； （3）在坐标系中，画出直线y＝2x﹣4如图， 解，得， ∴直线y＝2x﹣4与y＝﹣2|x|+2的交点为（，﹣1）． 由图象可知：不等式﹣2|x|+b＞2x﹣4的解集是x． 故答案为：x． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$