精品解析：湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年春季七年级期末限时检测试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的娃名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共27个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，0.3，，，3.14159265中，无理数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：在，，0.3，，，3.14159265中，无理数有，，共2个． 故选B． 2. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵ ，∴，故成立，不符合题意； B．∵ ，∴，故成立，不符合题意； C．∵ ，∴，故成立，不符合题意； D．∵ ，∴当时，，时，，故原式不成立，符合题意； 故选D． 3. 以下调查中，适合全面调查的是（ ） A. 调查一批笔记本电脑的使用寿命 B. 调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量 C. 调查湘江的水质情况 D. 调查全市中学生每天完成作业需要的时间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A．调查一批笔记本电脑的使用寿命，宜采用抽样调查； B．调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量，宜采用全面调查； C．调查湘江的水质情况，宜采用抽样调查； D．调查全市中学生每天完成作业需要的时间，宜采用抽样调查； 故选B． 4. 中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（ ） 山名 东岳泰山 南岳衡山 西岳华山 北岳恒山 中岳嵩山 海拔 1533 1300 2155 2016 1492 A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 直方图 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查统计图的选择，熟练掌握统计图的应用是解题的关键．根据题意得到答案即可． 【详解】解：根据题意，需要直观比较五座山的高度，应选择条形统计图． 故选：A． 5. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．分别计算出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．最后用数轴表示不等式的解集即可，用数轴表示不等式的解集要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为， 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示， 故选：B． 6. 点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标是解题的关键；由题意易得点P的横坐标为，纵坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2， ∴点P的坐标为． 故选D． 7. 如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，在所有连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，据此即可求解． 【详解】解：皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是垂线段最短   故选：D ． 8. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】根据和算术平方根、平方根的性质逐一判断即可． 【详解】A、是无理数，说法正确； B、2＜＜3，说法正确； C、5的平方根是±，故原题说法错误； D、是5的算术平方根，说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的区别，无理数的估算，关键是要熟记平方根和算术平方根的区别． 9. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是 ，在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为5，则被墨水所覆盖的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，将代入，可求出值，进而可得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为，代入方程组的解，可求出的值，再对照题意，即可得出被墨水所覆盖的图形，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：将代入（2）中第一个方程得：， 解得：， 图（2）所表示方程组的解为． 设被墨水所覆盖的图形表示的数为， 将代入得：， 解得：， 被墨水所覆盖的图形为 故选：D． 10. 已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是根据不等式组的公共解集，求参数的取值范围，分别求两个不等式的解集，根据公共解集的取法：同小取小是解决此题的关键． 【详解】解：解，得， 解得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若点在x轴上，则a的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的定义，轴上的点的坐标特点，理解坐标轴上的点的特点理解是解题的关键． 根据轴上的点的坐标特点，即可确定的值，平面直角坐标系中轴上点的坐标特点：纵坐标为0． 【详解】点在轴上 故答案为：． 12. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查已知字母的值求代数式的值，掌握偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出是解题的关键． 根据偶次方的非负性及算术平方根的非负性求出，代入中计算即可． 【详解】∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把含y的项放到方程左边，移项，化系数为1，求y即可 【详解】解： ，即 故答案为： 【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式． 14. 已知是二元一次方程组的解，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 则． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 15. 一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据平行线的性质可以得到，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图在一个单位为1的方格纸上，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是探究规律题型，考查了点的坐标，由特殊点出发找到规律是解题的关键． 根据图形先确定出在第四象限，再写出前几个三角形的相应的点的坐标，从而得到点坐标的变化规律，然后写出即可． 【详解】解：由图形可知，在第四象限， ∵，，…， ∴ ∴ 故答案为． 三、解答题（本大题共6小题，共30分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方和绝对值，再算加减． 【详解】原式． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是通过消元法消除其中一个未知数，进而求解方程组． 可先将方程①乘以2再加上②，使两个方程中的系数互为相反数，再将两个方程相加消去，求出的值，最后求出的值． 【详解】解：得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为 19. 求不等式的非负整数解． 【答案】不等式的非负整数解为0或1 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后找出其中的非负整数解即可． 【详解】， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 原不等式的非负整数解为：或1． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求解两个不等式，然后得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． （1）请在图中画出； （2）写出平移后的三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）； （3）求的面积． 【答案】（1）作图见详解 （2），；0，1；，0 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了图形在坐标系内的平移问题，熟练掌握平移规律和利用切割法求不规则三角形面积的方法是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标； （3）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求： 【小问2详解】 解：，，； 故答案为：，；0，1；，0． 【小问3详解】 解：如图可得： ． 22. 某学校“爱数学”社团随机抽取部分八年级学生对“学习习惯”进行问卷调查，其中有一个问题是：你会对自己做错的题目进行整理、分析错因并更正（ ） A．很少 B．有时 C．常常 D．总是 “爱数学”社团将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______，______； （2）请你补全条形统计图； （3）求“常常”对应扇形的圆心角的度数； （4）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生共有多少名？ 【答案】（1）200、、 （2）见解析 （3）“常常”对应扇形的圆心角为 （4）“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生共有1980名 【解析】 【分析】（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出、的值各是多少； （2）根据“常常”对应的人数的百分比是，求出“常常”对应的人数，然后补全统计图即可； （3）根据“常常”对应的人数的百分比是，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可； （4）用该校学生的人数乘“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可． 【小问1详解】 解：∵（名）， ∴该调查的样本容量为， ， ； 【小问2详解】 （名）， 补全图形如下所示： 【小问3详解】 “常常”对应扇形圆心角为：； 【小问4详解】 ， 答：“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正学生共有1980名． 【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 四、几何证明与计算（本大题共2小题，共14分） 23. 几何证明填空： 已知：如图，E，F分别是和上的点，分别交于G，H两点，，． 求证：． 证明：（已知）， （______）， （等量代换）， （______）， ______（两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ______（______）， （______）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．根据已知条件，先判定和，然后利用平行线的性质来求证． 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等） （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；；两直线平行，内错角相等 24. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠B＝38°． 【解析】 【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明； （2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°． 【详解】（1）∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°. ∵AD∥EF （2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 五、应用题（本大题共1小题，共8分） 25. 为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元． （1）购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？ （2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元； （2）学校共有四种购买方案 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元， 依题意得， 解得， 答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元； 【小问2详解】 解：设甲种足球买m个，则乙种足球买个， 所以， 解得． m为整数， 或28或29或30． 答：学校共有四种购买方案． 六、拓展延伸题（本大题共2小题，共20分） 26. 定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． （1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； （2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； （3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 【答案】（1）①B，C；② （2） （3）的平方根为． 【解析】 【分析】（1）根据定义分别求得的值即可求解； （2）解不等式组得，根据是“爱心点”可得；进一步可得，，据此即可求解； （3）由题意得，解不等式组得；根据p，q为有理数可得，据此即可求解 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴ ∴ 同理：由得： 此时， 由得： 此时，， ∴是“爱心点”的有； ②∵点是“爱心点” ∴且 即： 故答案：①B，C；② 【小问2详解】 解：解不等式组得： ∵是“爱心点”， ∴由（1）可知： ∵s是不等式组的最大整数解 ∴ ∴ ∴， 解得： 小问3详解】 解：∵点是“爱心点”， ∴ 由，得： ∴ ∵p，q为有理数， ∴ ∴ ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次不等式组的求解、二元一次方程组的求解等知识点，正确理解题意是解题关键． 27. 如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数； （3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的度数不变；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）过点P作，分别证明，，进而可证； （2）设，，则，然后根据（1）的结论求解即可； （3）连接，设，，则，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，从而，求出，由（1）得，进而可求出，即的度数不变． 【小问1详解】 证明：如图1，过点P作， ， ， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 设，， 平分， ， 由（1）结论可知：， ， 由（1）结论可知：， ， ， 【小问3详解】 的度数不变． 理由如下：连接， 设，，则， FM平分∠PFD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数不变， 的度数不变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季七年级期末限时检测试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的娃名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共27个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，0.3，，，3.14159265中，无理数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下调查中，适合全面调查的是（ ） A. 调查一批笔记本电脑的使用寿命 B. 调查“神舟十七号”飞船的零部件的质量 C. 调查湘江的水质情况 D. 调查全市中学生每天完成作业需要的时间 4. 中华五岳，是中国的五座历史文化名山，它们的海拔高度如下表所示，为了能更清楚地体现五岳的海拔高度，下列的统计图中最合适的是（ ） 山名 东岳泰山 南岳衡山 西岳华山 北岳恒山 中岳嵩山 海拔 1533 1300 2155 2016 1492 A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 直方图 5. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，体育老师在用皮尺测量跳远成绩时，皮尺要与起跳线垂直，这样做的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D 垂线段最短 8. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 9. 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图中的（1）（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是 ，在图（2）所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图（2）所表示的方程组中x的值为5，则被墨水所覆盖的图形是（ ） A. B. C. D. 10. 已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若点在x轴上，则a的值为_____． 12. 若，则_____． 13. 已知方程，用含代数式表示，则________． 14. 已知是二元一次方程组的解，则的值是______． 15. 一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为_____． 16. 如图在一个单位为1的方格纸上，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为_____． 三、解答题（本大题共6小题，共30分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 求不等式的非负整数解． 20. 解不等式组： 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到． （1）请在图中画出； （2）写出平移后三个顶点的坐标：（______，______），（______，______），（_____，____）； （3）求的面积． 22. 某学校“爱数学”社团随机抽取部分八年级学生对“学习习惯”进行问卷调查，其中有一个问题是：你会对自己做错题目进行整理、分析错因并更正（ ） A．很少 B．有时 C．常常 D．总是 “爱数学”社团将调查结果的数据进行了整理，绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为______，______，______； （2）请你补全条形统计图； （3）求“常常”对应扇形圆心角的度数； （4）若该校有3000名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析错因并更正的学生共有多少名？ 四、几何证明与计算（本大题共2小题，共14分） 23. 几何证明填空： 已知：如图，E，F分别是和上的点，分别交于G，H两点，，． 求证：． 证明：（已知）， （______）， （等量代换）， （______）， ______（两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ______（______）， （______）． 24. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 五、应用题（本大题共1小题，共8分） 25. 为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元． （1）购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？ （2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？ 六、拓展延伸题（本大题共2小题，共20分） 26. 定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． （1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； （2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； （3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 27. 如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数； （3）如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $