精品解析：湖北省黄石市阳新县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

阳新县2023～2024学年度下学期期末质量检测 八年级数学试卷题 （考试时间：120分钟 满分：120） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x≥3且x≠5 B. x＞3且x≠5 C. x＜3且x≠5 D. x≤3且x≠5 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 4. 若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A. 5 B. 25 C. D. 5或 6. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ） 年龄/岁 11 12 13 14 频数/名 5 6 A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 7. 根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知一次函数，当时，，则k的值为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：__________________． 12. 一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是_______________． 13. 如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝__° 14. 如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为___________． 15. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 16. 已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题（共9小题，满分72分，每小题8分） 17. 计算： （1）； （2）． 18 如图，根据图中信息解答下列问题： （1）直接写出关于的不等式的解集； （2）当时，直接写出取值范围． 19. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 20. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，，且平分，点E为边的中点，连接，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 21. 4月22日是“世界地球日”，某校开展了环保知识网上答题竞赛活动，现从该校八、九年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理，描述和分析（成绩用x表示，单位：分），共分成四个组：A．，B．，C．，D．．给出了部分信息如下： 八年级10名学生的成绩：68，79，84，85，87，92，92，94，96，98． 九年级10名学生的成绩在C组的数据：81，83，84，86，88． 八、九年级抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a 89.5 c 九年级 85 b 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）求八年级此次抽取的10名学生的平均成绩a； （3）学校拟将成绩大于或等于90分的学生评为“环保达人”予以表扬，若该校八、九年级各300人参加了此次网上答题竞赛活动，估计八、九年级受表扬的学生总人数是多少？ 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上．请按下列要求作图． （1）将三角形向右平移8个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并求出其面积； （2）过点画的垂线，标出垂足； （3）过点画的平行线． 23. “双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出a，b的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 24. 如图1，在正方形中，点E为边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段上，过点F的直线，分别交，于点M，N． （1）求证：； （2）如图2，当点F为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线，与交于点G，连接，求证：； （3）如图3，当点E为延长线上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线，于点M，N，结论“”还成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． 25 如图，直线与坐标轴分别交于点A，C，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的解析式． （2）若点在的内部，求m的取值范围． （3）若过点O直线L将分成的两部分的面积比为，直接写出L的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阳新县2023～2024学年度下学期期末质量检测 八年级数学试卷题 （考试时间：120分钟 满分：120） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x≥3且x≠5 B. x＞3且x≠5 C. x＜3且x≠5 D. x≤3且x≠5 【答案】B 【解析】 【分析】综合二次根式以及分式和负整数指数幂的定义分别确定即可． 【详解】由题意，，解得：且， 故选：B． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围问题，熟记分式，二次根式等常见的代数式有意义的条件是解题关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，立方根等知识，解题的关键是掌握二次根式的性质以及立方根的定义．根据二次根式的性质一一判断即可． 【详解】解：、，本选项错误，不符合题意； 、，本选项错误，不符合题意； 、，本选项正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可． 【详解】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢， 选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意； 选项D中容器下细上粗，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中得到水的高度随时间上升的快慢以及各容器的结构是解答的关键． 4. 若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的对称性，根据正比例函数关于原点对称即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴由正比例函数的对称性可知它一定经过， 故选：C． 5. 已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A. 5 B. 25 C. D. 5或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4， ∴该直角三角形的斜边长的平方为， ∴该直角三角形的斜边长为5，即第三边长是5， 故选：A． 6. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ） 年龄/岁 11 12 13 14 频数/名 5 6 A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数、众数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平均数、方差受频数的影响，不能分析得出，故A、B不满足要求； 由中位数是第位数的平均数，可知，中位数为，故符合要求； 由众数是出现次数最多的数，可知，不能分析得出，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键． 7. 根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别相等，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，只得到一组对边平行，不能得到四边形为平行四边形，符合题意； C、根据对角线互相平分，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行，得到四边形的两组对边分别平行，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 8. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，方差的计算，同一组数据同时乘以一个相同非零数，再加或减去同一个数对平均数，方差的影响，掌握平均数，方差的计算方法是解题的关键．根据平均数，方差的计算公式即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ， ， 数据，，，，的平均数和方差分别是，， 故选：D． 9. 已知一次函数，当时，，则k的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大， ∴当时，且当时，， 令，，得：，解得，不符题意， 令，，得：，解得，不符题意， 当时，一次函数y随x增大而减小， ∴当时，且当时，， 令，，得：，解得， 令，，得：，解得，符合题意， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出选项D错误． 【详解】在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 故选项A正确，不符合题意； ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选项B正确；不符合题意； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，， 故选C正确，不符合题意； 由上述①、⑤、③可得、，， ， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 计算：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案：． 12. 一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是_______________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．分别假设众数为11，7，9分类讨论，找到符合题意的值即可． 【详解】若众数为11，则数据为11，7，9，11，此时中位数为10，不符合题意； 若众数为9，则数据为11，7，9，9，中位数为9，符合题意； 若众数为7，则数据为11，7，9，7，中位数为8，不符合题意， 故答案为：9． 13. 如图，A，B，C，D四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠ADB﹣∠BDC＝__° 【答案】45 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质得到∠EDB＝∠CDB，可得∠ADB−∠BDC＝∠ADE，根据勾股定理和勾股定理的逆定理得到△EAD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】如图，找到C点关于DB的对应点，连结DE，AE， 则∠EDB＝∠CDB， ∴∠ADB−∠BDC＝∠ADB−∠BDE＝∠ADE， ∵，， ∴ ∴， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴∠ADE＝45°，即∠ADB−∠BDC＝45°． 故答案为：45． 【点睛】此题主要考查了轴对称、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，得出∠ADB−∠BDC＝∠ADE是解题关键． 14. 如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 故答案为：3． 15. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 16. 已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】97 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，将多个不规则的图形补凑成规则图形是解题关键．令其中2个部分的面积分别为、，用两种方式表述出矩形面积的一半，化简即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，令其中2个部分的面积分别为、， 矩形面积的一半，矩形面积的一半， ， ， 故答案为：97． 三、解答题（共9小题，满分72分，每小题8分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可； （2）先分别利用平方差公式以及完全平方公式进行展开，然后再合并同类二次根式即可. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，根据图中信息解答下列问题： （1）直接写出关于的不等式的解集； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与不等式，一次函数与不等式组，解题的关键是： （1）找到的图象在下方时对应的x的范围即可； （2）根据图象找到当两函数图象都在x轴上方，且图象在上方时，x的范围即可． 【小问1详解】 解：如图，的图象与y轴交于， ∴当时，的图象在下方， 即不等式的解集为； 【小问2详解】 由图可知：当两函数图象都在x轴上方，且图象在上方时， x的范围是：， ∴当时，． 19. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，接下来再利用，计算即可求得长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴． 答：船向岸边移动了米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，求出10s后的值是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，，且平分，点E为边的中点，连接，连接交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由直角三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 小问1详解】 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ， ∵点E为边的中点， ， ， ， ， 即的度数为． 21. 4月22日是“世界地球日”，某校开展了环保知识网上答题竞赛活动，现从该校八、九年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理，描述和分析（成绩用x表示，单位：分），共分成四个组：A．，B．，C．，D．．给出了部分信息如下： 八年级10名学生的成绩：68，79，84，85，87，92，92，94，96，98． 九年级10名学生的成绩在C组的数据：81，83，84，86，88． 八、九年级抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a 89.5 c 九年级 85 b 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______； （2）求八年级此次抽取的10名学生的平均成绩a； （3）学校拟将成绩大于或等于90分的学生评为“环保达人”予以表扬，若该校八、九年级各300人参加了此次网上答题竞赛活动，估计八、九年级受表扬的学生总人数是多少？ 【答案】（1）85；92；10 （2） （3）八、九年级受表扬的学生总人数是240人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出b、c的值即可；根据用1减去其他三项的百分比求出m的值即可； （2）根据平均数定义求出a的值即可； （3）分别求出八、九年级成绩在90分以上的学生人数相加即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵九年级成绩在、两组的学生人数各有（人）， ∴将九年级10名学生的成绩从小到大进行排序，排在第5的学生成绩为84，第6的学生成绩为86， ∴中位数； ∵八年级10名学生成绩：68，79，84，85，87，92，92，94，96，98，出现次数最多的是92， ∴众数； 故答案为：85；92；10． 【小问2详解】 解：八年级此次抽取的10名学生的平均成绩： ． 【小问3详解】 解：八年级受表扬的学生为（人）， 九年级受表扬的学生为（人）， （人）， 答：八、九年级受表扬的学生总人数是240人． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的平均数、中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数和众数定义，准确计算． 22. 如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点都在格点上．请按下列要求作图． （1）将三角形向右平移8个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并求出其面积； （2）过点画的垂线，标出垂足； （3）过点画的平行线． 【答案】（1）作图见解析， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、垂线、平行线的判定 （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． （2）利用网格，根据垂线的定义画图即可． （3）利用网格，根据平行线的判定画图即可． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求． 三角形面积为． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 小问3详解】 解：如图，即为所求． 23. “双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出a，b的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 【答案】（1）a的值为35，b的值为40 （2）①y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②当时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【解析】 【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围； ②根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 根据题意：， 解得， 答：a的值为35，b的值为40； 【小问2详解】 ①由题意得： ， ∵购进乒乓球拍的套数不超过150套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 则x的取值范围为：， ∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：； ②由题意得：， ∵， ∴当即时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大； 当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， 乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大； 当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组． 24. 如图1，在正方形中，点E为边上任意一点（点E不与B，C重合），点F在线段上，过点F的直线，分别交，于点M，N． （1）求证：； （2）如图2，当点F为中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线，与交于点G，连接，求证：； （3）如图3，当点E为延长线上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线分别交直线，于点M，N，结论“”还成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）做辅助线，构建平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）连接，构建全等三角形和直角三角形，证明，再根据四边形的内角和定理得，在和中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，则； （3）得出即可证明． 【小问1详解】 证明：过点作交于点，则， 正方形， ， 四边形是平行四边形，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， 由正方形的轴对称性得到， ， 于点，为中点， ， ， ， 由图可知，， ， 四边形的内角和为， ， 在和中，为斜边，为的中点， ， ， ； 【小问3详解】 证明：成立，理由如下： 连接， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，为斜边，为的中点， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形，全等三角形，平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等． 25. 如图，直线与坐标轴分别交于点A，C，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的解析式． （2）若点在的内部，求m的取值范围． （3）若过点O的直线L将分成的两部分的面积比为，直接写出L的解析式． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，根据对称得到点的坐标，最后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）将分别代入直线与直线解析式，即可解答； （3）分类讨论，即直线L与直线相交或者直线L与直线相交，求出交点坐标，根据三角形面积比即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入得， 解得， 所以直线BC的解析式为； 【小问2详解】 解：当点P在直线上时，可得，解得 当点P在直线上时，可得，解得 ∴当点P在的内部时，m的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图，当直线L与直线相交时，设交点为， 设直线L的解析式为， 联立方程，解得， , 根据题意得， 可得方程， 解得，经检验，符合题意； 此时直线L的解析式为； 如图，当直线L与直线相交时，设交点为， 设直线L的解析式为， 同理可得， 此时直线L的解析式为， 综上所述，L的解析式为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数，一次函数的交点，根据题意进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$