精品解析：北京市大兴区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

大兴区2023~2024学年度第二学期期中检测 初二数学 考生须知 1．本试卷共4页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需同时满足两个条件“一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母成为解题的关键． 根据最简二次根式的条件逐项判断即得可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键. 根据二次根式的性质可得，再化简绝对值即可解答. 【详解】解：∵，， ∴，即. 故选：D. 3. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的运算，算术平方根的性质，根据二次根式的性质，二次根式的运算逐项判断即可，正确计算是解题的关键． 【详解】、，原选项左向右变形正确，符合题意； 、，原选项左向右变形错误，不符合题意； 、，原选项左向右变形错误，不符合题意； 、，原选项左向右变形错误，不符合题意； 故选：． 4. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，3，3 B. 1，， C. 4，5，7 D. 2，，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理的应用，最大边的平方等于两个较小的边的平方之和，即为直角三角形，据此进行作答即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，故该选项是错误的； B、，能作为直角三角形的三边长，故该选项是正确的； C、，不能作为直角三角形的三边长，故该选项是错误的； D、2，，5，不能作为三角形的三边长，故该选项是错误的； 故选：B． 5. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 6. 为迎接2024年5月28日北京大兴西瓜节，某西瓜交易市场准备在空地处建造一个菱形花坛，若菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积（单位：平方米）为（ ） A. 15 B. 24 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可． 【详解】解：菱形的面积， 故选：C． 7. 如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，点落在点处，折痕为，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，由翻折得，设，则，在中，利用勾股定理得出方程．本题主要考查了翻折的性质，矩形的性质，以及勾股定理等知识，运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得： ， 折叠纸片使边落在对角线上， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接AC， ∵点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点的横坐标为， 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 10. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 11. 化简：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，进行分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质，确定分母的有理化因式是解题的关键． 12. 已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则． 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据三角形的中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，点分别为，的中点，且， ∴， 故答案为：40． 14. 如图，已知菱形一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得的度数，再根据，求得的度数，即可求解． 【详解】解：在菱形中， ∴，， 又∵ ∴ ∴ 故答案为25． 【点睛】此题考查了菱形的性质，涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分两种情况：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的坐标． 【详解】解：①当为平行四边形的边时，， ∵，，， ∴点C坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时，， 故答案：或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解． 16. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积为，然后求得，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， 根据勾股定理可知：大正方形的面积为②， 由①②可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24-25题，每小题6分，第26-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减运算，零指数幂和负整数指数幂，根据，，二次根式的加减运算求解即可． 【详解】 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用二次根式除法法则计算，然后运用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答． 【详解】解： ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则运算，再进行二次根式的化简最后合并即可得解． 【详解】解：原式=， =， = 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能够结合题目的特征，灵活运用二次根式性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. 已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是， ∴另一条直角边的长为． 21. 已知：，． 求作：矩形．作法：如图， ①作线段的中点； ②连接并延长，在延长线上截取； ③连接，． 四边形即为所求作的矩形． 完成下面的证明． 证明： ，， 四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ， 四边形是矩形（ ）（填推理的依据）． 【答案】；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定填空即可．本题考查平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定是解答本题的关键． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ， 四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 22. 如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质和垂直定义得到，，，进而证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，, ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，点为边中点，，求的长度． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，点为边中点， ∴． 24. 如图，在中，，延长到点，使，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，再证明结合即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 25. 已知：如图，在中，，的角平分线交边于点，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，证得成为解题的关键． 根据勾股定理逆定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后结合公共边可证，进而得到即可证明结论． 【详解】证明：∵，，， ∴, ∴， ∵的角平分线交边于点， ∴， ∵, ∴， ∴,即是等腰三角形． 26. 阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 解：设，， 由（1）得：， 解得：， ． 27. 已知：如图，正方形的边上有一动点（与点，不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交正方形的对角线于点．若． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）,证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）由直角三角形性质两锐角互余可得，根据正方形的性质可得，则，然后代入即可解答； （2）先说明，再证，再根据全等三角形对应边相等得出，由题意可得为等腰直角三角形，然后用表示出与，然后化简即可解答． 【小问1详解】 解：.理由如下： ∵， ∴， ∵正方形的对角线， ∴，即：， ∴． 【小问2详解】 解：线段与之间的数量关系：，证明如下： 如图：连接，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即． 28. 我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． （1）下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； （2）如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 【答案】（1）② （2）①见解析；②4． 【解析】 【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可； （2）①根据菱形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作于H，于G，证明四边形是矩形可得，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，最后四边形的面积=正方形的面积． 【小问1详解】 解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形． 故答案为：②． 【小问2详解】 ①证明:∵.四边形是菱形， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是对角直角四边形； ②如图：过N作于H，于G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大兴区2023~2024学年度第二学期期中检测 初二数学 考生须知 1．本试卷共4页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（每小题2分，共16分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 等于（ ）. A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，3，3 B. 1，， C. 4，5，7 D. 2，，5 5. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则AB的长为（ ） A 5 B. 3 C. 2 D. 1 6. 为迎接2024年5月28日北京大兴西瓜节，某西瓜交易市场准备在空地处建造一个菱形花坛，若菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积（单位：平方米）为（ ） A. 15 B. 24 C. 30 D. 60 7. 如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，点落在点处，折痕为，则的长为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 10. 计算：＝_______． 11. 化简：＝___． 12. 已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为______． 13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和．分别取，的中点D，E，测得D，E两点间的距离为，则A，B两点间的距离为______． 14. 如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______． 16. “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是______． 三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24-25题，每小题6分，第26-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 计算：． 20. 已知直角三角形的一条直角边的长是，斜边的长是，求另一条直角边的长． 21. 已知：，． 求作：矩形．作法：如图， ①作线段的中点； ②连接并延长，延长线上截取； ③连接，． 四边形即为所求作的矩形． 完成下面的证明． 证明： ，， 四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ， 四边形是矩形（ ）（填推理的依据）． 22. 如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：． 23. 如图，在中，，点为边中点，，求的长度． 24. 如图，在中，，延长到点，使，连接．求证：四边形是菱形． 25. 已知：如图，在中，，角平分线交边于点，且，．求证：是等腰三角形． 26. 阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． （1）求值； （2）求的值． 27. 已知：如图，正方形的边上有一动点（与点，不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交正方形的对角线于点．若． （1）求的大小（用含的式子表示）； （2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． （1）下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； （2）如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$