精品解析：山西省长治市部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023～2024学年高二期末质量检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2. 已知集合，，若，则集合P的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，再根据子集的定义即可得解. 【详解】， ， 因为， 所以集合可以为共个. 故选：C. 3. 已知，，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式即可得解. 【详解】由， 得， 所以， 又，所以向量的夹角为. 故选：B. 4. 已知函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得周期为4，在令即可得出答案. 【详解】由可得，两式联立得：，所以是周期为的函数，所以. 故选：C 5. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称法求解. 【详解】解：因为，且，， 所以， 故选：D 6. 的展开式中项的系数是（ ） A. B. C. 12 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，分别令的指数等于和，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 令，则， 所以的展开式中x的系数是. 故选：A. 7. 已知高为的正三棱台的外接球的表面积为，且，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出外接球的半径，利用勾股定理求得球心到下底面的距离与上底面外接圆半径的关系，再利用勾股定理可求出上底面外接圆的半径，进而可求出，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】如图，设正三棱台上下底面三角形的外接圆圆心分别为， 外接球的球心为，则， 设外接圆的半径为，正三棱台的外接球的半径为， 则外接圆的半径为， ，解得， 设， 当点在线段上时， 则有，解得， 故，解得， 此时，符合题意， 由正弦定理得，所以， 所以， 则， 所以正三棱台的体积为； 当点在线段的延长线上时， 则有，解得， 因为，所以， 此时，故这种情况不符题意，舍去， 综上所述，正三棱台的体积为. 故选：D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件表示出，然后结合求解出的关系式，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，化简可得，所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的常用方法： （1）定义法：根据已知条件列出方程组求解出的值，结合离心率计算公式求得结果； （2）齐次式法：根据已知条件得到关于的齐次方程，将其转化为关于离心率的方程，计算出结果即可； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值求得离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组互不相等的样本数据从小到大依次为，且这组数据的平均数为，标准差为，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的中位数是 B. 数据的分位数是 C. 数据的平均数是 D. 数据的标准差是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可判断A；根据百分位数的定义即可判断B；根据平均数的性质即可判断C；根据方差和标准差的性质即可判断D. 【详解】对于A，由题意数据的中位数是，故A正确； 对于B，因为，所以数据的分位数是，故B错误； 对于C，数据的平均数是，故C正确； 对于D，数据的方差为， 所以数据的标准差为，故D错误. 故选：AC. 10. 在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（ ） A. 若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B. 若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C. 若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D. 校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 【答案】BD 【解析】 【分析】从剩余人种选人即可判断A；利用排除法即可判断B；先选好人，在分组分配即可判断C；利用捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由题意，共有种选法，故A错误； 对于B，由题意，共有种选法，故B正确； 对于C，先选好人，共有种选法， 然后将人按要求分到三个展区，有种， 所以共有种选派法，故C错误； 对于D，由题意，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 11. 已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前n项和为 C. 数列的前n项和为 D. 若，数列的前n项和为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件可得，即可判断A，由数列的通项公式即可判断B，由错位相减法即可判断C，由裂项相消法即可判断D 【详解】对A,因为，则，其中， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故A错误； 对B,，则， 所以， 则数列的前n项和为，故B正确； 对C,设数列的前n项和为，则， 即①， 则②， ①②可得， 则，故C正确； 对D,因为， 则 ，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等. 【详解】由题意可知且. 故答案为： 13. 已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角恒等变换将函数化简，再由正弦函数的图像性质可得，代入计算，即可求解. 【详解】因为 ， 当时，， 由于函数在区间内恰有3个零点， 则有，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的周长为． （1）求角B的大小； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理角化边，然后再用余弦定理求解； （2）先求，再根据正弦定理求出，最后再代入面积公式即可. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得：， 所以， 所以，又 所以. 【小问2详解】 易知角为锐角，所以， ， 由正弦定理， 所以. 16. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 0 1 2 3 ，无关 （2）的分布列如下表，【解析】 【分析】（1）补充完表格计算卡方，然后判断是否大于等于6.635； （2）服从超几何分布，根据超几何分布概率公式计算即可. 【小问1详解】 男居民人数人，女居民人数人， 设看过《庆余年2》的人数为，没看过《庆余年2》的人数为， 则， 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 提出假设：是否观看过《庆余年2》与性别无关， ， 所以根据小概率值，可以认为是否观看过《庆余年2》与性别无关. 【小问2详解】 由（1）可知，在看过《庆余年2》的人中随机抽取9人中，男性居民有4人，女性居民有5人，服从超几何分布， ，， ，， 所以的分布列如下表 0 1 2 3 . 17. 如图1，在矩形ABCD中，，，将△沿对角线翻折到处，得到如图2所示的三棱锥，且，点是线段上一点，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：由题知. 在△中，，，， ，. ，，平面，平面. 平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）在△中，根据线段长度关系可证，又，根据线面垂直的判定定理可得平面，则可证； （2）过点作于点,过点作的平行线，结合平面,可以以为轴，为轴，过点的的平行线为轴建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点,过点作的平行线， 又由（1）知平面，以为轴，为轴，过点的的平行线为轴建立如图空间直角坐标系. 由题意可知，，，，. 在△中，根据等面积法，得,， 则 ，，，, 由，得, ，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，，. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． （1）求抛物线的方程； （2）分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程得到、的横坐标，用表示出，由解出，进而得到抛物线的方程； （2）联立直线与抛物线方程得到，，再由切线、的方程分别求得，进而利用圆心是弦的垂直平分线的交点求得外接圆圆心，从而求得圆的方程，再由定点的求法即可得解. 【小问1详解】 当，时，直线，联立得， 所以，解得，所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 设，，因为，所以，，， 联立并整理得，由韦达定理得，， 由得，从而， 所以直线即，令得，所以 同理直线，令得，所以 联立、：得，所以， 因为，，所以的外接圆圆心落在直线上， 由，知线段中点，， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立得， 所以外接圆圆心坐标为， 所以， 所以圆的方程为， 即， 令得，所以的外接圆过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的处理： （1）若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点； （2）证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理； （3）证明曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点. 19. 对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． （1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； （3）求证：． 【答案】（1）; （2） 由（1）可知，， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： ， 其中，介于与之间的常数， 所以， 因为为常数项，且， 所以函数为偶函数， 因为， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以， 故对任意的，. （3） 由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为 ， 所以， 令，则， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可； （3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明. 【小问1详解】 由题意，函数，且， 则， ， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年高二期末质量检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，若，则集合P的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知，，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中项的系数是（ ） A. B. C. 12 D. 44 7. 已知高为的正三棱台的外接球的表面积为，且，则正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组互不相等的样本数据从小到大依次为，且这组数据的平均数为，标准差为，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的中位数是 B. 数据的分位数是 C. 数据的平均数是 D. 数据的标准差是 10. 在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（ ） A. 若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B. 若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C. 若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D. 校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 11. 已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列的前n项和为 C. 数列的前n项和为 D. 若，数列的前n项和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程表示椭圆，则m的取值范围是______． 13. 已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是______． 14. 设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的周长为． （1）求角B的大小； （2）已知，，求的面积． 16. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 如图1，在矩形ABCD中，，，将△沿对角线翻折到处，得到如图2所示的三棱锥，且，点是线段上一点，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，． （1）求抛物线的方程； （2）分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点． 19. 对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． （1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $