精品解析：湖南省永州市新田县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年上期期末质量监测试卷 八年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．考生作答时，选择题和非选择题均作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本学科试卷共四道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. 可回收垃圾 B. 其他垃圾 C. 有害垃圾 D. 厨余垃圾 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 以下不能构成直角三角形三边的数组是（ ） A. （1，，2） B. （2，3，） C. （5，12，13） D. （7，15，17） 4. 下列说法正确的是（ ） A. 顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形． B. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． C. 任意多边形内角和是 D. 只要是证明两个直角三角形全等，都可以用“”定理． 5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是（　　） A. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C. ①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ 7. 下列命题正确是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 8. 对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 D. 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） 9. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知点P（﹣3，4），关于x轴对称的点的坐标为_____． 12. 若点在y轴上，则a的值为_________． 13. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____. 14. 如图，在中，，点，，分别为，，的中点，若，则的长度_________． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=__． 16. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____． 17. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．若，求的面积是________． 18. 如图，正方形边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24题每题9分，25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点． （1）求直线所对应的函数表达式． （2）若点在直线上，求的值． （3）利用图象直接写出：当时，的取值范围． 20. 如图，点，，，同一直线上，，，． 求证：． 21. 去年期末，某校八年级学生全部参加“城区初中学业水平监测”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为四个等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题． （1）抽取了_ 名学生成绩； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）扇形统计图中等级所在的扇形的圆心角度数是_ ； （4）若四个等级分别为优秀、良好、合格、不合格，该校八年级共有名学生，请估计生物考试成绩等级在合格以上(包括合格）的学生约有多少人． 22. 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求▱ABCD的面积． 23. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； 24. 为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 25. 如图，已知四边形为矩形，，点在上，，将沿翻折到，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 26. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为______；②点的坐标为______（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请直接写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上期期末质量监测试卷 八年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．考生作答时，选择题和非选择题均作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本学科试卷共四道大题，26道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. 可回收垃圾 B. 其他垃圾 C. 有害垃圾 D. 厨余垃圾 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形， B．既不是中心对称图形也不是轴对称图形， C．既是中心对称又是轴对称图形， D．是轴对称图形但不是中心对称图形， 故选C． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握上述定义，是解题的关键． 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解题，四个象限的符号特征为：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-） ． 【详解】小手盖住是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， 故选：D． 【点睛】本题考查象限及点的坐标的有关性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3. 以下不能构成直角三角形三边的数组是（ ） A. （1，，2） B. （2，3，） C. （5，12，13） D. （7，15，17） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、因为，故能构成直角三角形； B、因为，故能构成直角三角形； C、因为，故能构成直角三角形； D、因为，故不能构成直角三角形； 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 顺次连接任意一个四边形四边的中点，所得到的四边形一定是平行四边形． B. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形． C. 任意多边形的内角和是 D. 只要是证明两个直角三角形全等，都可以用“”定理． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的定义与性质、平行四边形的判定、多边形的内角和、直角三角形的判定定理，逐项判断即可，熟练掌握三角形的中位线的定义与性质、平行四边形的判定、多边形的内角和、直角三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、顺次连接任意一个四边形四边的中点，连接原四边形的对角线，新四边形的4条边分别是对应三角形的中位线，每组对边平行于一条原四边形的对角线，故所得到的四边形一定是平行四边形，说法正确，符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，原说法错误，不符合题意； C、边形的内角和，原说法错误，不符合题意； D、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用“”定理，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和. 【详解】由题意，正多边形的边数为， 其内角和为． 故选C. 【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键. 6. 尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是（　　） A. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C. ①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D. ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案． 【详解】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合； Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合； Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合， 所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，正确掌握基本作图方法是解题关键． 7. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 8. 对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 D. 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0， ∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确； B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0， ∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确； C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确； D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 9. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质，求的长． 【详解】解：如图，连接、， 正方形和正方形中，，， ，， ， ， 由勾股定理得，， 是的中点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 10. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案． 【详解】解：①如图1， ∵， ∴， ∵折叠，∴，NC=NP ∴， ∴， ∴PM=CN， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， 故①正确，符合题意； ②当点P与A重合时，如图2所示 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴，且， ∴ ∴， 故②错误，不符合题意． ③当过点D时，如图3所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为， 当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为， ∴，故③正确，符合题意． 故答案为：①③． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知点P（﹣3，4），关于x轴对称的点的坐标为_____． 【答案】(-3，-4) 【解析】 【详解】试题分析：关于x轴对称，则有横坐标不变，纵坐标互为相反数． 故为(-3，-4) 12. 若点在y轴上，则a的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟知y轴上的点的横坐标为0是解决问题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0即可解答． 【详解】∵点是y轴上的点， ∴点M的横坐标是0，即， 解得：． 故答案为：2 ． 13. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____. 【答案】4 【解析】 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】∵勾，弦， ∴股b=， ∴小正方形的边长＝， ∴小正方形的面积 故答案为4 【点睛】本题运用了勾股定理和正方形面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 14. 如图，在中，，点，，分别为，，的中点，若，则的长度_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在中，，D为的中点，， ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴． 故答案为：3 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=__． 【答案】 【解析】 【详解】分析：先求得∠ABD=60°，由翻折的性质可得到∠ABE=120°，于是可求得∠FBE=30°，最后依据特殊锐角三角函数值可求得EF的长． 详解：∵∠ADB=30°，∠BAD=90°， ∴∠ABD=60°． ∵由翻折的性质可知：∠ABE=120°，AB=BE=3，∠E=∠A=90°， ∴∠FBE=30°, ∴∠BFE=60°, ∴， 解得：EF=． 故答案为． 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、特殊锐角三角函数值，求解∠FBE的度数是解题的关键． 16. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是_____． 【答案】（4，） 【解析】 【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，A1的横坐标等于OB，而纵坐标等于OB-OA，即可得出答案． 【详解】解：在中，令x=0得，y=4， 令y=0，得，解得x=， ∴A（，0），B（0，4）， 由旋转可得△AOB ≌△A1O1B，∠ABA1=90°， ∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=，OB=O1B=4， ∴∠OBO1=90°， ∴O1B∥x轴， ∴点A1的纵坐标为OB-OA的长，即为4=； 横坐标为O1B=OB=4， 故点A1的坐标是（4，）， 故答案为：（4，）． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理是解题的关键． 17. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．若，求的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到，根据线段的和差得到，过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】在中， ， ， 平分， ， ， ∴， ； 过D作交的延长线于H， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，通过垂线段最短构造直角三角形即可求出的最小值． 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，使与重合，得到， ∴为等边三角形，点在垂直于的直线上， ∴，， 作，则即为的最小值，即当与重合时，作， ∵四边形是正方形，， ∴，， 由旋转性质可知，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转，矩形判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（19、20每题6分，21、22每题8分，23、24题每题9分，25、26题每题10分，共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点． （1）求直线所对应的函数表达式． （2）若点在直线上，求的值． （3）利用图象直接写出：当时，的取值范围． 【答案】（1）；（2）3；（3）； 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）把M代入解析式计算即可； （3）根据图象可得当时，小于B点的横坐标； 【详解】（1）设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线l所对应的函数表达式为． （2）∵点在直线上， ∴； （3）根据函数图象可知，点B的坐标为， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，准确计算是解题的关键． 20. 如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考考查了利用“”证明两直角三角形全等知识，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．利用“”证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴、是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 21. 去年期末，某校八年级学生全部参加“城区初中学业水平监测”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为四个等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题． （1）抽取了_ 名学生成绩； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）扇形统计图中等级所在的扇形的圆心角度数是_ ； （4）若四个等级分别为优秀、良好、合格、不合格，该校八年级共有名学生，请估计生物考试成绩等级在合格以上(包括合格）的学生约有多少人． 【答案】(1)50；(2)见解析；(3)72°；(4)810人 【解析】 【分析】(1)根据B等级的人数除以所占的百分比，确定抽取的学生总数即可； (2)求出D等级的人数，补全频数分布直方图即可； (3)根据A等级的百分比乘以360°，即可得到结果； (4)由学生总数900乘以A、B、C三个等级所占的百分比，即可得到全年级生物合格的学生人数． 【详解】解：(1)抽取的学生总数为：23÷46%=50(名)， 故答案为：50； (2)D等级的学生有50-（10+23+12）=5(名)， 补频数分布全直方图，如图所示： (3)A等级所在的扇形的圆心角度数=(10÷50)×360°=72°， 故答案为：72°； (4)根据题意得：全年级生物合格的学生共约有900×(1-5÷50)=810(人)， 故答案为：810人； 【点睛】此题考查了频数分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体的应用，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，弄清题中的数据是解本题的关键． 22. 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求▱ABCD的面积． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知，，结合题意可判定为等边三角形，即得出，从而可证明，即平行四边形ABCD为矩形，再根据勾股定理可求出BC的长，最后由矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∵∠AOB=60°，AB= AO=2， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识．由题意证明出平行四边形ABCD为矩形是解题关键． 23. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长； 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）先证明得到进而证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，点O为的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 24. 为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）y=8x（0≤x<20），y=6.4x+32（x≥20）；（2）当购买数量x=35时，W总费用最低，W最低=326元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图像找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组求出x的取值范围，再根据“所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用”可得出W关于x的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：（1）当0≤x<20时，设y与x的函数关系式为：y=mx， 把（20，160）代入y=mx，得160=20m， 解得m=8, 故当0≤x<20时，y与x的函数关系式为：y=8x； 当x≥20时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b， 把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得： ， 解得：， ∴y=6.4x+32． ∴y与x的函数关系式为：y=8x（0≤x<20），y=6.4x+32（x≥20）； （2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量， ∴， ∴22.5≤x≤35， 设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347， ∵k=﹣0.6， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=326（元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解决该题型题目时，根据函数图像找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 25. 如图，已知四边形为矩形，，点在上，，将沿翻折到，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）可证，，从而可证，即可求证； （2）过作交于，交于，可证，，设，则，可求，，从可求，再求，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由翻折得：，，， ， ， ， ， 在和中 ， ()． 【小问2详解】 解：如图，过作交于，交于， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 设，则， 由（1）得：，， ， ，， ， 即， ， 在，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质，特殊角的三角函数值，矩形的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 26. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为______；②点的坐标为______（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请直接写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得OA长，由对应边相等可得B点坐标； （2）通过证明得出点B坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； （3）设点Q坐标为，可通过证三角形全等的性质可得a的值，由Q点坐标可间接求出P点坐标. 【详解】解：（1）如图1，作轴于F，轴于E. 由A点坐标可知 在中，根据勾股定理可得； 为等腰直角三角形 轴于F，轴于E 又 所以B点坐标为： （2）如图，过点作轴． 为等腰直角三角形 轴 又 ∴， ∴， ∴． 设直线表达式为 将和代入，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式． （3）如图3，分两种情况，点Q可在x轴下方和点Q在x轴上方 设点Q坐标为，点P坐标为 当点Q在x轴下方时，连接，过点作 交其延长线于M，则M点坐标为 为等腰直角三角形 又 由题意得 ， 解得 ，所以 当点Q在x轴上方时，连接，过点作 交其延长线于N，则N点坐标为 同理可得, 由题意得 ， 解得 ，所以 综上的坐标为：． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$