精品解析：河南省三门峡市卢氏县第一高级中学2023-2024学年高一下期期末考试数学试题

2023-2024学年下期期末考试 高一数 学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算法化简复数，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：因为，所以， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限； 故选：B 2. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件“两个球颜色相同”，事件“两个球颜色不同”，事件“第二次摸到红球”，事件“两个球都是红球”.下列说法错误的是（ ） A. B. C与D互斥 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对立事件的定义可知A,B为对立事件，从而可判断A;写出C事件的可能结果，可判断B,C；求出B,C,D事件的概率，从而可判断D. 【详解】解：由题意知，摸出两个球要么颜色相同要么颜色不同，即A正确; 当第一次摸到红球，第二次也摸到红球时，C,D可同时发生，即B不正确; 事件C包括:第一次摸到白球，第二次摸到红球和第一次摸到红球，第二次摸到白球，所以，即C正确; ， 则，所以D正确. 故选:B. 3. 某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召，调查该校3 000名学生每周平均体育运动时长的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4∶3∶3的比例进行分层随机抽样，收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据，整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是（　　） A. 估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时 B. 估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300 C. 估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10% D. 估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为600 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数可判断A；根据频率分布直方图计算出高一年级每周平均体育运动时间不足小时的人数，可判断B；根据频率分布直方图计算出该校学生每周平均体育运动时间不少于小时的频率与人数，可判断CD. 【详解】对于A，估计该校学生每周平均体育运动时长为 （小时），故选项A正确； 对于B，该校高一年级的总人数为，由题中频率分布直方图可知， 该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为， 所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为， 故选项B正确； 对于C，估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为 ，故选项C错误； 对于D，估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为， 故选项D正确. 故选：C. 4. 在平行四边形中，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用表示出，求出参数，进而得结果. 【详解】， 所以，则. 故选：D 5. 在中，，，．则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设外接圆的半径为，由余弦定理可得，再由正弦定理得可得答案. 【详解】设外接圆的半径为， 由余弦定理可得， 即，所以， 由正弦定理得，所以， 则外接圆的面积为. 故选：A. 6. 如图，一组数据的平均数为，方差为，去除这两个数据后，平均数为，方差为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的定义可得，根据题意，结合平均数定义求，再结合方差的意义判断的大小关系，由此判断正确选项. 【详解】由题意得，则， 由题图知，， 故， 由题图知，是偏离较大的两个数据， ∴去除，这两个数据后，整体波动性减小， 故. 故选D. 7. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. 13 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y） 则，可得，， 所以，即，故，， 所以，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 8. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ） A. 6π B. 30π C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三棱锥的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径， 以及球心到底面的距离，判断顶点的轨迹是两个不同截面圆的圆周， 进而求解周长即可． 【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的边长为， 三棱锥的体积 解得： 的外接圆半径为 球心到底面的距离为 ， 又顶点P到底面ABC的距离为3， 顶点的轨迹是一个截面圆的圆周 当球心在底面和截面圆之间时， 球心到该截面圆的距离为， 截面圆的半径为， 顶点P的轨迹长度为； 当球心在底面和截面圆同一侧时， 球心到该截面圆的距离为， 截面圆的半径为， 顶点P的轨迹长度为； 综上所述，顶点P的轨迹的总长度为 故选：D． 【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查 空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件 C. 若复数，且，则 D. 若复数满足，则复数的虚部为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算法则判断A，根据复数的分类判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数相等的充要条件判断D； 【详解】解：对于A：因为，，，所以，故A正确； 对于B：由推不出是纯虚数，如，此时为实数，故充分性不成立； 由为纯虚数，则，故必要性成立， 故“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，即B正确； 对于C：因为，且，所以，解得，故C错误； 对于D：设，则， 则，故，解得，故D正确； 故选：ABD 10. 在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（ ） A. B. 的最大值为1 C. 的最大值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由面积公式可得，再由正弦定理化简即可判断A；由根据可判断B；利用余弦定理可得，进而得出可判断C；由已知结合余弦定理即可判断D. 【详解】，即， 由正弦定理可得， ，， 即， 由正弦定理可得，故A正确； ，，, 所以小于1，故B错误； 由余弦定理得，， ，其中，则可得的最大值为，故C正确； 由，联立可得，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，解题的关键是利用面积公式和正弦定理将已知化简得出. 11. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点， 则（ ） A. 任意， B. 存在，直线与直线相交 C. 平面与底面交线长为定值 D. 当时，三棱锥外接球表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由题意可得平面，从而可得，即可判断； 对于B，根据异面直线的定义可得； 对于C，根据题意找出交线，然后求出交线长即可； 对于D，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积. 【详解】解：对于A，，，，，平面， 平面，平面，，故正确； 对于B，因为平面，平面， 所以平面， 与异面，故不相交，故错误； 对于C，延长，交于点，连接交于，为中点， ， 所以, 所以, 所以， 平面平面， 平面与底面交线为， 其中为中点，所以，故正确对； 对于D，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆， 圆心设为，半径， 取中点，则平面，， 所以， 所以， ，故错误. 故选：． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 五一节放假期间，甲、乙、丙三人来景德镇旅游的概率分别是、、，已知三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来景德镇旅游的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来景德镇旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可 【详解】由题意可得3人中没有人来景德镇旅游的概率为， 所以至少有1人来景德镇旅游的概率为， 故答案为： 13. 已知三棱锥中，面，，，，，则三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由勾股定理得，再由面，把该棱锥镶嵌到长宽高分别为，，的长方体中，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此计算出球半径后可得体积． 【详解】因为，，，所以，所以， 又面，， 所以可以把该棱锥镶嵌到长宽高分别为，，的长方体中，长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 所以外接球的半径为， 所以球的体积为． 故答案为：． 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解. 【详解】在中，，则， 又平面，平面平面， 所以平面，连接，，所以， 得，设（）， 则，即，得， 当即即时，取到最小值1， 此时取到最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求A的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角及三角恒等变换后可求得； （2）由正弦定理把表示为的函数，再利用余弦函数性质可得所求范围． 【小问1详解】 由， 因， 代入得，， 展开整理得，，即， 因，则有， 由正弦定理，， 又因，故得，因，则; 【小问2详解】 由（1）得，因，由正弦定理，， 则， 于是，， 因，则，故， 即的范围是． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面，点E在棱上. （1）求证：平面； （2）若，点E为的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为为菱形，所以， 又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理得，再结合菱形性质利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据二面角的平面角定义作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的边角关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，则平面， 由平面，平面，平面，得， 故即为二面角的平面角， 在菱形中，， 所以， 又，所以， 由点E为的中点，得， 所以为等腰三角形，在内过点E作高，垂足为H，则， 所以，即二面角的余弦值为. 【点睛】 17. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 【答案】（1）众数75；中位数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用众数与中位数的定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的众数、中位数估计值； （2）利用平均数定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的平均数估计值. （3）利用古典概型概率求法即可求得从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会且至少有一人在的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75； 在内频率之和为， 设中位数为，由图可知中位数在， 由，得中位数 【小问2详解】 由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数： 【小问3详解】 在和两组中的人数分别为： 人和人， 所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c， 在分组中抽取的人数为2人，记为1，2， 所以这5人中随机抽取2人的情况有： ， 共10种取法，至少有一人得分在的情况有7种， 所以所求概率为. 18. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解. （2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设事件A为“第三局结束乙获胜” 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为． 若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 故 【小问2详解】 设事件B为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率． 若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）． 此时的概率． 若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）． 此时的概率 若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）． 此时的概率 故 19. 在四面体中，，记四面体的内切球半径为．分别过点向其对面作垂线，垂足分别为． （1）是否存在四个面都是直角三角形的四面体？（不用说明理由） （2）若垂足恰为正三角形的中心，证明：； （3）已知，证明：． 【答案】（1）存在； （2） 连接，并延长交于点，连接， 由是正的中心，得，是中点，则， ，， ， ， ， ， 于是，所以． （3） ， ， 因此， 则，显然， 于是，则， 所以． 【解析】 【分析】（1）作出图形并推理说明. （2）根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征，利用体积法列式计算即得. （3）利用体积法建立等式，计算得，再利用不等式性质及基本不等式求解即得. 【小问1详解】 存在． 在四面体中，若平面，，则四面体的四个面都是直角三角形. 由平面，平面，得， 又，平面，则平面，而平面， 因此，所以都是直角三角形. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下期期末考试 高一数 学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件“两个球颜色相同”，事件“两个球颜色不同”，事件“第二次摸到红球”，事件“两个球都是红球”.下列说法错误的是（ ） A. B. C与D互斥 C. D. 3. 某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召，调查该校3 000名学生每周平均体育运动时长的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4∶3∶3的比例进行分层随机抽样，收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据，整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是（　　） A. 估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时 B. 估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300 C. 估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10% D. 估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为600 4. 在平行四边形中，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，．则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一组数据的平均数为，方差为，去除这两个数据后，平均数为，方差为，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. 13 B. C. D. 8. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ） A. 6π B. 30π C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件 C. 若复数，且，则 D. 若复数满足，则复数的虚部为 10. 在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（ ） A. B. 的最大值为1 C. 的最大值为 D. 11. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点， 则（ ） A. 任意， B. 存在，直线与直线相交 C. 平面与底面交线长为定值 D. 当时，三棱锥外接球表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 五一节放假期间，甲、乙、丙三人来景德镇旅游的概率分别是、、，已知三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来景德镇旅游的概率为______． 13. 已知三棱锥中，面，，，，，则三棱锥外接球的体积为__________． 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求A的值； （2）若，求的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面，点E在棱上. （1）求证：平面； （2）若，点E为的中点，求二面角的余弦值. 17. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，……，，统计结果如图所示： （1）试估计这100名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后2位） （2）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率. 18. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． （1）求第三局结束时乙获胜的概率； （2）求甲获胜的概率． 19. 在四面体中，，记四面体的内切球半径为．分别过点向其对面作垂线，垂足分别为． （1）是否存在四个面都是直角三角形的四面体？（不用说明理由） （2）若垂足恰为正三角形的中心，证明：； （3）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $