精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

2023～2024学年度下学期高二期中试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷主要命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 4. 某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ） A. 3200 B. 6800 C. 3400 D. 6400 5. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 6. 在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 7. 已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ） A. 61个 B. 65个 C. 68个 D. 71个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数，则两个变量负相关 B. 相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 决定系数越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为．事件A表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则______． 13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 14. 已知数列的前项和为，且，.设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 16. 设函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 17. 为了解学生对县教体局举办的春季中学生运动会的满意度，从该县所有中学生中随机抽取90名进行调查，每名学生对运动会举办情况给出“满意”或“不满意”的评价，如下表： 满意 不满意 男生 40 20 女生 10 20 （1）请根据小概率值的独立性检验，能否判断该县中学生对运动会的满意度情况与性别有关联？ （2）从该县的中学生中随机抽出一名学生，该生是男生或女生的概率相等，视样本的频率为概率．现从全县中学生中随机抽取4名学生，记这4名学生对运动会满意的人数为，求的分布列，数学期望和方差． 参考公式：（其中 18. 2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 （1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 19. 我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为. （1）求; （2）若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度下学期高二期中试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷主要命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列性质计算即可. 【详解】由分布列的性质，得，解得． 故选:D. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下角标和性质直接求解. 【详解】由等比数列的性质易知. 故选：C. 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值. 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 4. 某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ） A. 3200 B. 6800 C. 3400 D. 6400 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答. 【详解】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且， 于是，因此， 所以高二男生身高不低于170cm的人数约为. 故选：B. 5. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值. 【详解】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C. 6. 在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】利用插空法可求不同的排列方法总数. 【详解】先排列3幅书法作品有种排法， 再将3幅美术作品插入3幅书法作品形成的3个空中，有种排法， 所以不同排列方法有种． 故选：A． 7. 已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可构造函数，则，求得为增函数，从而可求解. 【详解】由题意得，则，且定义域为， 所以可构造函数，则， 所以为增函数，则， 则，故B正确. 故选：B. 8. 将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ） A. 61个 B. 65个 C. 68个 D. 71个 【答案】D 【解析】 【分析】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，依题意可得只能为，或，分三种情况讨论，分别求出相应的“数列”个数，最后按照分类加法计数原理计算可得. 【详解】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7， 因为都比大，所以只能为，或. 当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为， 所以有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”； 当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为， 剩余两个数排，有种选法，共有个“数列”； 当时，，从4，5，6，7中选2个数作为有种选法， 剩余2个数为，共有6个“数列”. 综上所述，满足条件的“数列”共有个. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若相关系数，则两个变量负相关 B. 相关系数r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 决定系数越小，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相关系数的概念可判定AB，根据决定系数的概念可判定CD. 【详解】对于A：因为r的符号反映相关关系的正负性，故A正确； 对于B：根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误； 对于C：决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误． 故选：AC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析展开式项的系数的符号，赋值判断A，逆用二项式定理判断B，由展开判断C，展开判断D. 【详解】在中， 所以令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为，故C正确； ， 其中，所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，根据条件得到关于对称，若选项A成立，则有关于点对称，从而与条件不符，即可判断出选项A的正误；选项B，利用条件得到，整理得到，即可判断出选项B的正误；选项C，根据条件得到，再由选项A知，即可得到，即可得出选项C的正误；选项D，由选项C可得，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为为偶函数，所以， 即，所以关于对称， 若为偶函数，则，所以， 所以关于点对称，这与关于对称矛盾，所以选项A错误； 对于选项B，因为为偶函数，所以， 所以当时，，即为奇函数，所以选项B正确； 对于选项C，因为为偶函数，即， 所以，所以， 由，得， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由，得，所以，故选项D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为．事件A表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式，即可得答案. 【详解】由题意，得，，所以， 故答案为： 13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 14. 已知数列的前项和为，且，.设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为______. 【答案】973 【解析】 【分析】当时，，解得；当 时，由，得，两式相减，结合等比数列的通项公式可得，进而得到，数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的，利用求和公式即可得出结论． 【详解】当时，，解得； 当 时，由，得， 两式相减，得，即， ，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 因此，，即 是数列 中的第项， ，， 数列的前40项和是由数列 的前45项去掉数列 的前5项后构成的， 数列 的前40项和为 ． 故答案为：973． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列公共项问题，关键是求出 是数列 中的第项. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）； （2）由（1）知， . 又，所以. 【解析】 【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可; （2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以是公差为2的等差数列， 又，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 略 16. 设函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即可； （2）分离参数后，转化为在上有解，利用导数求出函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，其定义域为 当时，当时， 所以的单调递减区间为单调递增区间为 【小问2详解】 不等式在上有解等价于在上有解， 令则 令易知在上单调递减，且 所以当时，即当时，即 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以所以即实数的取值范围为 17. 为了解学生对县教体局举办的春季中学生运动会的满意度，从该县所有中学生中随机抽取90名进行调查，每名学生对运动会举办情况给出“满意”或“不满意”的评价，如下表： 满意 不满意 男生 40 20 女生 10 20 （1）请根据小概率值的独立性检验，能否判断该县中学生对运动会的满意度情况与性别有关联？ （2）从该县的中学生中随机抽出一名学生，该生是男生或女生的概率相等，视样本的频率为概率．现从全县中学生中随机抽取4名学生，记这4名学生对运动会满意的人数为，求的分布列，数学期望和方差． 参考公式：（其中 【答案】（1）不能判断该县中学生对运动会的满意度情况与性别有关联 （2） 0 1 2 3 4 , 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求出观测值，即可得出结论； （2）首先求出从该县的中学生中随机抽取一名学生，该生对运动会满意的概率，可得利用二项分布的性质可得答案. 【小问1详解】 由题意知列联表为： 满意 不满意 合计 男生 40 20 60 女生 10 20 30 合计 50 40 90 零假设为该县中学生对运动会的评价情况与性别无关联，由列联表的数据， 计算得：， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 故不能判断该县中学生对运动会的满意度情况与性别有关联． 【小问2详解】 从男生中随机抽出一名学生，该生对运动会满意的频率为 从女生中随机抽出一名学生，该生对运动会满意的频率为 又从该县的中学生中随机抽出一名学生，该生是男生或女生的概率均为 所以从该县的中学生中随机抽取一名学生，该生对运动会满意的概率为 由题意可知， , , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以, 18. 2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 （1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ （2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 参考数据：，． 参考公式：，． 【答案】（1）， 0.27秒，； （2） 根据（1）得到，； ，； ，； ，； ，， 所以，即步长残差和为0． 对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下： ． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将代入回归方程，即可得到答案； （2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.。 【小问1详解】 ，， ，， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是0.27秒． 【小问2详解】 略 19. 我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为. （1）求; （2）若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可； （2）利用错位相减法求取的家庭数不超过的概率，再结合数列的单调性求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为. 所以抽取的家庭数不超过的概率为， 即，， 两式相减，得 所以. 由，得， 令，则.， 所以，所以数列是递减数列， 因为， 所以整数的最小值是7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $