精品解析：北京市海淀区清华大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初二第二学期期末试卷 数学 （清华附中初22级） 一．选择题（本题共24分，每题3分） 第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：A． 2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程（），则有−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔方程有两相等实根，−⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 是二次项系数不能为，， 即且． 故选：D． 4. 某校篮球社团共有30名球员，下表是该社团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数、中位数 B. 众数，中位数 C. 众数、方差 D. 平均数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的定义和计算方法是解题的关键．由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选：B． 5. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的根的判别式判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】整理为一般式为， ， 方程有两个不相等的实数根. 故选：A． 7. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A. 小球的飞行高度不能达到15m B. 小球的飞行高度可以达到25m C. 小球从飞出到落地要用时4s D. 小球飞出1s时的飞行高度为10m 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案． 【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确； D、当t＝1时，h＝15， 故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键． 8. 下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间（单位：秒），则下列说法正确的是（ ） 甲 20.2 293 30.7 38.3 乙 37.6 384 39.1 39.3 丙 20.3 20.4 28.2 36.1 丁 22.9 27.8 33.5 34.3 A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间 B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数 C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数 D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数和方差的概念，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；根据定义即可判断. 【详解】解：A.乙选手的最短复原时间大于甲选手的最短复原时间，故不符合题意； B.丙选手复原时间的平均数为：，丁选手复原时间的平均数为：，丙选手复原时间小于丁选手复原时间，故不符合题意； C.甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数，故符合题意； D.乙选手复原时间的方差小于丁选手复原时间的方差，故不符合题意. 故选：C 二．填空题（本题共24分，每题3分） 9. 如果函数是关于x的二次函数，则_________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到k的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得． 故答案为：0． 10. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可； 【详解】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：， 故答案为：； 11. 2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则可列出关于的方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，根据题意，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，由平均增长率问题直接列方程即可得到答案，熟练掌握平均增长率问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则由题意可得 ， 故答案为：． 12. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用对称性得点C关于对称轴的对称点D的坐标，这样A、B、D三点均在抛物线对称轴的左侧，由二次函数的性质即可判断，，的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线， 故点C关于对称轴的对称点D的坐标为， 而，且， 所以当时，函数值随自变量的增大而减小， 故， 故答案为：． 13. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，若函数值，则自变量的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴为直线，进而得到二次函数图象经过点，再由二次函数开口向上，则离对称轴越近函数值越小进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， ∵二次函数图象经过点， ∴二次函数图象也经过点， ∵二次函数开口向上， ∴离对称轴越近函数值越小， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确根据题意求出二次函数图象经过点是解题的关键． 14. 若抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．熟练掌握抛物线与轴有交点：，是解题的关键．根据抛物线与x轴有交点，，列式计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 15. 将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则关于的函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】每件降价x元，每件商品的利润为元，日销售量为件，求解即可． 【详解】解：每件降价x元，每件商品的利润为元，日销售量为件， 则每天的利润 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的求解． 16. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③； ④若方程的两根为，则．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． ①③当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出，再判断a的范围； ②将，代入方程，根据根的判别式即可判断； ④由，，可得，所以，再根据b的范围求解后即可判断． 【详解】解：抛物线，，是常数，经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值． ， ，解得：， ， ， ，， ， 故①③正确； ，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故②正确； ，， ， ， ， ， 故④正确； 故答案为：①②③④ 三．解答题（本题共52分，第17题，6分；第18题，4分；第19题，5分；第20−21题，每题6分；第22题，5分；第23题，6分；第24−25题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）变形为一般形式后，用公式法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 则 ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：， ∴ ∴， ∴或， ∴； 18. 已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知代数式求值，先利用乘法公式展开、合并得到原式，利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 【答案】(1)见解析；(2) m=-1. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1>0，由此即可证出：无论实数m取什么值，方程总有两个不相等的实数根； （2）利用分解因式法解原方程，可得x1=m，x2=m+1，在根据已知条件即可得出结论． 【详解】（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+2） =（m+1）2 ∴无论m取何值，（m+1）2恒大于等于0 ∴原方程总有两个实数根 （2）原方程可化为:(x-1)(x-m-2)=0 ∴x1=1, x2=m+2 ∵方程两个根均为正整数,且m为负整数 ∴m=-1. 【点睛】本题考查了一元二次方程与根的判别式，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与根据因式分解法解一元二次方程. 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）函数的解析式为，点C的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式， （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式结合，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，， ∴点C的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， 又， ∴， 解得：， ∴n的取值范围为． 21. 如图，在中，，点D，E分别是的中点．连接并延长至点F，使得. 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键. （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ． ∴ 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴ ． ∴ ． ∵． ∴． 在中，， ∴． 22. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 【答案】（1）， （2），四 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可； （2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可； （3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，成本从小到大依次排序为； ∴甲商品这五周成本的平均数为， 中位数为第3个位置的数即中位数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为， ∴第二周售价涨跌幅为， 解得，； 同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为， 解得，； 第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为， 解得，； ∵， ∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高， 故答案为：，四； 【小问3详解】 解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”， ∵， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键． 23. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出击球点的高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【小问1详解】 解：当时，， 故击球点的高度为； 【小问2详解】 由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：， 【小问3详解】 第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为： 24. 如图1，正方形的边长为，对角线交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动． 若点P运动的路程为x，的面积为y，探究y与x的函数关系． （1）x与y的两组对应值如下表，则______________； x 0 … m y n … n （2）当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为． 当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________； （3）① 在图2中画出函数图象； ② 若直线与此函数图象只有一个公共点，则的取值范围是_________________． 【答案】（1）4 （2）， （3）①图见解析② 或 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，得到到点运动到点时，与点在点时，的面积相同，进行求解即可； （2）求出时的函数值，根据点在上运动时的函数为一次函数，且过两点，待定系数法求出函数解析式，进而表示出的取值范围即可； （3）描点法画出函数图象，数形结合求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，点与点重合，随着的增大，先减小，后增大，当点与点重合时，与点在点时，的面积相同， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， 当点在上运动时：， 设当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为， 由题意，图象经过点， ∴，解得：， ∴； 故答案为：，； 【小问3详解】 ①∵， ∴当时，，当时，， ∵经过点， ∴画图如下： ②如图，当直线经过点时，则：，解得， 当直线经过点时，则：，解得， 当直线经过点时，则：， ∵直线与此函数图象只有一个公共点， ∴或． 25. 甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩． 该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口． （1）园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站．甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示．两人约定如下： I． 确定距离自己最近的入口； II． 如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园； III． 如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园． ① 若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为 ； ② 若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为 ； （2）丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园．丙在地图上建立平面直角坐标系，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为．园区内有行驶路线为的摆渡车（乘客可以在路线上任意一点上下车）．点G坐标为．丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”． ① 如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为_______________； ② 若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为_______________． 【答案】（1）① B；② 3号车站，4号车站； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据题意，即可求解； ②根据甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况：第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园； （2）①设交轴于点，根据题意可得点为A，B，C “理想入口”，即为点的坐标； ②作的垂直平分线，分别交于点，连接，证明，则段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”，的最小值为，然后求得点的坐标，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据题意得甲、乙入园的入口应为：B， ②由题意得：若甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况： 第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，则乙下车站点为：4号车站， 第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园， 故答案为：① B；② 3号车站，4号车站； 【小问2详解】 解：①∵M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a， 当轴且与交点时，此时a有最小值， 设直线解析式为， 将代入即可：，解得：， ∴， ∵轴且与相交时，此时正好为一次函数与轴的交点， ∴令，则， ∴， 故答案为：； ②如图所示， 设交轴于点，由①可得点为A，B，C “理想入口”，则一定在长度为m的路段上， 作的垂直平分线，分别交于点，连接， 则段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”， ∵是直角三角形，， ∴ ∴ ∴ ∴的最小值为， ∵ ∴， 设直线的解析式为 将代入，则 ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，待定系数法求一次函数解析式，已知自变量值求函数值，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 附加题：（本题共20分，第26−27题，每题3分；第28−29题，每题4分；第30题6分） 26. 已知两组数据（1），，，，；（2），，，，．设第一组数据的平均值为，方差为，设第二组数据的平均值为，方差为，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，方差的定义，解题的关键是掌握平均数的定义，方差的定义，先求出两组数据的平均数，再求出方差即可求解． 【详解】解：（1）的平均数为：， 方差：， （2）的平均数是：， 方差是：， ，， 故选：D． 27. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将代入函数解析式求出x的值即可得到答案 【详解】解：当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为 28. 超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式，则利润w和售价x之间的函数关系为___________，该商品售价定为___________元/件时，每天销售该商品获利最大． 【答案】 ①. ； ②. 20． 【解析】 【分析】根据利润=每件商品利润×销售量，可得利润w和售价之间的函数关系式；利用配方法，求所得二次函数的最大值即可得出结论． 【详解】解：某商品进价10元/件，售价x（元/件）， 每件商品的利润为：元； 销售量y（件）为：， 利润w和售价x之间的函数关系为：， ； ， ， 有最大值， 当时，取最大值，最大值为500； 故答案为：；20． 【点睛】此题考查二次函数的应用，正确读懂题意、列出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 29. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴时，t有最小值为：． 故答案为：． 30. 在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线给出如下定义：过抛物线C上一点作垂直于x轴的直线，交直线l于点，若存在实数满足，则称点是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”． （1）若， ①在点，，，中，抛物线C的“如意点”是______； ②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出的最大值______； （2）若边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①分别求出当时，时，时，时，两个函数的函数值，再根据“如意点”的定义判断即可；②根据题意可得点E和点D关于直线对称，则当点D到直线的距离最大时，有最大值，根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C的如意点，则当平行于直线的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意，据此求出点D的坐标，进而求出点D到直线的距离即可得到答案； （2）由（1）可得，抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线与抛物线围成的封闭区域（包括边界），则抛物线C的“称心点”一定在直线与抛物线围成的封闭区域外面，则正方形边上的点全部是“如意点”时b的值一定要比正方形边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b的值大，故当恰好正方形上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线一定经过正方形的一条对角线，此时关于抛物线对称轴对称，则可得到，把代入中得，则，即b的最小值即为． 【小问1详解】 解：①在中，当时，，时，，时，，时，； 在中，当时，，时，，时，，时，； ∵，，，， ∴只有，是抛物线C的“如意点”， 故答案为：； ②点E是点D与抛物线C的“称心点”， ∴点E和点D关于直线对称， ∴的长等于点D到直线的距离的两倍， ∴当点D到直线的距离最大时，有最大值， 根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线围成的封闭区域内的所有点到时抛物线C的如意点， ∴当平行于直线的直线与抛物线恰好有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意， 设直线恰好与抛物线有一个交点， 联立得， ∴， 解得， ∴，解得， ∴此时点D与原点重合； 如图所示，设直线分别与x轴，y轴交于G、H，则， ∴， ∴， 设交于H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线与抛物线围成的封闭区域（包括边界）， ∴抛物线C的“称心点”一定在直线与抛物线围成的封闭区域外面， ∵边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”， ∴正方形边上的点全部是“如意点”时b的值一定要比正方形边上的点部分是“如意点”，部分时“称心点”时b的值大， ∴当恰好正方形上的点一半是“如意点”，一半是“称心点”时b最小，即直线一定经过正方形的一条对角线， 此时有轴， ∴此时关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称， ∴的横坐标为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得， ∴， ∴b的最小值即为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，一次函数与几何综合等等，解题的关键在于理解题意得到抛物线C的“如意点”组成的区域即为直线与抛物线围成的封闭区域（包括边界）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第二学期期末试卷 数学 （清华附中初22级） 一．选择题（本题共24分，每题3分） 第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 某校篮球社团共有30名球员，下表是该社团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 8 12 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数、中位数 B. 众数，中位数 C. 众数、方差 D. 平均数、方差 5. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A. 小球的飞行高度不能达到15m B. 小球的飞行高度可以达到25m C. 小球从飞出到落地要用时4s D. 小球飞出1s时的飞行高度为10m 8. 下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间（单位：秒），则下列说法正确的是（ ） 甲 20.2 29.3 307 38.3 乙 376 38.4 39.1 39.3 丙 20.3 20.4 28.2 36.1 丁 22.9 27.8 33.5 34.3 A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间 B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数 C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数 D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差 二．填空题（本题共24分，每题3分） 9. 如果函数是关于x的二次函数，则_________． 10. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_______． 11. 2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则可列出关于的方程__________． 12. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______（用“＞”连接）． 13. 如图，二次函数图象与轴的交点坐标为，若函数值，则自变量的取值范围是____________． 14. 若抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 15. 将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则关于的函数解析式是________． 16. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③； ④若方程的两根为，则．其中正确的有______． 三．解答题（本题共52分，第17题，6分；第18题，4分；第19题，5分；第20−21题，每题6分；第22题，5分；第23题，6分；第24−25题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1） （2）． 18. 已知a是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 21. 如图，在中，，点D，E分别是的中点．连接并延长至点F，使得. 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 22. 商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； （2）表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； （3）记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 23. 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度（单位：与水平距离（单位：的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）直接写出击球点的高度； （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式； （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则　　（填“”，“ ”或“” ． 24. 如图1，正方形的边长为，对角线交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动． 若点P运动的路程为x，的面积为y，探究y与x的函数关系． （1）x与y的两组对应值如下表，则______________； x 0 … m y n … n （2）当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为． 当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________； （3）① 在图2中画出函数图象； ② 若直线与此函数图象只有一个公共点，则取值范围是_________________． 25. 甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩． 该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口． （1）园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站．甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示．两人约定如下： I． 确定距离自己最近的入口； II． 如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园； III． 如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园． ① 若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为 ； ② 若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为 ； （2）丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园．丙在地图上建立平面直角坐标系，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为．园区内有行驶路线为的摆渡车（乘客可以在路线上任意一点上下车）．点G坐标为．丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”． ① 如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为_______________； ② 若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为_______________． 附加题：（本题共20分，第26−27题，每题3分；第28−29题，每题4分；第30题6分） 26. 已知两组数据（1），，，，；（2），，，，．设第一组数据的平均值为，方差为，设第二组数据的平均值为，方差为，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 27. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是______米． 28. 超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式，则利润w和售价x之间的函数关系为___________，该商品售价定为___________元/件时，每天销售该商品获利最大． 29. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是__________． 30. 在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线给出如下定义：过抛物线C上一点作垂直于x轴的直线，交直线l于点，若存在实数满足，则称点是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”． （1）若， ①在点，，，中，抛物线C的“如意点”是______； ②若点D是抛物线C“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出的最大值______； （2）若边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $