6.4线段的和差 自主学案 2023-2024学年浙教版数学七年级上册

浙教版数学七年级上册自主学案 第6章　图形的初步知识 6.4　线段的和差 教材的地位 和作用 　本节内容是培养学生识图能力的重要组成部分,本课时不仅是对前一节所学内容的复习巩固,同时也是学生后继学习几何的有关计算、作图和三角形全等等知识的基础 重点 难点 重点 　线段中点的概念 难点 　复杂情况下线段的运算和表示 易错点 　原题无图时,出现漏解的情况 知识点一　线段的和差作图 一般地,如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和,那么这条线段就叫做另两条线段的　和　;如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差,那么这条线段就叫做另两条线段的　差　.  1. 如图1,下列各式中错误的是 (D) 图1 A.AB=AD+DB B.CB=AB-AC C.CD=CB-DB D.AC=CB-DB 图2 2.已知线段a, b(如图2),利用尺规求作一条线段AB,使AB=a-b. 解:如图,线段AB就是所求作的线段. 知识点二　与中点有关的计算 把一条线段分成　相等的两条线段　的点叫做线段的中点.如图3,C是线段AB的中点,则AC=BC=AB,AB=2AC=2BC.  图3 3.若P是线段MN的中点,则下列结论不正确的是 (C) A.MP=NP B.MN=2NP C.MN=NP D.MP=MN 4.如图4,C是线段AB的中点,D是线段CB的中点,下列说法错误的是 (D) 图4 A.CD=AC-BD B.CD=AB-BD C.AC+BD=BC+CD D.CD=AB 【题型探究】 类型一　线段和、差、倍的尺规作图 图5 例1 (教材例1针对训练)如图5所示,已知线段a,b,c,求作一条线段使它等于a-c+2b. 解:如图所示. (1)作射线AM. (2)在射线AM上截取AB=a,AC=c. (3)在射线BM上顺次截取BD=DE=b. 则线段CE就是所求作的线段. 【归纳总结】 关于尺规作线段和差的“三点说明”: (1)明确尺与规的功能,知道“尺”是无刻度的直尺,常用它来作直线、射线和线段,“规”是圆规,常用它来作弧、圆,截取相同长度的线段等. (2)求作线段的和,只需在一条射线上顺向截取线段;求作线段的差,只需在被减线段上反向截取所减的线段即可. (3)作图时一定要保留作图痕迹,最后要注明哪条线段是所求作的线段. 类型二　线段的和差的计算 例2 (教材例2针对训练)如图6,已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD,线段AB,CD的中点E,F之间的距离是10 cm,求AB,CD的长. 图6 解:设BD=x cm,则AB=3x cm,CD=4x cm,AC=6x cm. ∵E,F分别为AB,CD的中点, ∴AE=AB=1.5x cm,CF=CD=2x cm, ∴EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x(cm).　 ∵EF=10 cm,∴2.5x=10,解得x=4, ∴AB=12 cm,CD=16 cm. 【归纳总结】 从“数”“形”两个角度理解线段的中点: 1.由形到数:若M是线段AB的中点,则AB=2AM=2BM,AM=BM=AB. 2.由数到形:若点M在线段AB上,且AB=2AM=2BM或AM=BM=AB,则M是线段AB的中点. 已知A, B, C三点在同一条直线上,AB=100 cm,BC=AB,E是AC的中点,求线段BE的长. 解:分两种情况: (1)如图①,由AB=100 cm,BC=AB,得BC=60 cm,所以AC=AB-BC=100-60=40(cm).又因为E是AC的中点,所以CE=20 cm,所以BE=BC+CE=60+20=80(cm); (2)如图②,由AB=100 cm,BC=AB,得BC=60 cm,所以AC=AB+BC=100+60=160(cm).又因为E是AC的中点,所以CE=80 cm,所以BE=CE-BC=80-60=20(cm). 综上所述,线段BE的长为80 cm或20 cm. 【学以致用】 1．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法中，不一定正确的是(　B　) 第1题图 A．CD＝AC－BD B．CD＝BC C．CD＝AB－BD D．CD＝AD－BC 2．如图，点A，B在线段EF上，M，N分别是线段EA，BF的中点，EA∶AB∶BF＝1∶2∶3.若MN＝8，则线段EF的长为(　C　) 第2题图 A．10 B．11 C．12 D．13 【解析】 ∵EA∶AB∶BF＝1∶2∶3， 设EA＝x，则AB＝2x，BF＝3x. ∵M，N分别为EA，BF的中点， ∴MA＝EA＝x，BN＝BF＝x， ∴MN＝MA＋AB＋BN＝x＋2x＋x＝4x. 又∵MN＝8， ∴4x＝8，∴x＝2， ∴EF＝EA＋AB＋BF＝6x＝12. 3．把一根绳子对折之后用线段AB表示，P是AB上一点，从P处把绳子剪成三断．已知AP＝PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40 cm，则绳子的原长为__120或60__cm. 【解析】 设AP＝x(cm)，则PB＝2x(cm)，绳子的原长为6x(cm)． 分两种情况讨论： ①当A是原来绳子的中点时，最长的一段为2x(cm)， ∴2x＝40，解得x＝20， ∴绳子的原长为120 cm； ②当B是原来绳子的中点时，最长的一段为2BP＝4x(cm)， ∴4x＝40，解得x＝10， ∴绳子的原长为60 cm. 综上所述，绳子的原长为120 cm或60 cm. 4．如图，线段AB上有两点P，Q，点P将AB分成两部分，AP∶PB＝2∶3，点Q将AB也分成两部分，AQ∶QB＝4∶1，且PQ＝3 cm.求AP，QB的长． 第4题图 解：设AP＝2x(cm)，PB＝3x(cm)，则AB＝5x(cm)． ∵AQ∶QB＝4∶1， ∴AQ＝4x(cm)，QB＝x(cm)， ∴PQ＝PB－QB＝2x(cm)． 又∵PQ＝3 cm， ∴2x＝3， ∴x＝1.5， ∴AP＝3 cm，QB＝1.5 cm. 5．[模型观念]定义：若线段上的一个点把这条线段分成1∶2的两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC∶CB＝1∶2，则C是线段AB的一个三等分点．显然，一条线段的三等分点有两个． (1)如图2，DE＝15 cm，P是DE的三等分点，求DP的长． (2)如图3，线段AB＝15 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度沿射线AB运动，同时点Q从点B出发，先向点A运动，当与点P相遇后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为2 cm/s.设点P，Q同时出发，且运动时间为t(s)． ①当点P与点Q相遇时，求t的值． ②当P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 第5题图 解：(1)当DP＝2PE时，DP＝DE＝10 cm； 当2DP＝PE时，DP＝DE＝5 cm. 综上所述，DP的长为10 cm或5 cm. (2)①由题意，得(1＋2)t＝15，解得t＝5. ②Ⅰ.点P，Q重合前： 当2AP＝PQ时，有t＋2t＋2t＝15，解得t＝3； 当AP＝2PQ时，有t＋t＋2t＝15，解得t＝. Ⅱ.点P，Q重合后： 当AP＝2PQ时，有t＝2(t－5)，解得t＝10； 当2AP＝PQ时，有2t＝t－5， 解得t＝－5(不合题意，舍去)． 综上所述，当t的值为3，或10时，P是线段AQ的三等分点． 学科网（北京）股份有限公司 $$