精品解析：重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

重庆八中2023—2024学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 命题：胡文琦 严傲 审核：苑繁宝 打印：严傲 校对：曹华荣 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交运算即可求解. 【详解】若,则 故选：B. 2. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义计算即可求解. 【详解】根据题意，函数， 当时，， 设该切线的倾斜角为，则， 所以, 即函数在点处的切线斜率为. 故选：C. 3. 设随机变量，则（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的方差求解即可. 【详解】由题意得，故. 故选：C. 4. 如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（ ） A. 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B. 函数可以是某个圆的“太极函数” C. 函数可以是某个圆的“太极函数” D. 是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定定义结合三角函数和幂函数的奇偶性逐个分析求解即可. 【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确； 函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，则是该圆的“太极函数”，故B，C正确； 函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”， 但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故D错误. 故选：D. 5. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何特征，得到当时弦取得最小值求解即可. 【详解】将圆化为，圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 记圆心到直线的距离为，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：C. . 6. 已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数求，再根据条件概率公式分析求解. 【详解】设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”，事件为“所报两个社团中有一个是体育类”， 则， 则. 故选：B. 7 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把分别写成和，再根据函数单调性比较大小. 【详解】由，得，而， 比较6与的大小比较与的大小. 单调递增， ， 与比大小， 比较8与的大小比较与的大小， 单调递增， ， 综上，. 故选：A 8. 若对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知变形为，然后构造函数，将问题转化为在上恒成立，转化为的最大值问题，利用导数求解可得. 【详解】因为，所以，则可化为， 整理得， 因为，所以， 令，则函数在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减， 所以，故， 所以得最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解题关键在于对进行合理变形，通过构造函数，将问题转化为在上恒成立，然后可解. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定的正负，再观察幂函数图象判断即得. 【详解】对于A，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，A可能； 对于B，二次函数开口向下，则，此时存在与图中符合，如，B可能； 对于C，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，C可能； 对于D，二次函数开口向上，则，此时在为增函数，不符合，D不可能. 故选：ABC 10. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 C. D. 若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相关系数的正负判断出相关性的正负判断A；利用二次函数计算出最大销售额时的单价判断B；利用单价和销量的均值落在回归线上计算出的值判断C；将分别代入线性回归方程，得到的预测值分别为，从而求解出在线性回归直线左下方的概率判断D. 【详解】对A，由线性回归方程中的回归系数， 可知产品的销量与单价成负相关，故A正确； 对B，由，得， 则销售额， 为了获得最大的销售额，单价应定为82.5元，故B错误； 对C，由表中数据得， ， 可得样本点的中心的坐标为，则该回归直线过点， 代入，得，故C正确； 对D，将分别代入线性回归方程， 得到的预测值分别为， 由，故和在线性回归直线的左下方，满足条件的样本点只有2个，故所求概率为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列的通项公式为 C. D. 实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用和与项的关系求解，利用退一步相减法求解数列的通项公式，求出数列的通项公式后利用题目给的条件求解,利用数列的单调性求解数列的最值从而求出的取值范围. 【详解】当时，由及，解得，故A正确 因为数列的前项和为，且，即， 当时，可得，两式相减得， 因为，故，所以及均为公差为4的等差数列， 当上，由及，所以， 所以数列的通项公式为.故B错误 由B知，可得，故C正确； 因为对于任意成立，所以恒成立， 设，则， 时，， 时，， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的导函数分别为，且，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定等式求导，再赋值计算即得答案. 【详解】由函数，求导得， 令，得. 故答案为：8 13. 已知均为实数且，则的最小值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用基本不等式凑“一”法求解二元变量最值问题. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 14. 如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】按同色区域用黄色和不用黄色分类，再结合分步乘法计数原理列式计算即得；按用色多少分成3类，再在每一类中采用先取后排的方法列式计算即得. 【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色， ①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法， 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，分3种情况讨论： ①若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法； ③若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法， 综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：染色问题，可以按用色多少分类，再在每一类中找同色方案，并结合排列组合综合问题求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设数列是各项均为正实数的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解等比数列的公比，求得通项公式. （2）利用等比数列的前项和公式和等差数列的前项和公式求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 或. 小问2详解】 ， . 16. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，对，使得成立，求取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集. （2）利用函数的思想构造函数分类讨论求函数的值域，然后根据根据条件即得. 【小问1详解】 令，解得或， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为. 综上所述：时，不等式的解集为时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 小问2详解】 由， 代入整理得，令， ①当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. ②当，即时，对任意. 所以解得； ③当，即时，对任意. 所以，此时不等式组无解. ④当，即时，对任意. 所以此时不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 17. 已知函数. （1）若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求解出函数的极值和最值从而求解出范围. （2）利用抽象函数求导，分析出函数的单调性分析出极值和最值求解出取值范围. 【小问1详解】 因为的定义域为， 又当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 又时，， 故； 【小问2详解】 设， 令 ，考查这个函数发现在恒正， 即当时，单调递增， 在上单调递增， ， 即实数的取值范围为. 18. 学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛. 个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功. 团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛： 方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功. 方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率. （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率. （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 【答案】（1） （2） （3）选择方式一参赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由独立事件的概率乘法公式和古典概型概率公式计算即得； （2）分甲同学答对四道、五道、六道题，分析判断题和连线题答对题的数量，结合独立事件的概率乘法公式即可求得； （3）分别计算方式一和方式二的班级团队挑战成功的概率,再通过作差比较，构造函数利用函数单调性判断差值大小即得结论. 【小问1详解】 记事件为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题， ; 【小问2详解】 记事件：甲同学挑战成功，则事件包含以下几种情况： ①事件“共答对四道”，即答对余下的判断题，答错两道连线题，则， ②事件“共答对五道”，即答错余下的判断题，答对余下的三道连线题，则， ③事件“共答对六道”，即答对余下四道问题，， 所以； 【小问3详解】 设选择方式一､二的班级团队挑战成功的概率分别为. 当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的概率为，所以， 当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为， 所以，所以 ， 构造，则 ，因为，则， ，可得，所以，即，所以单调递增， 又因为，且，所以， 从而，即，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛. 【点睛】思路点睛：本题主要考查独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式的应用，属于较难题. 解题思路在于分析题意，将所求转化为事件间的关系，考查任务包含的各类情况，分别分析计算，对于概率比较大小的题型，一般考虑作差或作商，借助于构造函数的单调性进行比较. 19. 已知椭圆经过点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. （3）如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解； （2）由题意求出，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解； （3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线AD和BC，两直线方程相减可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意，点在椭圆上得，可得① 又由，所以②， 由①②联立且，可得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 易知，则，所以， 设，联立与有， 则，由解得， 到的距离即为在边上高的最小值，即， 此时面积的最小值； 【小问3详解】 设，则，即， 又由，得， 整理得， 再代入得，即， 所以， 同理令，，则， 则，， 则直线的方程为 ， 同理的方程为 ， 两式相减，整理得，即点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆八中2023—2024学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 命题：胡文琦 严傲 审核：苑繁宝 打印：严傲 校对：曹华荣 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量，则（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 13 4. 如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（ ） A. 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B. 函数可以是某个圆的“太极函数” C. 函数可以是某个圆的“太极函数” D. 是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 5. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ） A. B. C. D. 7 已知，则（ ） A. B. C D. 8. 若对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 C. D. 若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 11. 已知各项均不为0的数列的前项和为，且，对于任意成立，则下列说法正确的是（ ） A B. 数列的通项公式为 C. D. 实数的取值范围为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的导函数分别为，且，则__________. 13. 已知均为实数且，则的最小值为__________. 14. 如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设数列是各项均为正实数的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若，对，使得成立，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）若关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围； （2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围. 18. 学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛. 个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理和与其相关的数学家，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功. 团体赛规则：以班级单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛： 方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功. 方式二：将班级选派个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率. （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且配对正确与，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率. （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 19. 已知椭圆经过点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. （3）如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$