精品解析：黑龙江省鸡西市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

2023—2024年度第二学期期中考试 高二学年数学试题 （试题总分：150分 答题时间：120分钟） 命题人：王玉柱 审核人： 王莉莉 　　校对：高二数学组 温馨提示：沉着应对，冷静作答，成功属于自信的你! 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 2. 从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，则不同的安排方案有（ ）种 A. 25 B. 10 C. 20 D. 15 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 4. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 曲线的单调增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 7. 某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（ ） A. 16个 B. 31个 C. 32个 D. 63个 8. 函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各二项式系数的和为64 C. 展开式的第6项的系数为30 D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 10. 下面几种概率不是条件概率的是（ ） A. 甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B. 甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率 C. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 11. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为0 D. 是偶函数 二、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上） 12. 计算=________． 13. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为________． 14. 已知函数在区间上的最大值是20，则实数的值等于__________． 三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． （1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ （3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 18. 已知函数（为实数） （1）若，求的单调区间； （2）若，求在的最值； （3）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024年度第二学期期中考试 高二学年数学试题 （试题总分：150分 答题时间：120分钟） 命题人：王玉柱 审核人： 王莉莉 　　校对：高二数学组 温馨提示：沉着应对，冷静作答，成功属于自信的你! 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】利用通项求解可得. 【详解】通项公式为， 当时，， 所以项的系数为80. 故选：D 2. 从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，则不同的安排方案有（ ）种 A. 25 B. 10 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列的知识求解即可. 【详解】从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表， 共有种安排方案. 故选：C 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出. 【详解】在等差数列中，，则，公差， 所以. 故选：D 4. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用导数的定义与几何意义可求得正确答案 【详解】设， 所以 . 因为， 所以曲线在点处的切线的方程为，即. 故选：C. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数求导规则求导即可. 【详解】，则. 故选：B. 6. 曲线的单调增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导函数，令，可求单调递增区间. 【详解】由，可得， 令，可得，因为，所以，则有， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 7. 某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（ ） A. 16个 B. 31个 C. 32个 D. 63个 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得答案. 【详解】细胞分裂后细胞个数是一个以2为首项，2为公比的等比数列， 则一个细胞经过五次分裂后共有细胞个数为. 故选：C 8. 函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得. 【详解】由题可得， 由，可得，此时单调递减， 由，可得，此时单调递增， ∴， ∴. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各二项式系数的和为64 C. 展开式的第6项的系数为30 D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式定理逐一判断即可. 【详解】解：展开式共有7项，故A错误； 展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误； 展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选:. 10. 下面几种概率不是条件概率的是（ ） A. 甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率 B. 甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率 C. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D. 小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用条件概率的定义求解. 【详解】由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A，C，D中的不是条件概率． 故选：ACD． 11. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为0 D. 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】通过对函数求导，即可得出结论. 【详解】由题意，， 在中，， ∴当时，， ∴曲线在点处切线的斜率为，C正确； A项，当时，， 故在单调递增，A正确； B项，当时，， 当时，，所以只有0一个零点，B错误； D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误. 故选：AC. 二、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上） 12. 计算=________． 【答案】360 【解析】 【分析】根据排列数公式和组合数公式计算即可. 【详解】. 故答案为：360. 13. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用全概率公式求任取一件取到的次品的概率即可. 【详解】由题设，从中任取一件取到的次品的概率为. 故答案为： 14. 已知函数在区间上的最大值是20，则实数的值等于__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导分析函数单调性，根据函数的最大值求得即可. 【详解】由题意得：， 令，解得；令，解得； ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，为极小值； ∴，， ∴， ∴和分别是在区间上的最大值和最小值， 于是有，解得. 故答案为:. 三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． （1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ （3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 【答案】（1）60 （2）91 （3）14 【解析】 【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解. 【小问1详解】 从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法； 【小问2详解】 若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法； 【小问3详解】 若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式， 若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式. 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，再用三角恒等变换即可求解； （2）利用，分别在△和△运用余弦定理可得 ，再在△运用余弦定理得，两式联立即可求得，最后直接用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， ∴， ∴, ∴， ∵，∴， 又∵, ∴, 【小问2详解】 由已知得，， 在△中，由余弦定理得， 在△中，由余弦定理得， 又∵, ∴， 在△中，由余弦定理得， 以上两式消去得, 解得或（舍去）， 则. 17. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，平面， 所以 ， 又由题可知，， ，平面 且， 所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明； (2)建系，利用空间向量的坐标运算可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴建系如图， 由，，可得， 则有 设平面的一个方向量为 ， 所以 即 令则， 所以 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以，， 即二面角的余弦值等于. 18. 已知函数（为实数） （1）若，求的单调区间； （2）若，求在的最值； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2）最小值为，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，求得，得到函数的单调区间和最值，即可求解； （3）根据题意，转化为恒成立，令 ，利用导数求得的单调区间和最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 令，即，解得；令，即，解得， 所以函数在上单调减，在上单调递增， 即函数的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 解：当时，，可得， 令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 则函数在区间上的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 解：由题意，可得得函数的定义域为， 若恒成立，则，即恒成立， 令 ，则， 当 时， ；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以 ， 故的取值范围为. 19. 已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）证明：． 【答案】（1） （2）在上为减函数，在上为增函数 （3） 由（2）可得， 要证：，即证：， 因，即，即证， 即证：，其中， 设，其中， 可得， 则 因为，等号不可取， 所以在上为增函数，故，即， 故成立即. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，求得，设，得到，进而求得函数的单调区间，即可得求得单调区间； （3）由（2）可得，根据题意，转化为，即为，设，利用导数求得函数的单调性，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 可得，且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：由函数，其定义域为，且， 设，则， 当时，；当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 即的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $