精品解析：天津市天津市红桥区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积， 表示柱体的高. 锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积， 表示锥体的高. 球的体积公式 其中 表示球的半径. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2. 本卷共9题， 每小题4分， 共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知圆柱底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 3. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ） A B. 4 C. D. 4. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 6. 已知一个圆锥的底面直径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为______． 7. 已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是______. 8. 已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 在中，内角所对的边分别是，已知, ，. （1）求：值； （2）求：的面积. 10. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积， 表示柱体的高. 锥体的体积公式 其中表示锥体的底面积， 表示锥体的高. 球的体积公式 其中 表示球的半径. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2. 本卷共9题， 每小题4分， 共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误； 对于B选项，若，则或相交，故B选项错误； 对于C选项，由得，所以当时，，故C选项正确； 对于D选项，若且时，，故D选项错误； 故选：C 2. 已知圆柱底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果. 【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积. 故选：B. 3. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再作出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积. 【详解】因为直观图是等腰直角三角形且，所以， 由直观图可得如下平面图形： 则，，所以. 故选：C 4. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， ， . 故选：B 5. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以， 故选：D 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分. 6. 已知一个圆锥的底面直径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，结合圆锥的体积公式进行求解即可. 【详解】设该圆锥的母线为，底面半径为，高为， 因为圆锥的底面直径为6，所以， 因为圆锥的侧面积为， 所以有， 由勾股定理可知：， 所以该圆锥的体积为， 故答案为： 7. 已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理求得，进而可得两两垂直，可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，利用正方体的性质求外接球的半径. 【详解】设，则， 因为，则， 在中，因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 可知，即，同理可得，，所以两两垂直， 可以把三棱锥转化为边长为1的正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 正方体的体对角线即为外接球的直径，即. 故答案为：. 8. 已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】如图，令，则： 三点共线； 与共线反向，； ；- 解得． 故答案为：. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 在中，内角所对的边分别是，已知, ，. （1）求：的值； （2）求：的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得. （2）先求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 由于，所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 由于，所以是锐角， 所以， 则. 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）以原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明． （2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）设为线段上点，，，，，，求出，由平面的法向量，且直线和平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果． 【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥中，平面ABCD， ，，，，，. ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ， ∴，∴. （2）由（1）知，， 设平面APC的法向量，则， 取，得， 设平面PCD的法向量，则， 令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）解：设Q为线段PD上的点，， ， 则， 解得，，， ∴，， ∵平面PAC的法向量， 且直线AQ和平面PAC所成角正弦值为， ∴， 解得或（舍）， ∴. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$