精品解析：广西壮族自治区防城港市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

防城港市2023--2024学年度下学期高一期末考试试卷 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则得到，根据共轭复数的概念得到答案. 【详解】，所以共轭复数为. 故选：A. 2. 对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是 A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法作图规则，作出原图，再求其面积. 【详解】根据斜二测画法可得原图为： 其中四边形为平行四边形，且，， 所以原图形的面积， 故选：C. 3. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 4. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，利用投影向量的定义即可求解. 【详解】因为单位向量，满足，所以， 化简得：，即或(舍去)， 所以在上的投影向量为， 故选：D 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 6. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ） A. 0.125 B. 0.1 C. 0.075 D. 0.05 【答案】D 【解析】 【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得. 【详解】设事件“选物理”，“选化学”， 则有，， 由该班同学选物理和选化学相互独立， 即，则， 故，, 则. 故选：D. 7. 如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可得过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，结合台体的体积公式分析运算. 【详解】如图，连接，， ∵E，F分别为棱BC，的中点，则， 又∵，且，则为平行四边形， ∴， 可得， 故则过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为． 设正方体的棱长为2，则， 可得正方体的体积， 三棱台的体积， 故分成的上、下两部分几何体的体积比为． 故选：C． 8. 如图，已知是的垂心，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分别去判断各个选项. 【详解】对于A，若，，则与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，根据面面平行的判定定理，只有当与是平面内的两条相交直线时，方可确定，故C错误； 对于D，，，或，又，，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ） A. 满足的点P必为的中点 B. 满足的点P有且只有一个 C. 满足的点P有且只有一个 D. 满足的点P有且只有一个 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立坐标系，讨论P点所在位置的不同情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取， ， 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则， 综上，， 选项A：取，满足，此时， 因此点P不一定是的中点，故A错误； 选项B：当点P为B点或的中点时，均满足，此时点P不唯一，故B错误； 选项C：当点P为点时，且，解得，由上分析可知时为点，故C正确； 选项D：若， 当时，有，故，，此时， 当时，有，故，， 此时点P不唯一，故D错误； 故选：ABD. 11. 已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的高为1 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥侧面展开图的圆心角为 D. 二面角的大小为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的体积公式可判断B选项；利用扇形的弧长公式可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则， 所以与圆锥底面所成的角为， 又，所以的面积为，解得， 所以该圆锥的高为，故A正确； 对于B选项，该圆锥的底面半径为， 故该圆锥的体积为，故B错误； 对于C选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 底面圆周长为，则，故C正确； 对于D选项，取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为______． 【答案】120 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念按比例求解． 【详解】因为岁年龄段回收了180份问卷，而样本在岁年龄段的问卷中抽取了60份， 所以抽样比为． 因为分层抽取的样本的容量为300， 故回收的问卷总数为（份）， 可得（份）， 所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为（份）． 故答案为：120. 13. 设是复数且，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 14. 已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且，则角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据重心性质可得，代入已知，结合平面向量基本定理可得，然后由余弦定理可解. 【详解】记的中点分别为， 则， 由重心性质可知，，所以， 所以，即， 由平面向量基本定理可知，即， 所以，， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得； （2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 由题意， 因为，则，得， 则，所以； 【小问2详解】 由已知，又，， 所以，得， 则，， 故． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）84 （3）总平均数为；总方差为 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，结合利用两角和的正弦展开式化简，再结合角的范围可求结果； （2）由，利用三角形的面积公式化简可得，再结合角平分线定理可得，然后用余弦定理可求结果； 【小问1详解】 由正弦定理可得， 所以， 即， 可得， 整理可得， 因为在中，， 所以，又， 所以； 【小问2详解】 因为，AD平分， 所以， 由得， 即，整理可得，① 因为为角平分线，所以， 在中由正弦定理可得， 在中由正弦定理可得， 又，所以， 所以，② 由①②可得， 在中，由余弦定理可得 ， 解得. 18. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. （1）证明：平面； （2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质 判定推理即得. （2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用异面直线所成角的定义求出其正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 在平面内，过点作，垂足为，显然， 由侧面底面，交线为，得底面，底面， 则，过作，垂足为，连接，显然， 平面，则平面，而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 19. 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为. （1）求，； （2）若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值； （3）若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？ 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可； （2）分别求出第一次中奖，第次中奖的概率，第一次未中奖而第二次中奖，第次抽奖中奖的概率，前两次均未中奖，第次抽奖中奖的概率，即可求解时，，对比即可求解； （3）先分析获得勋章的情形，分别求出从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率，再求出仅三次中奖的概率即可求解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，若第一次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为， 从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖， 此时第次抽奖中奖的概率为， 从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖， 此时第次抽奖中奖的概率为， 综上所述，对任意的，， 又，所以； 【小问3详解】 由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次， 所以只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章， 另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，抽一次中奖的概率为， 从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为， 从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为， 用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖， 则三次中奖的所有情况如下：， ， 故仅三次中奖的概率为 ， 所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 防城港市2023--2024学年度下学期高一期末考试试卷 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（    ） A. B. C. D. 2. 对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是 A. B. 2 C. D. 4 3. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ） A. 0.125 B. 0.1 C. 0.075 D. 0.05 7. 如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，已知是的垂心，且，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 10. 如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（ ） A. 满足的点P必为的中点 B. 满足的点P有且只有一个 C. 满足的点P有且只有一个 D. 满足的点P有且只有一个 11. 已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的高为1 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥侧面展开图的圆心角为 D. 二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为______． 13. 设是复数且，则的最小值为___________. 14. 已知在中，内角所对的边分别为，点是的重心，且，则角的大小为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 18. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. （1）证明：平面； （2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值. 19. 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为. （1）求，； （2）若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值； （3）若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $