湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

长郡中学2024年上学期高二期末考试 数学 得分： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量 120分钟。满分150分。 第I卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 蜘 选项中，只有一项是符合题目要求的)》 1.集合A={x2≤x<4},B={xx-1≥8-2x),则AUB 啟 妇 A.[2,4) B.[3,4) 载 长 C.[2,+o) D.[3,+∞) 2.已知a>0,b>0,设甲：a-b>1,乙：va-√b>1,则 ☒ A.甲是乙的充分不必要条件 敬 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 常 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 苗 3.设a=ln1,b=log23,c=22,则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 4.某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若y与x线性相关，且 经验回归方程为y=一0.6x十a,则下列说法不正确的是 时间x 1 2 3 4 5 销量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 A.由题中数据可知，变量y与x负相关 B.当x=5时，残差为0.2 C.可以预测当x=6时销量约为2.1万只 D.经验回归方程y=一0.6.x十a中a=5.7 数学试题（长郡版）第1页（共8页） 5.某饮料厂生产A,B两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别 为40%，60%，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为20%，80%，若 从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为 A.0.12 B.0.20 C.0.44 D.0.32 6.已知sina+)=等，则sin(2a-若) A器 B.-24 25 c 7.函数f(x)=xsin x一x一1在区间(0，十∞)上的零点个数为 A.无穷多个 B.4 C.2 D.0 8.若正数a,b满足：a3十b=ab,则a的最大值为 A号 B C.√2 D.2 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四 个选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部 分分，选错或不选得0分) 9.已知函数f(x)=sin(x-),则 A.2π为f(x)的一个周期 B.y=f(x)的图象关于直线x=4对称 C.f(x十x)的一个零点为5 D.f(x)在区间（受，x上单调递减 10.已知向量a=(√2,1)，b=(cos0,sin0)(0≤0≤π)，则下列命题正确 的是 A.若a⊥b,则tan0=√2 B若b在a上的投影向量为一2a,则向量a与b的夹角为 C.存在0，使得a+b=a+|b D.a·b的最大值为v3 数学试题（长郡版）第2页（共8页） 11,设函数f(x)=1-血工，则下列选项正确的是 A.f(x)为奇函数 B当x>0时，f(x)的最小值为1-日 C.若函数g(x)=f(x)一a有四个零点，则实数a的取值范围是 (1-1+) D.函数y=f(.x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 答案 题号 2 P 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知复数2=a+bi(a≠0，a,b∈R),则当会 时，复数千对 应的点在虚轴上 13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB-sinC)2= sinA-sin Bsin C,则A= 1已知两个不同的正数a,6满足1-1，则山的取值范開是 数学试题（长郡版）第3页（共8页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知a=(2sinx,cos2x),b=(√3cosx,2),且函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间： (2)求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值. 数学试题（长郡版）第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2b一c)cosA=acos C. (1)求A: (2)若△ABC的面积为√3，BC边上的高为1，求△ABC的周长. 数学试题（长郡版）第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=e一a(x十2). (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 数学试题（长郡版）第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答， 答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题 作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束，已知甲答对题目的概率为号， 乙答对题目的概率为饣，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已 知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为号·记甲乙两人的答题总次 数为n(n≥2) (1)求p: (2)当=2时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为Pn(A). 证明：是P,(A)+P,(A)十+P.(A)<号 数学试题（长郡版）第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae,g(x)=lnx+b(a,b∈R). (1)当b=1时，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围： (2)已知直线l1,l2是曲线y=g(x)的两条切线，且直线1，L2的斜率之 积为1. (i)记xo为直线l,l2交点的横坐标，求证：xo<1: (i)若l,2也与曲线y=f(x)相切，求a,b的关系式并求出实数b 的取值范围 数学试题（长郡版）第8页（共8页）长郡中学2024年上学期高二期来考试 数学参考答案 题号 1 4 6 6 答案 B A B 0 B AC BCD BD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.C【解析】由x-1≥8-2x,解得x≥3，即B=〈xx≥3}， A={x2≤x<4》,.AUB={xx>2}.故选：C 2.B【解析】不妨设a=3,b=1,满足a-b>1,此时√a-√D=√-1<1，充分性不成立， √a-V6>1→√a6+1,两边平方得a>1+b+26, 又b>0,故4一b>1十2万>1.必要性成立， 故甲是乙的必要不充分条件 故选：B 3.A【解析】a=ln1=0,因为log2<log3<log4,所以1<log3<2,故1<b<2, c=2F>2=2,所以a<b<c. 故选：A, 4B【解析】对于选项A,从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确： 对于选项B,由表中数据知r=1+2+?+4+5=3,y-5+4.5+4+3.5+2.5=3.9, 5 5 所以样本中心点为(3,3.9)，将样本中心点(3,3.9)代入y=-0.6.x+a中得a=3.9+1.8=5.7, 所以经验回归方程为y=-0.6x+5.7,所以y=-0.6×5+5.7=2.7,e=2.5-2.7=-0.2,故B错误： 对于选项C,当x=6时销量约为y=-0.6X6+5.7=2.1(万只)，故C正确. 对于选项D,由上得a=3.9十1.8=5.7，故D正确. 故选：B 5.C【解析】由题意，选到非碳酸饮料的概率为40%×(1一20%)+60%×(1一80%)=0.44 故选：C 6C【解析】设B=a十吾，则a-B吾，sin-青， 所以sin(2a-g）=sim[2(g音）-吾]=sim(2g受）=-cos28. 所以-cs2g-(1-2simg)=2sim1=2×碧-1=名 故选： 7,D【解析】当x∈(0，十o∞)时，由fx)=0,即rsin-r-1=0,得sinx=1+ 当E0,十)时，m≤1恒成立，而1+>1恒成立，周此sin1=1+不成立， 所以函教f(x)=rsin x一x一1在区间(0，十oo)上的零，点个数为0. 故选：D 8.B【解析】因为a,b为正数，所以a3+6≥2√aF=2aba, 因为a+=ab,所以ab≥2aba, 所以1≥2后，所以a≤，当且仅当a=青=言时，取等号。 故选：B 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6 分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9AC【解析】对于A,根据函数f八x）=sin(x一)知最小正周期为2x,故A正确： 对于B,当x=时，f(复）=sim(暂-哥）=sin=0,故B错送： 数学参考答案（长郡版）一1 对于C,“fx十x)=sim(x+）∴f(受+)=sim(号+写)=sin元=0，故C正确： 对子D,函数)=sm(x一吾)在区间(-吾，）上单调递增，在区间（管，1）上单调适减，故D错误。 故选：AC 10.BCD【解析】因为向量a=(2,1),b=(cos0,sin8)(0≤x), 对于A,由a⊥b得a·b=√2cos0+sin0=0,解得tan0=一√2，故A错误： 对于B由b在a上的投影狗量为一品得6cmsa,=一 而b=1,所以c0sa,b)=一之，又周为a,b}∈[0，]，所以a,b=,放B正确： 对于C因为当b=a(>0)时，a+b1=a+b1,所以s0=21(0<长. sin 0=t 因此r+r=1,解得1=二，故C正确： 3 对于D,周为a·b-2cos0叶sin0=/5sim(0什g,而0<，0<p受，tnp-②， 所以当0叶9=受时，ab的最大值为5，故D正确， 故选：BCD 1.BD【解析】对于A,fx)=1-血工(r≠0)，（一x)=1+血工≠-fx),故A错送： 对于B,当>0时，x)=1-.x)血)在0，e)上递减，(e,十o)上递增)的最小值为e)=1-是 故B正确： 对于当>0时，f)=1-二f)=血，f在(0，e上递减，(e,十o)上遥增，且0时，+o,r一 +∞时，fx)→1： 当<0时x)=1-血二卫，/(x)=-1-血(_血二）Lfx)在(-0，-e)上递增，(-e,0)上递减，且一+0 时，f(x)·一0∞，x>一o∞时，f(x)-1,画出图象，知f(x)=a不可能有4个零点，故C错误； 对于Dy=fx)+f2x)=1-h+1-n2x 令gx)=1-血工+1-血2ul-2=-nu_ln12u 2x g的定义城为xx≠0，则g(一)十g)=-血工+-血2+（血工血2）=0， -2x ∴g(x)是奇函数，图象关于原点对称，∴y=f(x)十f(2x)关于点(0,2)对称，故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.-1 13.60°【解析】由已知得sinB+sinC-sinA=sin Bsin C, 故由正弦定理得十2一a=x. 由余孩定理得0sA=公+一d=1 2 因为0°<A<180°，所以A=60° 14(o,)【解折将0士少-山护两边展开，得到++3+女-少+3动+8+方 b 从而（公-甘）+3a-b)+(日-方)=0，故(a-)(a+b计3-)=0，雨u6, 故a+6+3-品=0，又a>0.b>0,故品=a+b6+3>2v6+3. 从而2()+3(Vab)<1.设函数g(x)=2xr+3x2,则g(va品)<g(号)=1， 观察易得g(x)在(0，十∞)上单调递增，故Va<号，又a>0,b>0,所以0<ab< 故答案为：(0，) 数学参考答案（长郡版）一2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)a=(2sinx,cosx),b-(3cosx,2), 由f(x)=a·b=23 sin reos r+2cos2x =/5sin2x+cos2x+1=2sim(2x+否)+1， …3分 得)的最小正周期T-受=，… …5分 由2kx+受<2r+吾<经+2，k∈Z. 得晋+m<<+x,k∈Z 故)的单调递减区间为[吾十k红，+x],k∈Z …9分 由[o.受]可得2+音∈[吾，】， 当2x+音-得时，函兼/：)取得最小值为2in行+1=0， 当2x+吾-晋时，函数f)取得最大值为2sin受+1=3， 故得函数)在区间[0，受]上的最大值为3.最小值为0.… …13分 16.【解析】(1)因为(2b-c)cosA=acos C, 由正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C, 2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即2 sin Bcos A=sinB. 因为在△ABC中，inB≠0.所以osA=之 、又因为0<A<,所以A=至 (2)因为△ABC的面积为5，即号×a×1-5,即a=25. 所以nA=停c一原，所以灰=4 由余弦定理，得a2=∥十c2-2 bccos A,即12=+2-x, 得(b+c)2=12+3c=24,所以b+e=2√6， 所以△ABC周长为a十b叶=26十25.…15分 17.【解析】由题意，f(x)的定义战为（一oo,十oo),且f(x)=e一a. (1)当a=1时，f(x)=e-1,令f(x)=0,解得x=0, ∴.当x∈（一∞，0）时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当r∈(0，十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， f(x)在（一6∞，0）上单调递减，在(0，十o∞)上单调通增.…7分 (2)①当a≤0时，f(x)=e一a>0恒成立， f(x)在（一∞，十o∞）上单调递增，不符合题意：… …9分 ②当a>0时，令f(x)=0,解得x=lna, 当x∈(-∞，lna)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(na,十c∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， .f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a一a(lna十2)=一a(1十na), 又当x一o∞时，f(x)→十∞，当x→十∞时，f(x)→十∞， ∴.要使f(x)有两个零点，只要f(na)<0即可， 则1+na>0,可得a>名， 综上，若x)有两个零点，剥实教a的取值范国是（日，十o). …15分 数学参考答案（长郡版）一3 18.【解析】(1)记A=“第i次答题时为甲”，B=“甲积1分” 则PA)=之，P(BA)=言，PBA)=1-号=，P(BA)=1-p.PBA)=p, 是=[号叶写1-]+[a-吉+p:号]， 则-，解得p号. 44…5分 (2)由题意可知当n=2时，X可能的取值为0,1,2， 则由(1)可知P(X=1)=号， pX=0)=(告×号+号×号)-是 pX=2)=(告×号+号×)- X的分布列为： X 0 P 2 3 4 15 随机支量X的载学期塑为E0D=0X是+1X号+2×言-品 17 ……12分 (3)由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x乙，则xΨ一x2=2,且x甲十x=n, 所以甲晋级时n必为偶数，令n=2m,m∈N”, 当n为奇数时，P,(A)=0, 则P2(A)+P(A)+…+P.(A)=P2(A)十P(A)++P(A) =()°·+()·+()·+…+()· ---(+()门 11-(）) (1-(是) 又m≥]时，P(A)+P(A)十…十P(A)随着m的增大而增大， 告≤P(A)十(A)十…十(A …17分 19.【解析】1)由于ae≥ln2+1,则a≥血r+1 e 设F)n+l,则F()=之血 e C—,F1)=0,且y=上-ln-1在(0，+0)上单调递减. 令F(x)>0得0<x<1,令F(x)<0得x>1. 所以F(x)在(0,1)上单调递增，(1，十o∞)上单调递减， 所以Fx)=FID,则a>F1)= …5分 (2)(iD设两条切线在g(x)上的两个切点横坐标分别为x1,n, 有gx)g()=1·1=1,即1=1， 无1rg 此时，切线为y-(n西十b)=1(x一西)3y-(ln+b)=上(r一)， 相减得n-h=(日)：=国-x 所以=h-h西=血五十h=2n xg一 ，8分 设kx)=2nx-(2-子).k'(x)=是-1-<0，所以(x)在(0，+o∞)上单调递减 故当xE(0,1)时，k(x)>k(1)=0,所以0>2h>(x-2）: 数学参考答案（长郡版）一4 当x∈(1，十o0)时，k(x)k1)=0,所以0<2nr<(工-1)，则西=2血业<1.…11分 (i)由题意得，存在实数x,l,使∫(x)在x=s处的切线和g(.x)在x=1处的切线重合， 所以)=)上C)=g更，即e=1gen广一血b 则s-t=1一n1-bi,s=1一tnt-(b-1)t, 又因为ae=}→lna十s=-nt,所以lna=-n1一s=-ln1-1+ln什(h-1), 题目转化为h(1)=一ln1一1十tn1十(b一1)1=lna有两个不等实根，且互为倒数，*……13分 不蜡液两根为m…六 到由m=a(分)，得-nm一1中hm+一Dm=-n品-1计品n品 n1+(b-1) 化简得nm= -1(分m）-=m=6-1D0 m2十1一2m 1一2m 所以lna=(m-1)lnm-1+(b-1)m=(b-1)(一1-m)-1+(b-1)m=-b, 所以b=一lna(也可写为a=).…15分 代入h(t)中得h(t)=-lnt一1十nt十(b-1)t=一b有两个不等实根， 卑6一1景a 设G)号h,G (}-1-n)+1)-1-on,}-1-2h4 (1+1) (1+1)2, 由于H()=}-1一n1在(0，+∞)上单调运减且H)=0, 所以G(1)在(0,1)单调递增，(1，十∞)单调递减， 而1无限趋近于0时，G(1)无限趋向于负无穷大， 1无限趋近于正无穷大时，G(t)无限趋向于负无穷大，G(1)一0， 所以b-1<0,即b1…17分 数学参考答案（长郡版）一5