第1章 微专题15 解直角三角形的几种常见类型-【宝典训练】2023-2024学年九年级下册数学高效课堂课件(北师大版)

第一章　直角三角形的边角关系 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 类型1　已知两直角边解直角三角形 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 类型2　已知一直角边和斜边解直角三角形 2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BCM和点A到直线MC的距离． 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 如答图，过点A作AD⊥MC交MC于点D． ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠ABC＝∠BCM＋∠ACD＝90°． 又∵∠BAC＝∠BCM，∴∠ABC＝∠ACD． 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 类型3　已知一直角边和一锐角解直角三角形 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长． 解：∵∠BDC＝45°，BC＝3，∴CD＝3. 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 类型4　已知斜边和一锐角解直角三角形 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，求这个三角形的其他元素． 解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10， 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 类型5　已知斜边和一三角函数值解直角三角形 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ .求： (1)AD的长； 解：tanB＝ ，可设AC＝3x，得BC＝4x. ∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52， 解得，x＝－1(舍去)，或x＝1，∴AC＝3，BC＝4， 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 (2)sinα的值． 解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E. 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 类型6　已知非直角三角形中的边和角解直角三角形 6．如图，在△ABC中，已知AC＝6 ，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长． 解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADC＝∠ADB＝90°． 在Rt△ACD中， ∵∠C＝45°，∴AD＝DC． 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 7．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝ ，求tanA的值． 解：如答图，过点D作CD的垂线交BC于点E. 在Rt△CDE中， 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 解：延长BC，AD相交于点E.如答图， ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°． 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b. (1)判断△ABC的形状； 解：△ABC为直角三角形． 证明：将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2. ∴△ABC为直角三角形． 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 (2)求sinA＋sinB的值． 解：由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.…① 将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2. 返回首页 1 2 5 6 9 3 4 7 8 第 ‹#› 页 微专题15　解直角三角形的几种常见类型 本节内容到此结束！ logo 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝，b＝3，求∠A，∠B的度数及AB的长． 解：∵a＝，b＝3，∴c＝＝＝2， 即AB＝2.∵tanA＝＝， ∴∠A＝30°，∠B＝60°． 解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，∴BC＝ ＝＝5， ∴sin∠BAC＝＝. 又∵∠BAC＝∠BCM，∴sin∠BCM＝. 在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝， ∴sin∠ACD＝. 在Rt△ACD中，sin∠ACD＝＝， ∴＝.∴AD＝. 即点A到直线MC的距离是. ∵∠A＝30°，BC＝3，∴tanA＝＝＝， 即AC＝3，∴AD＝AC－CD＝3－3. ∴∠A＝45°，a＝b＝c•sinA＝5. ∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝＝3. ∵tanB＝，可设DE＝3y，则BE＝4y. ∵BE2＋DE2＝BD2， ∴(3y)2＋(4y)2＝12， 解得y＝－(舍去)，或y＝，∴DE＝， ∴sinα＝＝. 又∵AC＝6，∴AD＝DC＝AC•sin45°＝6. 在Rt△ABD中， ∵∠B＝60°，∴sinB＝＝，∴AB＝4. ∵tan∠BCD＝＝，∴设DE＝x，则CD＝3x. 又∵CD⊥AC，∴DE∥AC． 又点D为AB的中点，∴点E为BC的中点． ∴DE＝AC，∴AC＝2DE＝2x. 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，tanA＝＝. 在Rt△ABE中，BE＝＝＝2. 如答图，在Rt△CDE中，DE＝＝＝. ∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝AB•BE－CD•ED＝×2×2－×1×＝. ∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.由①可知，b≠c.∴4c＝5b.∴b＝c.…② 将②代入①，得a＝c. ∴在Rt△ABC中，sinA＋sinB＝＋＝＋＝. $$