第1章 勾股定理（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

第1章：勾股定理章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级______________ 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024春•滨海新区期末）若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为（　　） A．5 B． C．2.4 D．7 2．（2024春•武昌区期末）下列是勾股数的一组是（　　） A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1， 3．（2023•雁塔区校级模拟）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 4．（2024春•安州区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 5．（2024春•高密市期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为（　　） A．3米 B．4米 C．4.4米 D．5.4米 6．（2024•阳泉一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 7．（2023秋•临淄区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 8．（2024•芝罘区二模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 9．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 10．（2024•武威二模）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024春•四平期末）一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为　 　． 12．（2024春•武汉期末）如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知图中所有正方形的面积的和为128cm2，则其中最大的正方形A的边长为 　 　cm． 13．（2024春•拜城县期中）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为 　 　平方米． 14．（2024春•南昌县期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则1小时后两船相距 　 　海里． 15．（2023秋•龙口市期末）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 　 　． 16．（2024春•拱墅区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝　 　． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2024春•道县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长． 18．（8分）（2024春•瑶海区校级期中）（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2； （2）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC边上的高AD＝4，求边BC的值． 19．（8分）（2024春•南充期末）如图，学校有四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AC＝5m． （1）求AD的长度． （2）若种植草皮需要150元/m2，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 20．（8分）（2024春•立山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 21．（9分）（2024春•梁平区期末）如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD＝30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP＝320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中． （1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由； （2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？ 22．（9分）（2023春•萨尔图区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点P在AB边的垂直平分线上时，求t的值； （2）当点P在∠BAC的平分线上时，求t的值． 23．（10分）（2024春•献县月考）已知：AD是△ABC边BC上的高，∠ACD＝45°，AB＝13，AD＝5． （1）若D在线段BC上，求线段BC的长； （2）若D在直线BC上，求△ABC的面积． 24．（12分）（2024春•万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章：勾股定理章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024春•滨海新区期末）若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为（　　） A．5 B． C．2.4 D．7 【分析】直接根据勾股定理求解可得． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是3和4， ∴斜边长为5， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 2．（2024春•武昌区期末）下列是勾股数的一组是（　　） A．4，5，6 B．1， C．5，12，13 D．1， 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【解答】解：A.42+52≠62，不是勾股数，不符合题意； B.，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C.122+52＝132，且5，12，13都是正整数，是勾股数，符合题意； D.，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股数的定义，关键是根据勾股数的定义解答． 3．（2023•雁塔区校级模拟）下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵AB2+BC2＝AC2，故△ABC是直角三角形，选项A不符合题意； ∵AB2﹣BC2＝AC2， ∴AC2+BC2＝AB2，故△ABC是直角三角形，选项B不符合题意； ∵∠A+∠B＝∠C， ∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴最大角∠C＝180°75°，故△ABC不是直角三角形，选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状． 4．（2024春•安州区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出a2+b2＝13，然后结合完全平方公式的变形得出（a﹣b）2＝5，最后由小正方形的面积为EF2＝（a﹣b）2，即可得出结论． 【解答】解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b， ∵大正方形的面积为17， ∴AD2＝17， ∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2， ∴a2+b2＝17， ∵（a+b）2＝22， ∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×17﹣22＝12， ∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b， ∴小正方形的边长为EF＝2（负值舍去）， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 5．（2024春•高密市期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为（　　） A．3米 B．4米 C．4.4米 D．5.4米 【分析】设绳索AD的长度为x m，则AB＝x m，AC＝AB+BC＝（x+0.8）m，得到BE＝EC﹣BC＝DF﹣BC＝1.8﹣0.8＝1（m），求得AE＝AB﹣BE＝（x﹣1）m，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：设绳索AD的长度为x m， 则AE＝x m，AB＝AD+BD＝（x+0.4）m， ∵CD＝BC﹣BD＝EF﹣BD＝1.4﹣0.4＝1（m）， ∴AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 由题意得：∠ACE＝90°， 在Rt△AED中，由勾股定理得：CE2+AC2＝AE2， 即32+（x﹣1）2＝x2， 解得：x＝5， ∴x+0.4＝5+0.4＝5.4， 即立柱AB的高度为5.4m， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 6．（2024•阳泉一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（　　） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【分析】连接BD，根据勾股定理得到BD15（m），根据勾股定理的逆定理得到∠ADB＝90°，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接BD， ∵BC＝9m，CD＝12m，∠C＝90°， ∴BD15（m）， ∵AB＝25m，AD＝20m， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形ABCD的面积204（平方米）， ∴204×200＝40800（元）， 答：铺满该区域需要的费用是40800元， 故选：A． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△DBC是直角三角形是解题关键． 7．（2023秋•临淄区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【分析】由勾股定理求出AB长，由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长，由线段中点定义求出BE长，即可得到DE＝BE﹣BD＝0.7． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵CD⊥AB于点D， ∴△ABC的面积BC•CAAB•CD， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝2.4， ∴BD1.8， ∵E是AB的中点， ∴BEAB＝2.5， ∴DE＝BE﹣BD＝0.7． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长． 8．（2024•芝罘区二模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得 D＝AB＝2，∠B＝∠ADB，CE＝DE，∠C＝∠CDE，可得∠ADE＝90°，继而设AE＝x，则CE＝PE＝3﹣x，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上 的点D处， ∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE＝DE，∠C＝∠CDE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠ADB+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴AD2+DE2＝AE2， 设AE＝x， 则CE＝PE＝3﹣x， ∴22+（3﹣x）2＝x2， 解得， 即， 故选：A． 【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 9．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 【分析】根据勾股定理求出AB＝5，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50， 图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50， 图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50， ......， ∴图6中所有正方形的面积为5×25+50＝175， 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键． 10．（2024•武威二模）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开， 作A关于EF的对称点A′， 则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度， ∵A′B17（cm）， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm， 故选：B． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024春•四平期末）一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为　 　． 【分析】先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5， ∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x． ∵其周长为60cm， ∴3x+4x+5x＝60，解得x＝5， ∴三角形的三边长分别是15，20，25． ∵152+202＝252， ∴此三角形是直角三角形， ∴S15×20＝150（cm2）． 故答案为：150cm2． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 12．（2024春•武汉期末）如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知图中所有正方形的面积的和为128cm2，则其中最大的正方形A的边长为 　 　cm． 【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可． 【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可知：上面两个正 方形的面积之和为下面的正方形的面积，即， ∴， 正方形A的边长为8cm， 故答案为：8． 【点评】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 13．（2024春•拜城县期中）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积 为 　 　平方米． 【分析】根据勾股定理的逆定理可判断三角形花园是直角三角形，且5米，12米，是两条直角边，由此可求解． 【解答】解：∵52+122＝132， ∴三角形花园是直角三角形，且5米，12米是两条直角边， ∴这块花园的面积为平方米， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 14．（2024春•南昌县期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则1小时后两船相距 　 海里． 【分析】因为向东北和东南方向出发，所以两船所走的方向是直角，两船所走的距离是直角边，所求的是斜边的长． 【解答】解：由题意可得：24×1＝24（海里），18×1＝18（海里）． 则两船相距：30（海里）． 故答案为：30． 【点评】本题考查勾股定理的运用，关键是知道两船的所走的方向正好构成的是直角，然后根据勾股定理求出斜边的长． 15．（2023秋•龙口市期末）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 　 　． 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD． 【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12， ∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12， ∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25， ∴CD＝5， 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81， ∴CD＝9， ∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14； （2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12， 在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得 CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25， ∴CD＝5， 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得 BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81， ∴BD＝9， ∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4． 故答案为14或4． 【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 16．（2024春•拱墅区校级期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为6，则S1+S2+S3＝　 　． 【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，则S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，先证明S2＝a2+b2＝36，再证明S1+S2+S3＝3（a2+b2）即可得到答案． 【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且a＞b， 由题意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， ∵正方形EFGH的边长为6， ∴S2＝a2+b2＝36， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2 ＝a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2 ＝3（a2+b2） ＝108， 故答案为：108． 【点评】本题考查正方形的面积、勾股定理，乘法公式，能利用全等的直角三角形的两条直角边表示面积是解决本题的关键． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2024春•道县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长． 【分析】先证明AE＝BE，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：连接AE． ∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE＝BE． 在△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝4． 设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2， 解得． ∴CE的长为． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18．（8分）（2024春•瑶海区校级期中）（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2； （2）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC边上的高AD＝4，求边BC的值． 【分析】（1）在Rt△ABD，Rt△ACD中，利用勾股定理即可得到结论； （2）利用勾股定理分别求出BD和DC的值相加即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABD，Rt△ACD中，根据勾股定理得： AB2﹣BD2＝AD2， AC2﹣CD2＝AD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2； （2）在Rt△ABD，Rt△ACD中，根据勾股定理得： BD4， DC3， ∴BC＝BD+DC＝43． 【点评】本题考查勾股定理，正确记忆这个知识点是解题关键． 19．（8分）（2024春•南充期末）如图，学校有四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AC＝5m． （1）求AD的长度． （2）若种植草皮需要150元/m2，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 【分析】（1）连接AC，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的面积公式得到四边形ABCD的面积AD•CDAC•BC4×35×12＝36（m2），于是得到结论． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠ADC＝90°，CD＝3m，AC＝5m， ∴AD4（m）， 答：AD的长度为4m； （2）∵CB2+AC2＝122+52＝132＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴四边形ABCD的面积AD•CDAC•BC4×35×12＝36（m2）， ∴150×36＝540（元）， 答：给这块四边形空地种植草皮需要540元． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． 20．（8分）（2024春•立山区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD12， 在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH， 在△CHB和△AEF中， ， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键． 21．（9分）（2024春•梁平区期末）如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD＝30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP＝320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中． （1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由； （2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？ 【分析】（1）如图作PH⊥CD于H．求出PH与200比较即可； （2）当PE＝PF＝200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，求出EF的长即可解决问题； 【解答】解：（1）如图作PH⊥CD于H． 在Rt△APH中，∵∠PAH＝30°，PA＝320m， ∴PHPA＝160m， ∵160＜200， ∴学校P会受到噪声的影响． （2）当PE＝PF＝200时，动车在线段EF上时，受噪声影响， ∵EF＝2FH240m， 180千米/时＝50米/秒 ∵8.8秒， 答：学校P受影响的时间为8.8秒． 【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形、路程、速度．时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意统一单位． 22．（9分）（2023春•萨尔图区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点P在AB边的垂直平分线上时，求t的值； （2）当点P在∠BAC的平分线上时，求t的值． 【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，连接BP，然后结合中垂线的性质定理求得AP＝BP，然后由题意得AP＝t，进而得到CP与BP的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值； （2）过点P作PE⊥AB，则PC＝PE，然后结合角平分线的性质定理求得CP＝BP，然后由题意得CP＝t，进而得到CP与BP的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值． 【解答】解：（1）如图1，①当点P在边AB的垂直平分线上时， 过点P作PD⊥AB于点D，连接BP，则PA＝PB＝t（cm）， ∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm， ∴AC＝8cm， ∴PC＝（8﹣t）cm， 在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC2+BC2＝PB2，即（8﹣t）2+62＝t2， 解得：， ∴点P在AB边的垂直平分线上时，求t的值为． （2）当点P在BC上时， 如图2，过点P作PE⊥AB， ∵AP平分∠BAC且PC⊥AC， ∴PC＝PE＝（t﹣8）cm， ∴PB＝（14﹣t）cm， 在△ACP与△AEP中， ， ∴△ACP≌△AEP（AAS）， ∴AE＝AC＝8cm， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2cm， 在Rt△PEB中，由勾股定理得：PE2+EB2＝PB2， ∴（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2， 解得：， ∴当点P在∠BAC的平分线上时，t的值为． 【点评】本题以动点问题为背景，考查了线段的中垂线定理、角平分线定理和勾股定理，解题的关键是熟知角平分线定理和中垂线定理得到相关线段的长度． 23．（10分）（2024春•献县月考）已知：AD是△ABC边BC上的高，∠ACD＝45°，AB＝13，AD＝5． （1）若D在线段BC上，求线段BC的长； （2）若D在直线BC上，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据题意作出相应图形，然后利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况分析：在（1）中情况下；然后再作出另外一种情形图形求解即可． 【解答】解：（1）由题意画图可知， ∵AD是△ABC边BC上的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠ACD＝45°，AD＝5， ∴AD＝DC＝5． 在Rt△ADB中，AB＝13，AD＝5， ∴， ∴BC＝BD+CD＝12+5＝17； （2）在（1）的情形下， ∵BC＝17，AD＝5， ∴； 另一种情形如下图， ∵∠ADB＝90°，∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD＝5， 在Rt△ADB中，根据勾股定理可得 ， ∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7， ∴． ∴△ABC的面积是或． 【点评】本题主要考查勾股定理解三角形及三角形等面积法，理解题意，作出相应图形，然后分情况求解是解题的关键． 24．（12分）（2024春•万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 【分析】（1）①用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． （2）设AO＝m，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【解答】（1）①证明：∵中间小正方形的边长为b﹣a， ∴小正方形的面积为（b﹣a）2． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：（b﹣a）2+2ab＝a2+b2． 又∵大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积还可以表示为c2， ∴a2+b2＝c2． ②解：由①可知， a2+b2＝c2＝169， ∵b﹣a＝7， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝49， ∴2ab＝120， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289， ∴a+b＝17（舍负）， 即直角三角形两直角边之和为17． （2）解：设AO＝CO＝GO＝EO＝m， ∵OB＝OH＝OD＝OF＝6， ∴AH＝CB＝DE＝FG＝m﹣6． ∵外围轮廓（实线）的周长为48， ∴4（AB+m﹣6）＝48， 则AB＝18﹣m． 在Rt△ABO中， 62+m2＝（18﹣m）2， 解得m＝8， 即AO＝8， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形ABCD的面积及巧用整体思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$