精品解析：广东省广州市越秀区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期期末诊断性调研 八年级数学学科 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线不经过第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 如图，在中，对角线，交于点．且，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 23 D. 24 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.3 0.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 30 D. 7. 在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. D. 9. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．若△ADE的周长为5，则△ABC的周长为________． 13. 已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为_______． 14. 如图，直线与直线相交于，则不等式的解集为___________． 15. 木棉花，又称为英雄花，是广州市的市花．有一批木棉树的树干的周长情况如图所示，则这批木棉树树干的平均周长约为________． 16. 如图，在菱形中，，，、分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是________．（请填写正确的序号） 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：________，________，________； （2）是直角吗？请说明理由． 20. 某班有20名男生，老师为了解这些男生的体能情况，对20名男生进行体能测试，并对测试成绩（百分制，单位：分）进行了统计和分析： 数据收集： 100 89 79 81 60 79 83 64 78 87 76 79 91 71 77 79 72 75 86 73 数据整理： 对这20名男生成绩（用x表示）整理，老师规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀． 测试成绩 等级 不合格 合格 良好 优秀 频数 0 a 11 b 数据分析： 平均数 众数 中位数 79 c d 解决问题： （1）填空：________，________，________； （2）老师对本次测试数据分析以后，准备对成绩排在前一半的男生进行表扬．班上的男同学小林说：“我的测试成绩是78分，比平均数79低，所以肯定不会被表扬”，你认为小林的说法对吗？并请说明理由． 21. 如图，在中，，为的中点，，． （1）判断四边形的形状、并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 22. 某学校计划在总费用元的限额内租用辆汽车送名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） （1）设租用辆甲种客车，租车费用为元．用含有的式子表示．并指出随的增大而增大还是减小？ （2）一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 23. 在平面直角坐标系中，已知点，． （1）求直线的函数解析式； （2）若点，都在直线上，求的值； （3）若点，且，求点P的坐标． 24. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B．点P为线段上一个动点，连接． （1）如图1，若点P为线段中点，求的面积． （2）如图2，经过点P的直线交x轴于点C，交直线于点D．当P为线段的中点时，求k的值． （3）如图3，以为边在的下方作等边三角形，连接．当取最小值时，求点P的坐标． 25. 如图，正方形的边长为4，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． （1）当平分时，求点F到的距离． （2）求的周长的最小值，并求出此时的长． （3）若为直角三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期末诊断性调研 八年级数学学科 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的不含分母．根据最简二次根式的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、 是最简二次根式，故此选项符合题意； B、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选A． 2. 直线不经过第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴直线的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 3. 如图，在中，对角线，交于点．且，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据“平行四边形的对角线互相平分”，推出，根据“平行四边形的对边相等”，得出，根据的周长，得出答案即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴的周长， 故选：B． 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.3 0.3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：由表格知，甲、丙、丁成绩的平均数大于乙，且其中丙成绩的方差最小， 所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择丙， 故选：C． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质对每一项判断即可解答． 详解】解：∵，故项不符合题意； ∵，故B项不符合题意； ∵，故C项不符合题意； ∵，故D项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的加法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质，掌握对应法则是解题的关键． 6. 如图，小岛A在港口B北偏东方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为（ ） A. B. C. 30 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．连接，此题易得，得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 由已知得：，，， ∴， 中，， ∴（）， 故选：B 7. 在中，对角线相交于点，若要使为矩形，可以添加下列哪个条件？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，菱形的判定定理，平行四边形的性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此求解即可． 【详解】解：A、：对角线垂直的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． B、：无法直接推导出直角或对角线相等，无法判定为矩形，故此选项不符合题意． C、：邻边相等的平行四边形是菱形，而不一定是矩形，故此选项不符合题意． D、：在平行四边形中，，．若，则，满足“对角线相等的平行四边形是矩形”，故此选项符合题意． 故选D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解，，可得，求解平行四边形的面积为，过作于，再利用等面积法列方程求解即可． 【详解】解：如图，∵直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点， ∴，， ∴， ∵点C坐标为， ∴， ∴平行四边形的面积为， 过作于， ∴， 解得：， ∴直线和直线的距离是为； 故选D 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标，二次根式的除法运算，等面积法的运用，熟练的利用等面积法求解平行四边形的高是解本题的关键． 9. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键． 根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】A、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，，中，，，、的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 10. 2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 记和交于点，根据正方形的性质，利用证明，利用证明，设，结合勾股定理推出，根据大正方形边长为，得出，求出，即为四边形的面积． 【详解】解：如图，记和交于点， ∵四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形， ∴，，，， ∴， ，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵大正方形边长为， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零即可得解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得被开方数 ， 解得 ． 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．若△ADE的周长为5，则△ABC的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据中位线定理以及相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，， ∴， ∴ , ∵， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了中位线定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 13. 已知正比例函数的图象过点，则该函数的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵正比例函数的图象过点 ， 解得：， ∴该函数的解析式为； 故答案为： 14. 如图，直线与直线相交于，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 15. 木棉花，又称为英雄花，是广州市的市花．有一批木棉树的树干的周长情况如图所示，则这批木棉树树干的平均周长约为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数的应用，根据题意得到各组最中间值，然后根据一组数的平均数等于这组数据的总和除以数据的个数，计算得出答案即可，熟练掌握一组数的平均数等于这组数据的总和除以数据的个数是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：各组最中间值40，50，60，70， ， ∴这批木棉树树干的平均周长约为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，、分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是________．（请填写正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 连接，过点作于点，根据菱形的性质，利用证明，得出，判断①，得出，根据 ，判断②，根据随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，判断③，根据含角的直角三角形的性质、角平分线的性质定理、垂线段最短，推出的最小值，等于当时，的值，结合勾股定理计算，得出的最小值，判断④． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴和是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确；， ，故②正确； ∵随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于， ∴错误，即③错误； ∵， ， ∴点到的距离， ∴的最小值，等于当时，的值， ∵当时，， ∴此时，， ∴的最小值，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据乘法分配律变形为，再计算二次根式的乘法，最后进行减法运算即可，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 19. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）填空：________，________，________； （2）直角吗？请说明理由． 【答案】（1），，， （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵每个小正方形的边长为1， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 20. 某班有20名男生，老师为了解这些男生的体能情况，对20名男生进行体能测试，并对测试成绩（百分制，单位：分）进行了统计和分析： 数据收集： 100 89 79 81 60 79 83 64 78 87 76 79 91 71 77 79 72 75 86 73 数据整理： 对这20名男生成绩（用x表示）整理，老师规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀． 测试成绩 等级 不合格 合格 良好 优秀 频数 0 a 11 b 数据分析： 平均数 众数 中位数 79 c d 解决问题： （1）填空：________，________，________； （2）老师对本次测试数据分析以后，准备对成绩排在前一半的男生进行表扬．班上的男同学小林说：“我的测试成绩是78分，比平均数79低，所以肯定不会被表扬”，你认为小林的说法对吗？并请说明理由． 【答案】（1），， （2）小林的说法对，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是数据的收集与整理，众数与中位数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）整理数据可得，再根据众数与中位数的含义可得的值； （2）根据中位数的含义可得答案． 【小问1详解】 解：∵100、 89、 79、 81、 60、 79 、83、 64、 78、 87 、76、 79、 91 、71、 77 、79 、72、 75、 86、 73， ∴排序后为：60 、64、 71、 72 、73、 75、 76、 77 、78 、79、 79 、79、 79 、81、 83 、 86、 87 、89 、91、 100， ∴有7人， ∴； ∵79出现的次数最多， ∴， 由排序后可得：； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：小林的说法对，理由如下： ∵中位数为，小林的测试成绩是78分，小于中位数， ∴小林肯定不会被表扬， ∴小林的说法对． 21. 如图，在中，，为的中点，，． （1）判断四边形的形状、并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得出四边形是菱形； （2）根据，，得出并计算，根据菱形的性质，得出，根据四边形的面积，得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，为的中点， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵在中，，为的中点，，， ∴，， ∴和等底同高， ∴， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 22. 某学校计划在总费用元的限额内租用辆汽车送名师生集体外出活动．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 租金/（元/辆） （1）设租用辆甲种客车，租车费用为元．用含有的式子表示．并指出随的增大而增大还是减小？ （2）一共有哪几种租车方案？哪种方案的租车费用最少？ 【答案】（1），随的增大而增大 （2）有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用与方案问题、一元一次不等式的应用，理解题意、正确列出一次函数、一元一次不等式求解是解题的关键． （1）根据租用辆汽车，设租用辆甲种客车，租车费用为元，则租用辆乙种客车，表示出，根据一次函数的性质，判定出随的增大而增大即可； （2）根据总费用元的限额内，得出求解，根据租用辆汽车送名师生集体外出活动，得出求解，根据应避免空车，得出求解，根据为正整数，综合得出有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，根据随的增大而增大，得出“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少即可． 【小问1详解】 解：∵租用辆汽车，设租用辆甲种客车，租车费用为元， ∴租用辆乙种客车， ∴， ∵， ∴随的增大而增大； 【小问2详解】 解：∵总费用元的限额内， ∴， 解得：， ∵租用辆汽车送名师生集体外出活动， ∴， 解得：， 又∵应避免空车， ∴， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴，则， 或，则， ∴有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案， ∵随的增大而增大，， ∴“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少， 答：有“租用辆甲种客车和辆乙种客车”或“租用辆甲种客车和辆乙种客车”两种租车方案，“租用辆甲种客车和辆乙种客车”租车费用最少． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，． （1）求直线的函数解析式； （2）若点，都在直线上，求的值； （3）若点，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或； 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数值，坐标与图形面积； （1）设直线函数解析式为，把点，代入建立方程组求解即可； （2）由点，都在直线上，可得，再代入计算即可； （3）先画图，求解与的交点坐标，再利用三角形的面积公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 把点，代入可得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：点，都在直线上， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图， 当时，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴或； 24. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B．点P为线段上一个动点，连接． （1）如图1，若点P为线段中点，求的面积． （2）如图2，经过点P的直线交x轴于点C，交直线于点D．当P为线段的中点时，求k的值． （3）如图3，以为边在的下方作等边三角形，连接．当取最小值时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解，，，再利用割补法求解面积即可； （2）如图， 求解，，利用P为线段的中点，设，可得，，，再进一步求解即可； （3）如图，作等边三角形，作直线，取，连接，证明，可得，，则在直线上运动，当时，最小，当落在轴上时，由等边三角形的对称性可得：此时重合，可得在直线上，过作于，连接，再进一步求解的坐标可得答案． 【小问1详解】 解：如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B． ∴，， ∵点P为线段中点， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：如图，∵， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵P为线段的中点，设， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 【小问3详解】 解：如图，作等边三角形，作直线，取，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴在直线上运动，当时，最小， 当落在轴上时，由等边三角形的对称性可得：此时重合， ∴在直线上， 过作于，连接， 同理可得：， ∴， ∵，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 过作轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 如图，正方形的边长为4，点E在边上（不与端点重合），将沿翻折，得到，连接，． （1）当平分时，求点F到的距离． （2）求的周长的最小值，并求出此时的长． （3）若为直角三角形，求的长． 【答案】（1）2 （2）周长最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，证明，从而可得答案； （2）如图，连接，求解，由，（当共线时取等号），结合，可得当最小，则最小，再进一步求解即可； （3）如图，为直角三角形，只有，延长交于，证明，可得，再证明，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， ∵正方形的边长为4，将沿翻折，得到， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴点F到的距离为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵正方形的边长为4，将沿翻折，得到， ∴，，， ∴， ∵，（当共线时取等号） ∵， ∴当最小，则最小， ∴当共线时，的最小值为：， ∴最小值为； 如图，设，则， ∵四边形为正方形， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图，为直角三角形，只有，延长交于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式运算，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $