专题01 平面及其基本性质（考点解读+考点归纳+12类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 专题01 平面及其基本性质 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、平面 文字语言 符号语言 图形语言 平面 1、平面α，平面β等； 2、平面ABCD； 3、平面AC或平面BD； 2、点、直线、平面之间的位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 1 点A在直线l上， 也称直线l经过A点 A∈l 2 点A在平面α上， 也称平面α经过点A A∈α ③ 直线l在平面α内 l⊂α ④ 直线l，m相交于点A l∩m＝A ⑤ 点A不在直线l上， 也称直线l不经过点A A∉l ⑥ 点A不在平面α上， 也称平面α不经过点A A∉α ⑦ 直线l不在平面α上 也称平面α不经过直线l *l⊄α ⑧ 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 3、公理1 文字语言 符号语言 图形语言 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l， 且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α 4、公理2及其推论 文字语言 符号语言 图形语言 不在一条直线上的三点确定一个平面 A，B，C三点不共线⇒确定一个平面α使A，B，C∈α 推论1 经过一条直线和直线外一点确定一个平面 A ∉a⇒确定一个平面α，使A∈α，且l⊂α 推论2 经过两条相交直线确定一个平面 a∩b＝P⇒确定一个平面α，使a⊂α，且b⊂α 推论3 经过两条平行直线确定一个平面 a∥b⇒确定一个平面α，使a⊂α，且b⊂α； 5、公理3 文字语言 符号语言 图形语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线; P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l 6、斜二测画法画水平放置的正方形的直观图 文字语言 图形语言 ①建立恰当的坐标系xO'y，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点，作出坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45º(或135º) ②首先画与坐标轴平行或在坐标轴上的线段(平行性不变)，与x轴平行（含x轴上）的线段长度不变，与y轴平行（含y轴上）的线段长度减半; ③与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。 7、斜二测画法画出长方体的直观图 文字语言 图形语言 已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图；[画法] （1）画轴. 画x轴、y轴、z 轴，三轴相交于点 O(A)，使∠xOy=45°，∠xOz=90°； （2）画底面.在x轴正半轴上取线段 AB，使AB=3 cm;在y轴正半轴上取线段 AD，使AD=1 cm. 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图； （3）画侧棱. 在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5 cm，过B，C，D各点分别作z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段 BB'，CC'，DD'； （4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了； 题型1、准确把握空间点、线、面的关系 例1、（1）下列说法中正确的是(　　) ①几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的；②空间中并没有孤立的点、线、面，它们只是作为几何体的组成元素而共存于几何体中；③几何中画出的点，不考虑它的大小，画出的线，不考虑它的粗细，画出的面，不考虑它的厚度和面积；④任何一个平面图形都是一个平面； A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【提示】从集合视角理解空间点、线、面； 【答案】C； 【解析】由点、线、面的定义，平面是没有大小的，一个平面图形并不是一个平面； （2）下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面）： ①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α； ②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； ③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α； ④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a. 其中，叙述方式和推理都正确的命题的序号是________． 【答案】④； 【解析】①错，点与面的关系应写成A∈α，B∈α；②错，直线与面的关系应写为AB⊂α；③错，推理错误，A可能在α内；④正确； 【说明】1、空间中最基本的位置关系有哪些？ 【解析】在空间中，点可看作元素，直线和平面可看作点的集合，点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系．平时可借助笔、书本来演示它们的位置关系； 2、在几何体中应仔细观察点、线、面之间的位置关系，结合位置关系的定义进行判断，不可凭感觉解题； 题型2、准确进行三种语言间的相互转化 例2、（1）点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为(　　) A．P⊂l⊂α B．P∈l∈α C．P⊂l∈α D．P∈l⊂α 【提示】注意：高中立体几何中“集合视角”下，点、线、面之间关系； 【答案】D； 【解析】点与线之间是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间是集合与集合的关系，用⊂表示； （2）用符号语言表示下列语句，并画出图形． ①三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； ②平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC； 【提示】注意；三种语言间的等价转化 【解析】①符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①； ②符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②； 【说明】三种语言：解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言；文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚； 题型3、准确理解平面的概念 例3、（1）下列叙述中，一定是平面的是(　　) A．一条直线平行移动形成的面 B．三角形经过延展得到的面 C．组成圆锥的面 D．正方形围绕一条边旋转形成的面 【答案】B； 【解析】直线平行移动可以形成平面或曲面，只有在不变方向的情况下才能得到平面，∴A不正确； C，D显然不是平面； （2）下列说法中正确的是________． ①平行四边形是一个平面； ②到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆； ③直线平行移动，可以形成平面或曲面； ④空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线． 【答案】③ 【解析】①平行四边形是平面图形，它是不能无限延展的，所以①不正确； ②在空间到定点的距离等于定长的点的轨迹是球面，所以②不正确； ③正确； ④在空间图形中，我们一般是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线，所以④不正确； 【说明】平面是一个原始概念，它是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平面是绝对平的；②平面具有无限延展性；③平面没有厚薄； 题型4、理解与证明共面问题 例4、（1）下列说法正确的是(　 　) ①任意三点确定一个平面　②圆上的三点确定一个平面　③任意四点确定一个平面　④两条平行线确定一个平面 A．①②　　　　　　　B．②③ C．②④ D．③④ 【提示】注意理解公理2及其推论； 【答案】C； 【解析】不在同一条直线上的三点确定一个平面．圆上三个点不会在同一条直线上，故可确定一个平面，∴①不正确，②正确．当四点在一条直线上时不能确定一个平面，③不正确．根据平行线的定义知，两条平行直线可确定一个平面，故④正确； （2）已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面． 【提示】注意理解公理2、公理1及其简单交汇； 【证明】　如图． ∵a∥b， ∴a、b确定平面α. 又∵l与a交于点A，l与b交于点B， ∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即a、b、l共面； 【说明】证明线共面问题，一种思路是先确定一个平面，再证明其他直线都在这个平面内；另一种思路是先由一部分直线确定一个平面α，另一部分直线确定平面β，再证明α与β重合即可； 题型5、点共线问题 例5、（1）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，这样的空间图形叫空间四边形)各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图所示； 求证：点B，D，P在同一条直线上． 【证明】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF，P∈GH； 又∵E∈平面ABD，F∈平面ABD， ∴EF⊂平面ABD，∴P∈平面ABD. 同理：P∈平面CBD. 即点P是平面ABD与平面CBD的公共点． 由题意可得B、D也是平面ABD与平面CBD的公共点．由公理3知P，B，D在两平面的交线上， 即B，D，P在同一条直线上． （2）已知三角形ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R三点共线． 【证明】证法1：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 证法2：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线； 【说明】证明多点共线问题常用思路：1、证明这些点分别在两个相交平面内，根据公理3知，它们一定在两个平面的交线上；2、先由其中两点确定一条直线，再证其它点也在此直线上； 题型6、线共点问题 例6、（1）在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则(　　) A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P在直线AC或BD上 D．P既不在直线BD上，也不在AC上 【答案】B； 【解析】由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上； （2）已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点． 【证明】如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3. ∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行， ∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P， 则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ， ∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3相交于一点P. 【说明】三线（或若干条线）共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点； 题型7、水平放置的平面图形的直观图的画法 例7、（1）如图所示，在三角形ABC中， BC＝8 cm，BC边上的高AD＝6 cm， 试用斜二测画法画出其直观图； 【提示】注意理解画法与步骤； 【解析】1、在三角形ABC中建立如图①所示的直角坐标系xOy， 再建立如图②所示的直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°； 2、在坐标系x′O′y′中，在x′轴上截取O′B′＝OB，O′C′＝OC；在y′轴上截取O′A′，使O′A′＝OA； 3、连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′，即为△ABC的直观图； （2）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 【解析】1、取正五边形的中心O为原点，对称轴FA所在直线为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴，建立如图①所示的直角坐标系，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. 2、在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H， 在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF， 以F′为中点作C′D′∥x′轴且C′D′＝CD. 3、在平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′得五边形A′B′C′D′E′.擦去辅助线x′轴、y′轴、B′G′、E′H′，擦去辅助点O′、F′、G′、H′所得的图形即为正五边形的直观图．如图③所示． 【说明】1、画直观图建坐标系时，要使平面图形尽可能多的顶点落在坐标轴上，方便画点．建系不合适，会导致下一步画图时比较麻烦； 2、原图中的某些点若既不在坐标轴上，也不在与坐标轴平行的直线上时，我们可经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点； 题型8、立体图形的直观图的画法 例8、（1）画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图． 【解析】1、画坐标轴．分别画出x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①； 2、画底面．以O为中心在x轴上截取线段EF，使EF＝1.2 cm，在y轴上截取线段GH，使GH＝0.6 cm.分别过E，F作y轴的平行线，过G，H作x轴的平行线，则交点分别为A，B，C，D，即四边形ABCD为底面正方形的直观图； 3、画顶点．在z轴上截取OP，使OP＝1.5 cm； 4、成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②； （2）用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD--A'B'C'D'的直观图; 【解析】1、画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. 图① 2、画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD. 图② 3、画侧棱.过A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'. 4、成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②). 【说明】画立体图形的直观图关键是画好底面的直观图，再画出相应的侧棱．直观图中被遮挡的部分画成虚线； 题型9、直观图还原问题 例9、（1）已知斜二测画法得到的直观图三角形A′B′C′是正三角形，画出原三角形的图形． 【解析】由斜二测画法知：B′C′不变，即BC与B′C′重合，O′A′由倾斜45°变为与x轴垂直，并且O′A′的长度变为原来的2倍，得到OA，由此得到原三角形的图形三角形ABC. （2）如图所示是水平放置的某四边形OABC的直观图，其中A′(2，0)，B′(1，1)，C′(0，1)，O′(0，0)，试判断该四边形的形状，并求其面积． 【解析】（1）在已知图形所在平面上建立平面直角坐标系xOy. （2）在x轴上取点A(2，0)，在y轴上取点C(0，2)，过C作x轴的平行线，并在此平行线上取|CB|＝|C′B′|. （3）连线得到OABC，并擦去辅助线．∴四边形OABC为直角梯形，S梯形OABC＝×(1＋2)×2＝3. 【说明】由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法步骤相似，注意角度的改变，长度的变化，平行性不变．由本题可得到结论：“水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的”； 题型10、依据公理画平面的交线 例10、（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别为CC1和AA1的中点， 画出平面BED1F与平面ABCD的交线； 【解析】如图，在平面AA1D1D内， 延长D1F，∵D1F与DA不平行， ∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA. 又∵FD1⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线． （2）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【解析】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面， 所以平面平面=， 同理，平面平面=，平面平面=， 所以平面与长方体表面的交线是，，. 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．    题型11、依据公理画截面与相关计算 例11、（1）如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． （1）过点G及AC； （2）过三点E，F，D1. 【解析】（1）)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示． （2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示． （2）如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为 ． 【答案】4＋6 【解析】由EF∥平面BCC1B1， 可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1， 平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF， 所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6； 答案：4＋6； 题型12、依据公理进行探究 例12、（1）三个互不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为　　　　　　　　　　　　　 【答案】4，6，7或8； 【解析】若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分; 若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分成6部分; 若三个平面交于一线，则可将空间分成6部分; 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成7部分; 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系)，则可将空间分成8部分.故n的所有可能值为4，6，7或8. （2）如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论． 【解析】平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下： ∵AB与l不平行，AB⊂α，l⊂α， ∴AB与l是相交直线． 设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β， ∴P∈平面ABC且P∈平面β， 即点P是平面ABC与平面β的一个公共点． 而C也是平面ABC与平面β的一个公共点， 又∵P，C不重合， ∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P， ∴平面ABC与平面β的交线与l相交． 1、直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个． 【答案】1 【解析】由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面； 2、点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点有________个． 【答案】无数； 【解析】由公理3可知，平面ABC与平面α相交，交点有无数个； 3、有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为 个 【答案】2 【解析】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 4、如图所示，A′B′C′D′是一平面图形水平放置的斜二测直观图， 在斜二测直观图中，A′B′C′D′是一直角梯形， A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行， 若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，则这个平面图形的实际面积是 【答案】20. 【解析】原平面图形设为ABCD， 则由斜二测画法的规则知仍是直角梯形， AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝6，CD＝4. 因为∠x′O′y′＝45°， 所以可算得B′C′＝A′D′＝2， 由斜二测画法的规则知BC＝4. 所以，原图形面积为S＝×(6＋4)×4＝20； 5、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， O为DB的中点， 直线A1C交平面C1BD于点M， 则点C1，M，O的关系是____________________ 【答案】共线 【解析】连接AC，A1C1，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M， ∴三点C1，M，O在平面C1BD内， 又三点C1，M，O在平面ACC1A1内， ∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A的交线上， 即C1，M，O三点共线． 6、给出下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④空间四点不共面，则任意三点不共线． 其中正确命题的序号是________． 【答案】②④ 【解析】①错，空间四点共面，未必有三点共线；②正确；③错，此四点可能共面；④正确，若任意三点共线，则四点必共面，与已知矛盾； 7、下列叙述中错误的是(　 　) A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈l B．一点和一条直线只能确定一个平面 C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面 D．圆上三点可以确定一个平面 【答案】B； 【解析】若点在直线外，则它们只能确定一个平面，若点在直线上，则过直线及点的平面有无数多个； 8、如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D 【答案】D； 【解析】由题可知，β与γ的公共点为C，D，故选D． 9、如图，已知直线a∥b∥c， l∩a＝A， l∩b＝B， l∩c＝C； 求证：a，b，c，l共面． 【证明】∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b，c确定一个平面β. 同理可证l⊂β. 于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l. 又∵b与l不重合， ∴α与β重合， ∴a，b，c，l共面． 10、如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P， A，D与B，C分别在平面α的两侧， AC∩α＝Q，BD∩α＝R. 求证：P，Q，R三点共线． 【证明】∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P. ∴AB，CD可确定一个平面，设为β. ∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD， ∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β. ∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交． ∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R， ∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点． ∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线； ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 专题01 平面及其基本性质 本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养； 因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型； ． 一、《必修第二册》目录与内容提要 【本章教材目录】 第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； （2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离； 1、平面 文字语言 符号语言 图形语言 平面 1、平面α，平面β等； 2、平面ABCD； 3、平面AC或平面BD； 2、点、直线、平面之间的位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 1 点A在直线l上， 也称直线l经过A点 A∈l 2 点A在平面α上， 也称平面α经过点A A∈α ③ 直线l在平面α内 l⊂α ④ 直线l，m相交于点A l∩m＝A ⑤ 点A不在直线l上， 也称直线l不经过点A A∉l ⑥ 点A不在平面α上， 也称平面α不经过点A A∉α ⑦ 直线l不在平面α上 也称平面α不经过直线l *l⊄α ⑧ 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 3、公理1 文字语言 符号语言 图形语言 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l， 且A∈α，B∈α ⇒ l⊂α 4、公理2及其推论 文字语言 符号语言 图形语言 不在一条直线上的三点确定一个平面 A，B，C三点不共线⇒确定一个平面α使A，B，C∈α 推论1 经过一条直线和直线外一点确定一个平面 A ∉a⇒确定一个平面α，使A∈α，且l⊂α 推论2 经过两条相交直线确定一个平面 a∩b＝P⇒确定一个平面α，使a⊂α，且b⊂α 推论3 经过两条平行直线确定一个平面 a∥b⇒确定一个平面α，使a⊂α，且b⊂α； 5、公理3 文字语言 符号语言 图形语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线; P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l 6、斜二测画法画水平放置的正方形的直观图 文字语言 图形语言 ①建立恰当的坐标系xO'y，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点，作出坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45º(或135º) ②首先画与坐标轴平行或在坐标轴上的线段(平行性不变)，与x轴平行（含x轴上）的线段长度不变，与y轴平行（含y轴上）的线段长度减半; ③与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。 7、斜二测画法画出长方体的直观图 文字语言 图形语言 已知长方体的长、宽、高ABCD-A′B′C′D′分别为3cm、2cm、1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图；[画法] （1）画轴. 画x轴、y轴、z 轴，三轴相交于点 O(A)，使∠xOy=45°，∠xOz=90°； （2）画底面.在x轴正半轴上取线段 AB，使AB=3 cm;在y轴正半轴上取线段 AD，使AD=1 cm. 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图； （3）画侧棱. 在z轴正半轴上取线段AA'，使AA'=1.5 cm，过B，C，D各点分别作z 轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段 BB'，CC'，DD'； （4）成图.顺次连接A′，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了； 题型1、准确把握空间点、线、面的关系 例1、（1）下列说法中正确的是(　　) ①几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的；②空间中并没有孤立的点、线、面，它们只是作为几何体的组成元素而共存于几何体中；③几何中画出的点，不考虑它的大小，画出的线，不考虑它的粗细，画出的面，不考虑它的厚度和面积；④任何一个平面图形都是一个平面； A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②③④ （2）下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面）： ①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α； ②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； ③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α； ④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a. 其中，叙述方式和推理都正确的命题的序号是________． 【说明】1、空间中最基本的位置关系有哪些？ 【解析】在空间中，点可看作元素，直线和平面可看作点的集合，点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系．平时可借助笔、书本来演示它们的位置关系； 2、在几何体中应仔细观察点、线、面之间的位置关系，结合位置关系的定义进行判断，不可凭感觉解题； 题型2、准确进行三种语言间的相互转化 例2、（1）点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为(　　) A．P⊂l⊂α B．P∈l∈α C．P⊂l∈α D．P∈l⊂α （2）用符号语言表示下列语句，并画出图形． ①三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； 3 平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC； 【说明】三种语言：解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言；文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚； 题型3、准确理解平面的概念 例3、（1）下列叙述中，一定是平面的是(　　) A．一条直线平行移动形成的面 B．三角形经过延展得到的面 C．组成圆锥的面 D．正方形围绕一条边旋转形成的面 （2）下列说法中正确的是________． ①平行四边形是一个平面； ②到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆； ③直线平行移动，可以形成平面或曲面； ④空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线． 【说明】平面是一个原始概念，它是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平面是绝对平的；②平面具有无限延展性；③平面没有厚薄； 题型4、理解与证明共面问题 例4、（1）下列说法正确的是(　 　) ①任意三点确定一个平面　②圆上的三点确定一个平面　③任意四点确定一个平面　④两条平行线确定一个平面 A．①②　　　　　　　B．②③ C．②④ D．③④ （2）已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面． 【说明】证明线共面问题，一种思路是先确定一个平面，再证明其他直线都在这个平面内；另一种思路是先由一部分直线确定一个平面α，另一部分直线确定平面β，再证明α与β重合即可； 题型5、点共线问题 例5、（1）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，这样的空间图形叫空间四边形)各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图所示； 求证：点B，D，P在同一条直线上． （2）已知三角形ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R三点共线． 【说明】证明多点共线问题常用思路：1、证明这些点分别在两个相交平面内，根据公理3知，它们一定在两个平面的交线上；2、先由其中两点确定一条直线，再证其它点也在此直线上； 题型6、线共点问题 例6、（1）在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则(　　) A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P在直线AC或BD上 D．P既不在直线BD上，也不在AC上 （2）已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点． 【说明】三线（或若干条线）共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点； 题型7、水平放置的平面图形的直观图的画法 例7、（1）如图所示，在三角形ABC中， BC＝8 cm，BC边上的高AD＝6 cm， 试用斜二测画法画出其直观图； （2）用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图． 【说明】1、画直观图建坐标系时，要使平面图形尽可能多的顶点落在坐标轴上，方便画点．建系不合适，会导致下一步画图时比较麻烦； 2、原图中的某些点若既不在坐标轴上，也不在与坐标轴平行的直线上时，我们可经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点； 题型8、立体图形的直观图的画法 例8、（1）画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图． （2）用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD--A'B'C'D'的直观图; 【说明】画立体图形的直观图关键是画好底面的直观图，再画出相应的侧棱．直观图中被遮挡的部分画成虚线； 题型9、直观图还原问题 例9、（1）已知斜二测画法得到的直观图三角形A′B′C′是正三角形，画出原三角形的图形． （2）如图所示是水平放置的某四边形OABC的直观图，其中A′(2，0)，B′(1，1)，C′(0，1)，O′(0，0)，试判断该四边形的形状，并求其面积． 【说明】由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法步骤相似，注意角度的改变，长度的变化，平行性不变．由本题可得到结论：“水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的”； 题型10、依据公理画平面的交线 例10、（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别为CC1和AA1的中点， 画出平面BED1F与平面ABCD的交线； （2）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    题型11、依据公理画截面与相关计算 例11、（1）如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． （1）过点G及AC； （2）过三点E，F，D1. （2）如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为 ． 题型12、依据公理进行探究 例12、（1）三个互不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为　　　　　　　　　　　　　 （2）如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论． 1、直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个． 2、点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的交点有________个． 3、有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为 个 4、如图所示，A′B′C′D′是一平面图形水平放置的斜二测直观图， 在斜二测直观图中，A′B′C′D′是一直角梯形， A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行， 若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，则这个平面图形的实际面积是 5、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， O为DB的中点， 直线A1C交平面C1BD于点M， 则点C1，M，O的关系是____________________ 6、给出下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④空间四点不共面，则任意三点不共线． 其中正确命题的序号是________． 7、下列叙述中错误的是(　 　) A．若P∈α，P∈β，且α∩β＝l，则P∈l B．一点和一条直线只能确定一个平面 C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面 D．圆上三点可以确定一个平面 8、如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D 9、如图，已知直线a∥b∥c， l∩a＝A， l∩b＝B， l∩c＝C； 求证：a，b，c，l共面． 10、如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P， A，D与B，C分别在平面α的两侧， AC∩α＝Q，BD∩α＝R. 求证：P，Q，R三点共线； ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$