精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

2023～2024学年度下学期高一期中试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 11. 在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点，以所在直线为旋转轴，将梯形旋转得到一旋转体，则（ ） A. 该旋转体是一个圆台 B. 该旋转体的表面积为 C. 直线与旋转体的上底面所成角的正切值为 D. 该旋转体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是实数，则__________. 13. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 14. 如图，已知在中，是的角平分线，与交于点，是的中点，延长交于点，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． （1）若点在棱上，平面，求证：； （2）求点到平面的距离． 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度下学期高一期中试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和幂的运算性质计算可得结果 【详解】. 故选： 3. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与垂直，由求解. 【详解】解：， 与垂直， ， . 故选：A. 4. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作出的直观图，再计算面积得解. 【详解】依题意，四边形是平行四边形，， 如图，是的直观图，， 所以四边形的直观图面积为. 故选：D 6. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据棱台的体积公式结合条件即得. 【详解】如图，在正四棱台中，，，连接，， 则，， 设侧棱长为，则棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为， 解得． 故选：B． 7. 若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据数量积的定义求出，再求出、，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】∵两个向量，的夹角是，是单位向量，， ∴． ∵，∴， ∴． 设向量与的夹角为，则，∵，∴． 故选：A． 8. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，找到即为二面角的平面角，即，并利用勾股定理求出各边长，求出三角形面积. 【详解】由题意得， 设底面圆圆心为，取的中点，连接， 则，故， 因为，，所以⊥，⊥， 故即为二面角的平面角，即， 故，， 由勾股定理得，， 所以的面积为 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内复数所对应的点位于第四象限 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的乘方以及除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】,在复平面内复数所对应的点为，位于第四象限，A正确， ，B错误， ，C正确， ，故D错误， 故选：AC 10. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，，故为等腰三角形，可判断；由正弦定理边化角代入可证明，判断；由余弦定理得是钝角，可判断；由三角形的面积公式计算即可，判断. 【详解】对于，因为在中，， 所以当时，，故为等腰三角形，故正确； 对于，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，由余弦定理得， 又因为是中的一个内角，所以， 所以是钝角三角形，故错误； 对于，，故正确. 故选：. 11. 在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点，以所在直线为旋转轴，将梯形旋转得到一旋转体，则（ ） A. 该旋转体是一个圆台 B. 该旋转体的表面积为 C. 直线与旋转体的上底面所成角的正切值为 D. 该旋转体的外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆台的表面积，结合直线与平面所成的角定义、圆台的外接球的性质、球的表面积进行逐一判断即可． 【详解】对A,由题意可知，所得到的旋转体是圆台，A选项正确； 对B,如图． 因为， 所以圆台的上、下底面的半径分别满足． 又， 所以该圆台的表面积，所以B不正确． 对C,圆台的上、下底面平行， 过点分别作于点于点， 则，所以， 所以直线与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角． 为直线与下底面所成的角． 又，所以，所以C正确． 对D,设该圆台的外接球的半径为，球心为． 当点O在线段上时，．由，得，即，解得． 当点O在线段的延长线上时，．由，得，即． 化简，得，此时m无解． 所以， 则该旋转体的外接球的表面积，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，其中是实数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件可解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：0 13. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解. 【详解】设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以. 故答案为： 14. 如图，已知在中，是的角平分线，与交于点，是的中点，延长交于点，，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用向量共线定理建立方程，结合角平分线定理得到比例关系联立方程，求解即可. 【详解】因为在△ABC中，AD是的角平分线，所以，、 又因为，所以由角平分线定理得： 取为基底，则由H、M、B三点共线可得：①；、 由C、D、B三点共线可得：； 即，所以,所以. 即②. 因为M是AD的中点，所以,①式可化为：， 即③ 设，则 ②③对照得：，解得，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）84 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表面积公式即可求解， （2）根据体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接相交于，连接 过点作于点，连接，则是斜高， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， ． 所以正四棱锥的表面积为84． 【小问2详解】 ， 所以正四棱锥的体积为； 16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. （1）若平面，试确定在上的位置，并说明理由； （2）若，证明：. 【答案】（1） 是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点； （2） 取的中点，连接，， 因为，为中点， 所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点的位置； （2）通过等腰三角形的性质证得，，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 18. 如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． （1）若点在棱上，平面，求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，所以平面平面， 平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）取的中点，连接，即可得到，再由面面垂直的性质得到平面，再由设点到平面的距离为，则，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，依题意，所以且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 连接、，则，所以， 又，，，， 所以 ， 又平面，平面，所以， 所以， 则， 则， 所以， 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为. 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值，即可求出角； （2）法一：根据正弦定理可得，根据三角恒等变换化简可得，再根据的范围求解即可；法二：过点作，垂足为，根据直角三角形性质结合图形分析求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 整理得，所以， 又，所以． 【小问2详解】 法一：由（1）知，即． 因为为锐角三角形，所以解得． 由正弦定理，得， 则 ， 当时，，则． 又， 所以，所以， 所以，即， 所以周长的取值范围是． 法二：（数形结合）过点作，垂足为， 在直线上取一点，使，则与均为直角三角形． 为锐角三角形， 点在线段上（不含端点）． 在中，，易得， ，周长为； 在中，，易得，周长为， 所以周长的范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $