1.4 充分条件与必要条件 讲义-2024-2025学年高一数学暑假预习（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 知识点一 命题及真假的判断 【解题思路】1.命题的判断 （1） 陈述句（2）能判断真假 2. 真假命题 （1） 真命题：命题是对的即为真命题 （2） 假命题：命题为错的即为假命题 【例1】（23-24广东深圳）下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【变式】 1．（2023山东淄博）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 2．（22-23湖北）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 3．（23-24云南）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 4．（2024新疆）判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 知识点二 充分条件的判断 【解题思路】充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 【例2-1】（2024上海）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【例2-2】（23-24福建合肥）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（22-23浙江）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024江苏）（多选）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 2．（2024湖南长沙）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023-2024北京）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24黑龙江）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 知识点三 必要条件的判断 【解题思路】　必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． ． 【例3-1】（23-24山东寒假作业）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 【例3-2】（2024山西）下列哪一项是“”的必要条件（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023-2023吉林）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024湖北）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．（23-24陕西）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 知识点四 充分必要条件的判断 【解题思路】充分、必要条件的探求方法 (1)若与范围有关，可先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． (2)若与范围无关，则利用定义法从充分性和必要性两个方面推理探求． (3)探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性． 【例4-1】（2023福建）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-2】（2024广西）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（2024云南）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】 1．（2023-2024山东）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24上海）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23北京）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24湖南）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 重难点一 求参 【解题思路】1.根据充分、必要条件求解参数范围的方法 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 2.利用充分、必要条件求参解题思路 （1）.化简：化简集合，明确题干中的条件和结论． （2）转化：根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题． （3）列式：利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件． （4）求解：解不等式，得参数范围． 【例5-1】（23-24贵州贵阳） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【变式】 1．（23-24河北）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 2．（2023湖南）已知集合． (1)求． (2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填人（2）中横线处进行解答． 3．（23-24北京）设全集，集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围 1． 单选题 1．（2024河南商丘）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 2．（2023·江苏）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2024· 福建）暖色调会让人感觉温馨，红色、橙色、黄色、水粉色等为暖色，象征着太阳、火焰．新年到，小西购买了一件新大衣，则“小西购买了一件暖色调大衣”是“小西购买了一件红色大衣”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·陕西西安）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5（2023·江苏）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 6．（2024·上海普陀）设，不等式的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·上海宝山）若为实数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 8（2023·云南昆明）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值不可以是（    ） A． B． C．- D．0 2． 多选题 9．（23-24·山东临沂）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 10．（2024·新疆巴音郭楞）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 11．（2023·河南开封）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3． 填空题 12．（2023·江苏）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 13．（2024·辽宁）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 14．（2024·高一课时练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 4． 解答题 15．（2024·江西萍乡）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（2023春·湖南长沙已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 17．（2024·四川眉山 ）已知非空集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18．（2024宁夏银川）已知，. (1)若时，求，； (2)是否存在a值使是成立的充分不必要条件，若存在求出a的取值范围，不存在说明理由. (3)若，求a的取值范围. 19．（2023·湖南郴州）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.问题： 已知集合. (1)当时，求； (2)若__________，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件 知识点一 命题及真假的判断 【解题思路】1.命题的判断 （1） 陈述句（2）能判断真假 2. 真假命题 （1） 真命题：命题是对的即为真命题 （2） 假命题：命题为错的即为假命题 【例1】（23-24广东深圳）下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？ (1)个位数是5的自然数能被5整除； (2)凡直角三角形都相似； (3)上课请不要讲话； (4)若两个角互为补角，则这两个角不相等； (5)你是高一学生吗？ (6). 【答案】(1)真命题，原因见解析 (2)假命题，原因见解析 (3)不是命题（祈使句） (4)假命题，原因见解析 (5)不是命题（一般疑问句） (6)不是命题（无法判断真假） 【解析】（1）是命题，并且是真命题． 这是因为个位数是的自然数可写成的形式，而， 所以能被整除，即“个位数是的自然数能被整除”是一个真命题； （2）是命题，并且是假命题. 取三个角分别为的直角三角形，它与三个角分别为的直角三角形不相似．所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题； （3）不是命题，因为“上课请不要讲话”不是判断语句，所以它不是一个命题； （4）是命题，并且是假命题， 取一个角为，另一个角也为，它们是互补的，所以它是假命题； （5）不是命题.因为“你是高一学生吗？”是问句，不是表示判断的陈述句，所以它不是命题； （6）不是命题.虽然“”是陈述句，但是它包含一个可变的对象，无法判断其真假，因此它不是命题. 【变式】 1．（2023山东淄博）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 2．（22-23湖北）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 3．（23-24云南）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【解析】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 4．（2024新疆）判断下列语句是不是命题，并说明理由. (1)是有理数； (2)年夏季奥运会的举办城市是日本的东京； (3)； (4)梯形是不是平面图形呢？ (5)，； (6)请勿喧哗； (7). 【答案】(1)是，理由见解析； (2)是，理由见解析； (3)不是，理由见解析； (4)不是，理由见解析； (5)是，理由见解析； (6)不是，理由见解析； (7)是，理由见解析 【解析】（1）“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题； （2）“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题； （3）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题； （4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题； （5）因为“，”中，所以“”是真的，所以它是命题； （6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题； （7）“”是假的，所以它是命题. 知识点二 充分条件的判断 【解题思路】充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 【例2-1】（2024上海）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是(2)是(3)是(4)不是(5)是(6)不是 【解析】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. 【例2-2】（23-24福建合肥）使不等式成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即，因为， 所以使不等式成立的一个充分条件是，而其他选项皆不满足.故选：A. 【例2-3】（22-23浙江）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，所以且，解得，故选：C 【变式】 1．（2024江苏）（多选）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 2．（2024湖南长沙）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因为的充分条件是，所以，则， 故选：B. 3．（2023-2024北京）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，因为“”的充分条件是“”，所以，即，解得， 即实数a的取值范围为.故选：B 4．（23-24黑龙江）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 【答案】(1)是充分条件 (2)是充分条件 (3)不是充分条件 (4)是充分条件 【解析】（1）菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件； （2）矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件； （3）对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件； （4）菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件． 知识点三 必要条件的判断 【解题思路】　必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． ． 【例3-1】（23-24山东寒假作业）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例. (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形. (4)若，则 (5)若为无理数，则x，y为无理数 【答案】(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)不是 【解析】（1）由平行四边形的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （2）由三角形相似的性质定理，可得，所以 q是p的必要条件. （3）存在对角线垂直，但不是菱形的四边形，可得，所以 q不是p的必要条件. （4）由于 ，但，可得，所以 q不是p的必要条件. （5）由于为无理数，但不全是无理数，可得， 所以 q不是p的必要条件. 【例3-2】（2024山西）下列哪一项是“”的必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】“”的必要条件不等式范围包含“”，选项中仅有满足.故选：D 【变式】 1．（2023-2023吉林）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因此只有B是其必要条件．故选：B． 2．（2024湖北）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】由诗句可知，若“不破楼兰”，则“不返家乡”， 所以“不破楼兰”，能推出“不返家乡”，所以“不返家乡”是“不破楼兰”的必要条件. 故选：A 3．（23-24陕西）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 【答案】(1)是(2)不是(3)是(4)不是 【解析】（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p． ∴p是q的必要条件． （2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp． ∴p不是q的必要条件． （3）∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． （4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp， ∴p不是q的必要条件． 知识点四 充分必要条件的判断 【解题思路】充分、必要条件的探求方法 (1)若与范围有关，可先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． (2)若与范围无关，则利用定义法从充分性和必要性两个方面推理探求． (3)探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性． 【例4-1】（2023福建）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为， 所以是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 【例4-2】（2024广西）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 【例4-3】（2024云南）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨， 所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式】 1．（2023-2024山东）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以是的充分而不必要条件.故选：A. 2．（23-24上海）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者， 则“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 3．（22-23北京）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4．（23-24湖南）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 重难点一 求参 【解题思路】1.根据充分、必要条件求解参数范围的方法 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 2.利用充分、必要条件求参解题思路 （1）.化简：化简集合，明确题干中的条件和结论． （2）转化：根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题． （3）列式：利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件． （4）求解：解不等式，得参数范围． 【例5-1】（23-24贵州贵阳） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【解析】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 【变式】 1．（23-24河北）已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由不等式，解得，则， 或，，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）或，， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又由题意知，所以是的非空真子集，， 解得，所以实数的取值范围为. 2．（2023湖南）已知集合． (1)求． (2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填人（2）中横线处进行解答． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）因为，， 所以，所以或. （2）选①，因为，所以， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上，. 选②，因为，所以， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上，. 选③，“”是“”的充分不必要条件，所以， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，. 3．（23-24北京）设全集，集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）若， 当时，有，即； 当时，有或， 解得或， 综上所述，若，则实数的取值范围为， 所以当时，实数的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 当时，显然成立，即； 当时，有或，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 1． 单选题 1．（2024河南商丘）已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 2．（2023·江苏）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 3．（2024· 福建）暖色调会让人感觉温馨，红色、橙色、黄色、水粉色等为暖色，象征着太阳、火焰．新年到，小西购买了一件新大衣，则“小西购买了一件暖色调大衣”是“小西购买了一件红色大衣”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“小西购买了一件暖色调大衣”可以是红色橙色、黄色、水粉色等，不一定是红色，故不满足充分性； “小西购买了一件红色大衣”一定可以得出“小西购买的是一件暖色调大衣”，故满足必要性. 故选：B. 4．（2023·陕西西安）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，而推不出，例如满足，但不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5（2023·江苏）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】对于A，因为或或，故错误； 对于B，因为或或，故正确； 对于C，因为或或，故错误； 对于D，因为不是或的真子集，故错误. 故选：B. 6．（2024·上海普陀）设，不等式的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 因为，，与无包含关系， 所以不等式的一个必要不充分条件可以是B项. 故选：B. 7．（2023·上海宝山）若为实数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】由已知，为实数，条件为，结论为， 充分性，若，则成立，所以满足充分性； 必要性，若时，当，时，满足；当，时，不满足；当，时，，所以不满足必要性；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 8（2023·云南昆明）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值不可以是（    ） A． B． C．- D．0 【答案】A 【解析】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. 2． 多选题 9．（23-24·山东临沂）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【解析】下列句子中是命题的是（    ） 对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题， 故选：ABC. 10．（2024·新疆巴音郭楞）下列命题是真命题的是（　　） A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件 B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件 C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件 D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件 【答案】AC 【解析】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题； ∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题； ∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题； ∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题． 故选：AC. 11．（2023·河南开封）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，，若“”是真命题， 当时，则，即，解得或， 当时，则由题意可得方程有两个非负实数根， 所以，解得， 综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为， 故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意. 故选：BCD 3． 填空题 12．（2023·江苏）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得， 故答案为： 13．（2024·辽宁）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，得，但， ∴，∴，即， 故答案为． 14．（2024·高一课时练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为， 且， 所以由题意可得， 所以，，且等号不同时成立， 所以解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 4． 解答题 15．（2024·江西萍乡）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）解：当时，集合， 因为集合或，所以或. （2）解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 16．（2023春·湖南长沙已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. 17．（2024·四川眉山 ）已知非空集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）方法一：当时，， 所以或． 因为， 所以或， 所以或． 方法二：当时，， 故， 所以或． （2）因为是成立的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，或 解得或， 综上，实数a的取值范围是． 18．（2024宁夏银川）已知，. (1)若时，求，； (2)是否存在a值使是成立的充分不必要条件，若存在求出a的取值范围，不存在说明理由. (3)若，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)不存在 (3) 【解析】（1）当时，， 则， ，则 （2）依题知，则且等号不能同时取得，则，无解， 所以不存在a值使是成立的充分不必要条件； （3）因为，则 当时，，解得， 当时，即时， 有，解得，即； 综上，. 19．（2023·湖南郴州）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.问题： 已知集合. (1)当时，求； (2)若__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【解析】（1）当时，集合， 可得或， 所以； （2）若选择①， 则或， 解得或，所以可得； 所以实数的取值范围是. 若选择②， “”是“”的充分不必要条件，则， 因为， 当时，，即； 当时，所以可得，即； 综上可知，实数的取值范围是. 若选择③， ，因为， 时，，即；此时满足； 时，或，解得 综上可知，实数的取值范围是或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$