1.4充分条件与必要条件10题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.4 充分条件与必要条件10题型分类 课程标准 学习目标 ①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. ②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断. 2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明. 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的充分条件 p不是q的必要条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【特别提醒】 对充分条件和必要条件的理解： (1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。 二、充要条件 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【特别提醒】 （1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。 （2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 三、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 四、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） （一） 命题的概念及结构 命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p 是命题的条件，q是命题的结论. 题型1：命题真假的判断 1．（25-26高一·全国月考）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【解析】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 2．【多选】（25-26高一·全国月考）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【解析】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 3．【多选】（25-26高一·全国月考）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【解析】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 4．（2025高一·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】（1）根据平行四边形、菱形的定义与性质分析判断； （2）根据全等三角形的性质分析判断； （3）根据一元二次方程的解分析判断； （4）根据平行线的性质分析判断. 【解析】（1）真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）假命题，例如边长为3，3，4和4，4，2，周长均为10，但三角形不全等. （3）假命题，由方程，解得或， 显然或不能得出，例如. （4）真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 5．（2025高一·湖南月考）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． 【答案】(1)是充分条件 (2)是充分条件 (3)不是充分条件 (4)是充分条件 【分析】（1）根据充分条件的定义判断； （2）根据充分条件的定义判断； （3）根据充分条件的定义判断； （4）根据充分条件的定义判断. 【解析】（1）菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件； （2）矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件； （3）对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件； （4）菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件． （二） 充分、必要条件的判断 1、充分条件的判断 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． (3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍. 2、必要条件的判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法: (1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的方法.通常对pq要予以证明，pq可举反例说明. (2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题. 题型2：充分条件的单独判断 6．（2025高一·全国·课堂例题）下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 【答案】③ 【分析】根据充分条件定义判断各个选项即可. 【解析】①,则或，不能推出. ∴p不是q的充分条件．     ② ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③则 ∴方程无实根，∴p是q的充分条件． 故答案为：③. 7．【多选】（2025高一·山西大同月考）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可. 【解析】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 8．（2025高一·全国月考）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【解析】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 题型3：必要条件的单独判断 9．（2025高一·江苏·假期作业）“”是“”的 条件，“”是“”的 条件（用“充分”“必要”填空）． 【答案】 必要 充分 【分析】由于，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答. 【解析】由于，或， 所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件． 故答案为：必要；充分 10．【多选】（25-26高一·全国月考）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】AB 【解析】若，则，即是的必要条件，故A正确；由“”可以推出“”，故B正确；取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故C错误；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故D错误. 11．（2025高一·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【解析】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 题型4：充分、必要条件的综合判断 12．（2025高一·全国月考）指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； （2）p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0； （3）p：a<b，q：<1. 【答案】（1）充要条件；（2）充分不必要；（3）既不充分也不必要. 【分析】（1）根据大边对大角，大角对大边，即可判断； （2）求得一元二次方程的根，即可容易判断； （3）根据不等式性质，即可容易判断. 【解析】在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确， 所以p是q的充要条件； 在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3， 所以p是q的充分条件但不是必要条件； 在(3)中，若a<b<0，则推不出<1，反之若<1，当b<0时，也推不出a<b， 所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件. 【点睛】本题考查命题的充要条件、充分不必要条件的判断，属基础题. 13．（2025高一·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【解析】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 14．（2025高一·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合条件间的推出关系判断充分、必要关系. 【解析】当时，满足，但不满足且，充分性不成立； 当且时，必有，必要性成立； 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 15．（2025高一·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】由等价于或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 16．（2025高二·江苏无锡月考）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【解析】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 17．（2025高二·天津红桥月考）设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【解析】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 18．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. （三） 探求命题为真的一个充要条件 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 题型5：探求命题成立的一个充分、必要条件 19．（2025高一·江苏·假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的判断即可由选项求解. 【解析】和 不可推出．所以使成立的充分条件是或 ， 故选：AB 20．（2025高一·全国月考）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的求解即可判断，由充分条件的定义即可求解. 【解析】由，要使方程有实根，则， 故是方程有实根的一个充分条件， 故选：B 21．（2025高三·全国月考）的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由进行推导，能推出的即为应选项 【解析】因为，所以，所以是的一个必要条件， 若 不能得到，， 故选：A 22．（25-26高一·全国月考）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 23．（2025高二·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用必要不充分条件，逐项验证即可. 【解析】对于A：当时，，由，所以当时，，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，，所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即，所以是必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 24．（2025高一·湖南邵阳月考）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论. 【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 25．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【解析】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 26．（2025高一·江苏连云港月考）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【解析】一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于，解得， 所以所求充要条件是. 故选：A （四） 根据充分条件或必要条件求参数的范围 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤： ①化简，两命题. ②根据与的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系. ③利用集合间的关系建立不等关系， ④求解参数范围. 题型6：利用充分条件求参数 27．（2025高一·四川成都月考）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）求出，进而求出交集和补集； （2）由成立的充分条件得到，分与两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 又因为，， 所以，或， 故或. （2）若成立的充分条件，所以， 因为，， 所以当时，，解得，此时满足题意； 当时，即，时， 得，解得，故； 综上：，即. 28．（2025高一·四川绵阳月考）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【解析】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 29．（2025高一·全国月考）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 30．（2025高一·全国月考）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用集合的基本运算即可得到结果. （2）由是的充分条件可得，讨论和，根据子集的概念即可得结果. 【解析】（1）当时，，， ∴. （2）∵是的充分条件，∴. 当时，，即，满足； 当时，， 由可得，解得. 综上，实数的取值范围为或. 题型7：利用必要条件求参数 31．【多选】（2025高一·云南昆明·期中）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 【答案】BCD 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【解析】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. 故选：BCD 32．（2025高一·浙江·期中）集合，. (1)求； (2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求解不等式得到，，从而求出； （2）根据“”是“”的必要条件得到是的子集，分与两种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【解析】（1）， 所以或， ， 故或或 （2）若“”是“”的必要条件，则是的子集， 若，故，解得：， 若，则，解得：， 综上：，故实数a的取值范围是 33．（2025高一·湖北武汉·期末）已知，． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先化简条件，再利用是的充分条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围； （2）按实数分类讨论，利用是的必要条件列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围. 【解析】（1）由，可得，则 又，且是的充分条件， 可得，解之得，则实数的取值范围为； （2）由（1）得， 当时， ，，此时，是的必要条件，符合要求； 当时，由是的必要条件， 可得，解之得， 综上，实数的取值范围为. 34．（2025高一·上海月考）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【解析】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 题型8：利用充分、必要条件求参数 35．（2025高二·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【解析】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 36．（2025高二·辽宁月考）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【解析】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 37．（25-26高一·全国月考）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 38．（25-26高一·全国月考）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 39．（2025高二·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件列式求出参数范围. 【解析】因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以， 故答案为：. 40．（25-26高一·全国月考）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 41．（25-26高一·全国月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即． 42．（2025高一·全国月考）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【解析】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 43．（2025高一·全国月考）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【解析】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 题型9：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 44．（2025高二·安徽·期末）若关于的不等式成立的充分条件为：，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出绝对值不等式的解集，然后由充分条件的定义得出结论． 【解析】不等式等价于，故，解得. 故选：A． 45．（2025高二·安徽阜阳月考）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数的取值范围. 【解析】由题意得， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：B. （五） 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 题型10：充要条件的证明 46．（2025高一·贵州贵阳月考）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性. 【解析】证明：（1）充分性：由得. 即满足方程. 是方程的一个根 （2）必要性：是方程的一个根， 将代入方程得. 故是一元二次方程的一个根的充要条件 是 47．（2025高一·浙江·期末）已知集合，试证明“”是“”的充要条件． 【答案】证明见详解. 【解析】利用充要条件的定义，分别证出充分性、必要性即可求解. 【解析】充分性：若“”，则，充分性满足； 必要性：若“”，则， 所以 ， 所以是方程的一个解， 所以“”，必要性满足. 48．（2025高一·山东菏泽月考）已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件. 【答案】答案见解析 【解析】利用韦达定理和根与系数的关系先判断出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论 【解析】证明：若成立，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的判别式，且两根之积， 所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，即充分性成立， 反之，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，则两根之积， 所以成立，即必要性成立， 综上，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程的根与系数的关系，考查充要条件的证明，属于基础题 一、单选题 1．（2025高二·江苏扬州·期中）“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是 A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思 【答案】A 【分析】根据命题的定义判断可得出结论. 【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句是命题； 对于B选项，“春来发几支”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A. 2．（2025·辽宁·模拟预测）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用赋值法，取不同的x与y代入，可排除A、C、D. 【解析】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 3．（2025高二·四川绵阳月考）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【答案】D 【分析】根据命题的定义逐一判断即可. 【解析】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题， 故选：D 4．（2025高二·湖南株洲月考）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件判断即可. 【解析】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 【答案】C 【分析】对AB，直接推理判断即可； 对C，结合星期的周期计算余数判断； 对D，考虑平面外的情况. 【解析】对A，若，则，所以A正确． 对B，每年有365天或366天，所以367人中一定有同月同日出生的两个人，所以B正确． 对C，，如果今天是星期五，那么2000天后是星期三，所以C错误． 对D，若点P到三边的距离相等，则P可能是内心，也可能在所在平面外，所以D正确． 故选：C. 6．（25-26高一·全国月考）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 7．（25-26高一·全国月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可． 【解析】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 故选：D. 9．（2025高一·福建泉州月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【解析】， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 10．（2025高一·四川绵阳月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件关系判断. 【解析】因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 11．（25-26高一·全国月考）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意得，解得，所以． 12．（2025高一·云南临沧月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可. 【解析】当时，，且当时，，即当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 13．（25-26高一·全国月考）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 二、多选题 14．（2025高一·江苏宿迁月考）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【解析】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 15．（25-26高一·全国月考）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【解析】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 三、填空题 16．（25-26高一·全国月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 17．（2025高一·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【答案】且 【分析】根据题意，由一次函数的意义，即可得到结果. 【解析】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 18．（2025高一·全国月考）下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 【答案】（2） 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【解析】（1）由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件． （2）由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件． 故答案为：（2） 19．（2025高一·福建南平月考）下列说法正确的是 .（只填序号） ①“”是“”的充分条件； ②“”是“且”的充分条件； ③“”是“”的充分条件， 【答案】①③ 【分析】根据充分条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】①中，若，则成立，即充分性成立；所以①正确； ②中，由，可得或，所以若，则且不成立，所以②不正确； ③中，若，则成立，所以③正确. 故答案为：①③ 20．（2025高一·天津河东月考）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【分析】根据集合之间的关系，利用充分条件与必要条件的定义分析判断即可得解. 【解析】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 21．（25-26高一·全国月考）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 22．（2025高一·江苏无锡月考）已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 【答案】 【分析】条件，条件，根据p是q的必要条件，可得．因此，或，．分类讨论即可得出． 【解析】解：条件， 条件， 是的必要条件，． ，或，． 时，满足题意． 时，若，则，解得． 若，则，解得． 综上可得：的取值集合是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．（2025高二·全国月考）从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . 【答案】 【分析】利用并集、交集、补集的定义即可推出. 【解析】（1）若，则，则且， 则且，则， 故； 若，则且，则且， 则，则， 故； 综上所述，. （2）若，则，则或， 则或，则， 故； 若，则或，则或， 则，则， 故； 综上所述，. 故答案为：； 四、解答题 24．（2025高一·辽宁锦州·期中）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】 【分析】根据必要条件的性质进行求解即可. 【解析】若“”是“”的必要条件，则， 又集合B为非空集合，故有解得，所以a的取值范围. 25．（2025高一·全国月考）把下列命题改写成“若则”的形式，并判断它们的真假． (1)能被6整除的整数一定能被3整除； (2)二次函数的图像是一条抛物线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】先把命题改写成若则, 再判断命题真假即可. 【解析】（1）若一个整数能被6整除，则一定能被3整除；真命题. （2）若一个函数是二次函数，则它的图像是一条抛物线；真命题． 26．（2025高一·江苏南京月考）已知集合. (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，，； (2). 【分析】（1）求出集合A，即可求得其子集. （2）求出集合B，由是的充分条件，可知，分类讨论集合A的情况，即可求得答案. 【解析】（1）时，， 所有子集有，，，； （2），由是的充分条件，可得， ①时，，此时，满足； ②时，，，满足； ③时，有两个元素，由可得， 则，0是方程两解，而，矛盾； 综上，实数的取值范围是. 27．（2025高一·全国·单元测试）设，现有以下三个条件： 甲：且 乙： 丙： 求证：甲分别是乙和丙的充分条件． 【答案】证明见解析 【分析】根据元素之间的关系，利用充分条件的定义进行推理即可． 【解析】 设，则，， 则， 因为 所以， 所以， 所以甲是乙的充分条件； ， 因为 所以若，则；若，则， 所以甲是乙的充分条件 所以甲分别是乙和丙的充分条件． 28．（2025高一·山东菏泽月考）已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先由已知判断出，再分、、和四种情况讨论求实数的取值范围. 【解析】解：因为若“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，解得 当时，则，此时不存在 当时，则，此时不存在 当时，则，此时; 综上所述：所以实数的取值范围是 【点睛】本题考查根据必要条件判断集合的基本关系，根据集合的包含关系求参数范围、根据必要条件求参数范围，是中档题. 29．（2025高一·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 30．（2025高一·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【解析】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 31．（2025高一·湖南长沙月考）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【解析】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 32．（2025高一·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.4 充分条件与必要条件10题型分类 课程标准 学习目标 ①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. ②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断. 2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明. 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的充分条件 p不是q的必要条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【特别提醒】 对充分条件和必要条件的理解： (1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。 二、充要条件 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【特别提醒】 （1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。 （2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 三、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 四、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） （一） 命题的概念及结构 命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p 是命题的条件，q是命题的结论. 题型1：命题真假的判断 1．（25-26高一·全国月考）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 2．【多选】（25-26高一·全国月考）下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 3．【多选】（25-26高一·全国月考）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 4．（2025高一·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若则； (4)若平面内两条直线a 和 b均垂直于直线l，则 5．（2025高一·湖南月考）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ (1)对角线相等的菱形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)有一个角是直角的菱形． （二） 充分、必要条件的判断 1、充分条件的判断 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． (3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍. 2、必要条件的判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法: (1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的方法.通常对pq要予以证明，pq可举反例说明. (2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题. 题型2：充分条件的单独判断 6．（2025高一·全国·课堂例题）下列命题中，p是q的充分条件的是 ． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 7．【多选】（2025高一·山西大同月考）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 8．（2025高一·全国月考）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 题型3：必要条件的单独判断 9．（2025高一·江苏·假期作业）“”是“”的 条件，“”是“”的 条件（用“充分”“必要”填空）． 10．【多选】（25-26高一·全国月考）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若mn为无理数，则m，n为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 11．（2025高一·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 题型4：充分、必要条件的综合判断 12．（2025高一·全国月考）指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； （2）p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0； （3）p：a<b，q：<1. 13．（2025高一·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2025高一·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 15．（2025高一·甘肃白银·期中）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2025高二·江苏无锡月考）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 17．（2025高二·天津红桥月考）设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 18．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （三） 探求命题为真的一个充要条件 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 题型5：探求命题成立的一个充分、必要条件 19．（2025高一·江苏·假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（　　） A． B． C． D． 20．（2025高一·全国月考）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 21．（2025高三·全国月考）的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一·全国月考）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 23．（2025高二·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·湖南邵阳月考）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 25．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 26．（2025高一·江苏连云港月考）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． （四） 根据充分条件或必要条件求参数的范围 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤： ①化简，两命题. ②根据与的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系. ③利用集合间的关系建立不等关系， ④求解参数范围. 题型6：利用充分条件求参数 27．（2025高一·四川成都月考）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若成立的充分条件，求实数a的取值范围. 28．（2025高一·四川绵阳月考）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 29．（2025高一·全国月考）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 30．（2025高一·全国月考）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型7：利用必要条件求参数 31．【多选】（2025高一·云南昆明·期中）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 32．（2025高一·浙江·期中）集合，. (1)求； (2)设集合，若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 33．（2025高一·湖北武汉·期末）已知，． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 34．（2025高一·上海月考）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 题型8：利用充分、必要条件求参数 35．（2025高二·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 36．（2025高二·辽宁月考）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高一·全国月考）已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 38．（25-26高一·全国月考）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 39．（2025高二·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 40．（25-26高一·全国月考）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 41．（25-26高一·全国月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（2025高一·全国月考）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 43．（2025高一·全国月考）已知，，若是的充要条件，则实数 ． 题型9：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 44．（2025高二·安徽·期末）若关于的不等式成立的充分条件为：，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（2025高二·安徽阜阳月考）已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （五） 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 题型10：充要条件的证明 46．（2025高一·贵州贵阳月考）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 47．（2025高一·浙江·期末）已知集合，试证明“”是“”的充要条件． 48．（2025高一·山东菏泽月考）已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件. 一、单选题 1．（2025高二·江苏扬州·期中）“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是 A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思 2．（2025·辽宁·模拟预测）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·四川绵阳月考）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 4．（2025高二·湖南株洲月考）命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）下列结论错误的是（    ） A．不大于0的数一定不大于1 B．367人中一定有同月同日出生的两个人 C．如果今天是星期五，那么2000天后是星期四 D．若点P到三边的距离相等，则P未必是的内心 6．（25-26高一·全国月考）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一·全国月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·福建泉州月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·四川绵阳月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高一·全国月考）若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 12．（2025高一·云南临沧月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（25-26高一·全国月考）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2025高一·江苏宿迁月考）使成立的一个充分条件是（     ） A． B． C． D． 15．（25-26高一·全国月考）在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 三、填空题 16．（25-26高一·全国月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 17．（2025高一·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 18．（2025高一·全国月考）下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 19．（2025高一·福建南平月考）下列说法正确的是 .（只填序号） ①“”是“”的充分条件； ②“”是“且”的充分条件； ③“”是“”的充分条件， 20．（2025高一·天津河东月考）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 21．（25-26高一·全国月考）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 22．（2025高一·江苏无锡月考）已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 23．（2025高二·全国月考）从符号“”“”“”中选择适当的一个填空： （1） ； （2） . 四、解答题 24．（2025高一·辽宁锦州·期中）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 25．（2025高一·全国月考）把下列命题改写成“若则”的形式，并判断它们的真假． (1)能被6整除的整数一定能被3整除； (2)二次函数的图像是一条抛物线． 26．（2025高一·江苏南京月考）已知集合. (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若，且是的充分条件，求实数的取值范围. 27．（2025高一·全国·单元测试）设，现有以下三个条件： 甲：且 乙： 丙： 求证：甲分别是乙和丙的充分条件． 28．（2025高一·山东菏泽月考）已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 29．（2025高一·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 30．（2025高一·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 31．（2025高一·湖南长沙月考）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 32．（2025高一·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$