专题02 锥体（考点解读+考点归纳+12类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 专题02 锥 体 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、锥体、台体的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的 高称为棱锥的斜高； 【备注】 棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 定义 我们把棱锥与圆锥统称为锥体； 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 由圆锥的形成过程，容易看出圆台也可以看成是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形； 图示及相关概念 记作：棱台ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 图示及相关概念 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 2、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 3、锥体、台体的体积公式： 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 4、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 5、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 6、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？ 【提示】S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 题型1、锥体、台体的结构特征 例1、（1）下列三种叙述，正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （2）下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中说法正确的序号是________． 【说明】本题主要考查了锥、棱台的结构特征；判断棱锥、棱台形状的两个方法： （1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． （2）直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 题型2、圆柱、圆锥、圆台的结构 例2、（1）给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　B．②③　　C．①③　　D．②④ （2）给出下列说法： ①以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； ②以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； ③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； ④圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径； 其中说法正确的序号是________． 【说明】本题考查了圆锥、圆台等旋转体的结构特征； 1、判断简单旋转体结构特征的方法： （1）明确由哪个平面图形旋转而成； （2）明确旋转轴是哪条直线； 2、简单旋转体的轴截面及其应用： （1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； （2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想； 题型3、简单结合体的判断准确把握角的概念 例3、（1）如图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________． ⑤这是一个六面体； ②这是一个四棱台； ③这是一个四棱柱； ④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到； ⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到． 【易错防范】 1、解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理． 2、解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断； （2）如图所示的几何体中， 所有棱长都相等，分 析此几何体有几个面、 几个顶点、 几条棱？ 【说明】本题主要考查了利用柱体、椎体、台体通过“分解”或“拼接”，等价转化简单的几何体问题；解题技巧：（判断几何体的注意事项）解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数； 题型4、多面体的表面展开图 例4、（1）某人用如图所示的纸片，沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上(　　) A．快、新、乐 B．乐、新、快 C．新、乐、快 D．乐、快、新 （2）如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ （2）如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝4， ∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°， 过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值； 【说明】本题考查了多面体的表面展开图问题；多面体展开图问题的解题策略： 1、绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图； 2、由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图； 【特别提醒】解决多面体表面上两点间的最短距离问题，常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题．解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开，再用平面几何的知识来求解； 【说明】 1、对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示． 2、棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台． 3、圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求； 4、只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误． 5、简单组合体识别的要求 (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台)的结构特征． (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式． (3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)． 题型5、求多面体的体积 例5、（1）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为 （2）如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中， AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点， 求三棱锥A1­B1CD的体积． 【说明】本题主要考查几何体的体积；几何体的体积的求法 1、直接法：直接套用体积公式求解； 2、等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到； 3、分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体； 4、补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体；多面体的体积； 题型6、求圆台、简单几何体的体积 例6、（1）如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角 为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰， 求：圆台的体积； 【说明】本题考查了台体的体积问题； 1、求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地，棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台，则把高放在等腰梯形中求解； 2、“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键； （2）已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积； 【提示】主要将简单转化为若干个柱体、椎体解析计算； 【说明】本题考查了简单组合体的表面积和体积；求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解； 题型7、锥体的体积公式的简单应用 例7、（1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺．问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 （2）如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？ 【说明】1、常见的求几何体体积的方法：①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；2、求几何体体积时需注意的问题：柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算； 题型8、将涉及体积问题转化为平面几何问题 例8、（1）如图，在以O为顶点的三棱锥中，过点O的三条棱，任意两条棱的夹角 都是30°，在一条棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点用一条绳子 紧绕三棱锥的侧面一周，求此绳在A，B之间的最短绳长． （2）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h. 题型9、求棱锥、棱台的表面积 例9、（1）一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为(　　) A．8　 B．12 C．16 D．20 （2）已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积． 【说明】本题主要考查的正四棱锥的定义、几何性质与表面积公式的交汇； 1、要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量． 2、空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成． 题型10、求圆锥、圆台的表面积 例10、（1）圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于 （2）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 【说明】本题主要考查了求圆锥、圆台的表面积： 1、圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键； 2、棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解； 题型11、求组合体的表面积 例11、（1）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积； 【说明】本题考查了组合体的表面积的求法；求组合体的表面积的解题策略： 1、对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响； 2、对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化； （2）已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱； （1）求圆柱的侧面积； （2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 时，圆柱的侧面积最大 题型12、求锥体、台体的表面积的实际应用 例12、（1）一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2) 【说明】对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题； （2）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱， 上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1， 且PO＝3PO1.当PO1＝2 m，PA1＝4 m时， （1）求：帐篷的表面积； （2）若把本例条件中“帐篷”改为“ 用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？ 【说明】求解此类问题时，首先要注意题目要求侧面积还是表面积，其次观察几何体形状，是已知的棱柱、棱锥、棱台，还是由这些几何体形成的组合体，再利用公式准确计算相关的面积，从而求解；　　 题型五、求侧面积、表面积与其他知识的交汇 1、已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是 2、将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是 3、一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是 4、如图，ABC­A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是 5、已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________． 6、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 7、棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶8 C．1∶4 D．1∶3 8、在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，现以AB所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为(　　) A．24π　 B．21π C．33π D．39π 9、如图，正三棱锥O­ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积． 10、一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h； 一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上， A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？ ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 专题02 锥 体 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、锥体、台体的定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥； 图示及相关概念 记作：棱锥S­ABCD 棱锥的底面：这个三角形或平面多边形； 棱锥的侧面：其余的面； 棱锥的侧棱：不在底面上的棱； 棱锥的顶点：所有侧棱的公共点； 棱锥的高：顶点到底面的距离 分类1 按照底面多边形的边数，棱锥可以分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 分类2 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥； 【说明】 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的 高称为棱锥的斜高； 【备注】 棱锥的斜高：就棱锥而言，斜高是指其侧面三角形底边上的高，它也是棱锥顶点到该底边的距离。 棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影构成一个非常有用的直角三角形；它不仅实现了空间问题的平面化，而且把高、斜高、斜高射影、斜高与底面所成角、侧面与底面所成角集中在一个直角三角形中。解之，可得斜高； 棱台的斜高：就棱台而言，斜高是指其侧面梯形的高，它也是该梯形上下底边的距离； 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥； 图示及相关概念 圆锥的轴：旋转轴所在直线； 圆锥的顶点：点S； 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆锥的侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于 轴的斜边； 圆锥的高：圆锥的顶点到底面间的距离； 【注解】 1、锥体：棱锥和圆锥统称为锥体； 2、由圆锥的形成过程可以知道，圆锥有无穷多条母线，且所有的母线都交于圆锥的顶点； 3、圆锥具有的性质 (1)圆锥的底面是一个圆面，圆面的半径就是直角边OA的长， 底面和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形，如△SAB； (4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形，如等腰△SAC； (5)母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等； 定义 我们把棱锥与圆锥统称为锥体； 把一个锥体用平行于底面的平面截去含顶点的小锥体后，剩下的几何体称为台体； 大圆锥截去小圆锥后剩下的几何体称为圆台； 由圆锥的形成过程，容易看出圆台也可以看成是由直角梯形绕直角边旋转一周所形成的几何体； 其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台； 与台体有关的问题，我们一方面可以转化为锥体的问题来解决，另一方面也可以把锥体和柱体看作是台体的极端情形； 图示及相关概念 记作：棱台ABCD­A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 图示及相关概念 轴：圆锥的； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 圆台具有的性质 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆面，两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直； (2)平行于底面的截面是圆面； (3)通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形，如梯形ABB1A1； (4)任意两条母线确定的平面截圆台所得的截面是等腰梯形，如梯形ACC1A1； (5)母线都相等，各母线延长后都相交于一点．　 2、三棱锥的体积公式的推导：可以证明（见本节的“探究与实践”），任一棱锥的体积都是与 它同底等高的柱体的体积的三分之一，由此得到棱锥的体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高) 3、锥体、台体的体积公式： 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h. 【说明】对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 1、等底、等高的两个柱体的体积相同； 2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍． 3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 4、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和； 5、几种特殊的多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． （2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． （3）正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等；【依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高】 （4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台． 6、几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长；h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c为底面周长；h′为斜高，即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′ c′为上底面周长，c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径，l为侧面母线长； 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径，r2为下底面半径，l为侧面母线长 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？ 【提示】S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl. 题型1、锥体、台体的结构特征 例1、（1）下列三种叙述，正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A. ； 【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．故选A. （2）下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中说法正确的序号是________． 【提示】理解、理解锥体、台体的定义及其相关概念； 【答案】②③④； 【说明】本题主要考查了锥、棱台的结构特征；判断棱锥、棱台形状的两个方法： （1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． （2）直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 题型2、圆柱、圆锥、圆台的结构 例2、（1）给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　B．②③　　C．①③　　D．②④ 【答案】D； 【解析】依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误； （2）给出下列说法： ①以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； ②以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； ③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； ④圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径； 其中说法正确的序号是________． 【答案】②③④； 【说明】本题考查了圆锥、圆台等旋转体的结构特征； 1、判断简单旋转体结构特征的方法： （1）明确由哪个平面图形旋转而成； （2）明确旋转轴是哪条直线； 2、简单旋转体的轴截面及其应用： （1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； （2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想； 题型3、简单结合体的判断准确把握角的概念 例3、（1）如图所示，下列关于这个几何体的正确说法的序号为________． ⑤这是一个六面体； ②这是一个四棱台； ③这是一个四棱柱； ④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到； ⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到． 【提示】注意理解几何体的定义与结构特征； 【答案】①③④⑤； 【解析】①正确，因为有六个面，属于六面体的范围； ②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确； ③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱； ④⑤都正确，如图所示． 【易错防范】 1、解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理． 2、解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断； （2）如图所示的几何体中， 所有棱长都相等，分 析此几何体有几个面、 几个顶点、 几条棱？ 【提示】注意几何体的“分解”； 【答案】这个几何体有8个面；6个顶点；12条棱； 【解析】这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱； 【说明】本题主要考查了利用柱体、椎体、台体通过“分解”或“拼接”，等价转化简单的几何体问题；解题技巧：（判断几何体的注意事项）解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数； 题型4、多面体的表面展开图 例4、（1）某人用如图所示的纸片，沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上(　　) A．快、新、乐 B．乐、新、快 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【答案】A； 【解析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知③处一定是“乐”字，故选A. （2）如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？ （2）如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝VC＝4， ∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°， 过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值； 【提示】注意理解几何体的定义与几何性质，将空间问题转化为平面几何问题； 【解析】（1）如图，①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台． （2）将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上， 如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值． 因为，∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°， 所以，∠AVA1＝90°； 又VA＝VA1＝4，所以，AA1＝4， 所以，△AEF周长的最小值为4； 【说明】本题考查了多面体的表面展开图问题；多面体展开图问题的解题策略： 1、绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图； 2、由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推. 同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图； 【特别提醒】解决多面体表面上两点间的最短距离问题，常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题．解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开，再用平面几何的知识来求解； 【说明】 1、对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示． 2、棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台． 3、圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求； 4、只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误． 5、简单组合体识别的要求 (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台)的结构特征． (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式． (3)若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面)． 题型5、求多面体的体积 例5、（1）设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为 【答案】； 【解析】由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝， 所以体积V＝Sh＝××2＝. （2）如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中， AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点， 求三棱锥A1­B1CD的体积． 【提示】注意结合棱锥的几何性质，创设利用体积公式的前提； 思路1、VA1­B1CD＝V柱－VA1­ADC－VB1­BDC－VC­A1B1C1； 思路2、利用等体积法求解，VA1­B1CD＝VC­A1B1D； 【解析】因为，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC， 所以，AB＝A1B1＝5； 方法1、由题意可知VA1B1C1­ABC＝S△ABC×AA1＝×4×3×4＝24. 又VA1­ADC＝×S△ABC×AA1＝S△ABC×AA1＝4. VB1­BDC＝×S△ABC×BB1＝S△ABC×BB1＝4. VC­A1B1C1＝S△A1B1C1×CC1＝8， 所以，VA1­B1CD＝VA1B1C1­ABC－VA1­ADC－VB1­BDC－VC­A1B1C1＝24－4－4－8＝8. 方法2、在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F， 由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA. 又S△A1B1D＝A1B1·AA1＝×5×4＝10. 在△ABC中，CF＝＝＝. ∴VA1­B1CD＝VC­A1B1D＝S△A1B1D·CF ＝×10×＝8. 【说明】本题主要考查几何体的体积；几何体的体积的求法 1、直接法：直接套用体积公式求解； 2、等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到； 3、分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体； 4、补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体；多面体的体积； 题型6、求圆台、简单几何体的体积 例6、（1）如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角 为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰， 求：圆台的体积； 【提示】求圆台的体积，关键是作出轴截面， 并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解； 【解析】设上、下底面半径分别为r，R. 因为，A1D＝3，∠A1AB＝60°， 所以，AD＝＝， 所以，R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3， 所以，∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3， 所以，∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π； 【说明】本题考查了台体的体积问题； 1、求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地，棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台，则把高放在等腰梯形中求解； 2、“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键； （2）已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积； 【提示】主要将简单转化为若干个柱体、椎体解析计算； 【解析】如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D. 由AC＝3，BC＝4，AB＝5， 知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC. 因为，BC·AC＝AB·CD， 所以，CD＝， 记为r＝，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥， 且底半径r＝，母线长分别是AC＝3，BC＝4， 所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π， V＝πr2(AD＋BD)＝πr2·AB＝π×2×5＝π. 所以，所求旋转体的表面积是π，体积是π； 【说明】本题考查了简单组合体的表面积和体积；求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解； 题型7、锥体的体积公式的简单应用 例7、（1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺．问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【答案】B； 【解析】设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)； （2）如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？ 【答案】 【解析】由题意知长方体的体积， 棱锥的体积， 所以这个漏斗的容积 . 【说明】1、常见的求几何体体积的方法：①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；2、求几何体体积时需注意的问题：柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算； 题型8、将涉及体积问题转化为平面几何问题 例8、（1）如图，在以O为顶点的三棱锥中，过点O的三条棱，任意两条棱的夹角 都是30°，在一条棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点用一条绳子 紧绕三棱锥的侧面一周，求此绳在A，B之间的最短绳长． 【解析】作出三棱锥的侧面展开图，如图．A，B两点之间的最短绳长 就是线段AB的长度．OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，所以AB＝5， 即此绳在A，B之间最短的绳长为5. （2）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h. 【解析】设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h， 圆柱形容器内的液体体积为π2h. 根据题意，有πR2h＝π2h，解得R＝a. 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，所以h＝a. 题型9、求棱锥、棱台的表面积 例9、（1）一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为(　　) A．8　 B．12 C．16 D．20 【答案】B； 【解析】由题得正四棱锥侧面三角形的高为＝2， 所以该四棱锥的表面积为22＋4××2×2＝12.故选B. （2）已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积． 【提示】根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解； 【解析】如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE， 底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE； ∵OE＝＝2，∠OPE＝30°， ∴PE＝＝＝4. ∴S正四棱锥侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32， S表面积＝42＋32＝48. 即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48. 【说明】本题主要考查的正四棱锥的定义、几何性质与表面积公式的交汇； 1、要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量． 2、空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成． 题型10、求圆锥、圆台的表面积 例10、（1）圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于 【答案】67π； 【解析】S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π； （2）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 【提示】→ 【解析】如图所示，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5. 作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3， 在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝＝5. 在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面， AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面， 设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π×42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π， 故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π. 【说明】本题主要考查了求圆锥、圆台的表面积： 1、圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键； 2、棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解； 题型11、求组合体的表面积 例11、（1）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积； 【提示】该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可； 【解析】如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥； 在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 60°＝a，DC＝＝2a. 又DD′＝DC＝2a， ∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧 ＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π·(2a)2＋π·a·2a ＝(9＋4)πa2. 【说明】本题考查了组合体的表面积的求法；求组合体的表面积的解题策略： 1、对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响； 2、对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化； （2）已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱； （1）求圆柱的侧面积； （2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 【提示】注意适当引入参数； 【解析】（1）作圆锥的轴截面，如图所示．因为＝， 所以r＝R－x， 所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－x2(0<x<H). （2）因为－<0， 所以当x＝＝时，S圆柱侧最大． 故当x＝时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大 题型12、求锥体、台体的表面积的实际应用 例12、（1）一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2) 【解析】如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高． 在Rt△SAE中，SA＝2.3 m，AE＝1.35 m， 所以SE＝≈1.86(m)， 而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)， 所以S棱锥侧≈×10.8×1.86≈10.0(m2)． 故需要油毡纸约10.0 m2. 【说明】对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题； （2）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱， 上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1， 且PO＝3PO1.当PO1＝2 m，PA1＝4 m时， （1）求：帐篷的表面积； （2）若把本例条件中“帐篷”改为“ 用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？ 【提示】注意简单几何体的分解 【解析】（1）如图，连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m， 所以A1B1＝A1O1＝＝2(m)， 取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1. 所以A1Q＝O1A1＝，PQ＝＝(m)， 设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2， 所以S1＝6×A1B1·PQ＝6(m2)， S2＝6A1B1·OO1＝48(m2)， 所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝(6＋48)(m2)； （2）若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积．底面是边长为2的正六边形， 它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6××(2)2＝18； 故容器的表面积为6＋48＋18＝(6＋66)(m2)； 【说明】求解此类问题时，首先要注意题目要求侧面积还是表面积，其次观察几何体形状，是已知的棱柱、棱锥、棱台，还是由这些几何体形成的组合体，再利用公式准确计算相关的面积，从而求解；　　 题型五、求侧面积、表面积与其他知识的交汇 1、已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是 【答案】3π ； 【解析】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝＝， ∴V圆锥＝πr2h＝3π； 2、将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是 【答案】πR3 【解析】设圆锥的底面半径为r，则2πr＝πR，所以r＝.所以圆锥的高h＝ ＝R. 所以圆锥的体积V＝πr2×h＝π()2×R＝πR3； 3、一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是 【答案】6a2＋3a2； 【解析】正六棱柱的表面积为6a2＋3a2； 4、如图，ABC­A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是 【答案】； 【解析】因为V三棱锥C­A′B′C′＝V三棱柱ABC­A′B′C′＝，所以V四棱锥C­AA′B′B＝1－＝　 5、已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________． 【答案】；； 【解析】S表＝4××12＝，V体＝××12× ＝. 6、如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【答案】答案： 【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm； 7、棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶8 C．1∶4 D．1∶3 【答案】B； 【解析】两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B. 8、在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，现以AB所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为(　　) A．24π　 B．21π C．33π D．39π 【答案】A； 【解析】因为在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，所以△ABC是以∠B为直角的直角三角形，故以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π.故选A. 9、如图，正三棱锥O­ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积． 【解析】由题意知， 正三棱锥O­ABC的底面ABC是边长为2的正三角形， 则底面ABC的面积为，所以该三棱锥的体积为××1＝； 如图，设O′是正三角形ABC的中心．连接AO′并延长交BC于点D，连接OD，OO′. 由正三棱锥的性质知，OO′垂直于平面ABC，AD＝，O′D＝， 由题意知，OO′＝1， 所以正三棱锥的斜高OD＝， 所以侧面积为×2××3＝2， 所以该三棱锥的表面积为＋2＝3. 故该三棱锥的体积为，表面积为3； 10、一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h； 一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上， A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？ 【提示】注意结合侧面积公式，适当引入参数； 【解析】设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)， 则PO为三棱锥的高， 设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则＝，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝x， 于是OO1＝h－PO1＝h－x＝h. 所以所求三棱柱的侧面积为S＝3x·h＝(a－x)x＝； 当x＝时，S有最大值为ah，此时O1为PO的中点，即A1，B1，C1分别是三条棱的中点； 【说明】本题将几何体的侧面积计算与一元二次函数在给定区间上求值进行了巧妙的交汇； ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$