第12讲 基本不等式的应用（两大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第12讲 基本不等式的应用 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 利用基本不等式的变形求最值 2 角度1 积（和）为定值求最值 2 角度2 常数代换法 5 题型02 基本不等式的实际应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 17 创新拓展 24 一、利用基本不等式的变形求最值 用基本不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最________值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当________时，积xy有最大值S2 两个正数的积为常数时，它们的和有最________值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当________时，和x＋y有最小值2 注意点： (1)口诀：和定积最大，积定和最小． (2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等 题型01利用基本不等式的变形求最值 【解题策略】 常数代换(“1”的代换)法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值 角度1 ：积（和）为定值求最值 【典例分析】 【例1】例1　(1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B. C. D. (2)若0<x<，则y＝2x·(1－3x)的最大值是________． (3)设实数x满足x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A. B. C. D. 【变式3】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 角度2　常数代换法 【典例分析】 【例2】已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【变式3】（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 题型02 基本不等式的实际应用 【解题策略】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案 【典例分析】 【例3】甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？ 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 【变式3】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 二、多选题 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 8．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 9．（23-24高一下·湖南·阶段练习）若实数，则的最小值为 ，此时 . 四、解答题 10．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 11．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，，求下列代数式的最小值 (1)； (2). 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）如图，某地区计划在等腰的空地中，建设一个有一边在上的矩形花园，已知，则该矩形花园面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 6．（22-23高一上·山西大同·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 三、填空题 7．（23-24高一上·北京·期中）已知，则在 时，取得最小值为 ． 8．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 9．（23-24高一下·安徽·阶段练习）设a，b为正实数，且满足，则的最小值是 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由． (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值． 11．（23-24高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东佛山·开学考试）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·浙江宁波·期中）若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 二、填空题 3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数满足，则的最大值为 ． 三、解答题 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【下节预览】 1、 解答题 1．（2022高一下·江苏南京·竞赛）已知、为方程的两根，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 基本不等式的应用 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 利用基本不等式的变形求最值 2 角度1 积（和）为定值求最值 2 角度2 常数代换法 5 题型02 基本不等式的实际应用 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 17 创新拓展 24 一、利用基本不等式的变形求最值 用基本不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 注意点： (1)口诀：和定积最大，积定和最小． (2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等 题型01利用基本不等式的变形求最值 【解题策略】 常数代换(“1”的代换)法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值 角度1 ：积（和）为定值求最值 【典例分析】 【例1】例1　(1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B. C. D. (2)若0<x<，则y＝2x·(1－3x)的最大值是________． (3)设实数x满足x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　(1)D　(2)　(3)A 解析　(1)a>0，b>0，a＋2b＝5， 则ab＝a·2b≤×2＝， 当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，等号成立． 故ab的最大值为. (2)∵0<x<， ∴1－3x>0， ∴y＝2x·(1－3x)＝×3x·(1－3x) ≤×2＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴所求最大值是. (3)∵x>－1， ∴x＋1>0， ∴函数y＝x＋＝(x＋1)＋－1 ≥2－1＝4－1＝3， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号． 因此函数y＝x＋的最小值为3. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【变式2】已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵0<x<1， ∴1－x>0， ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝， 当且仅当x＝时取等号． ∴x(3－3x)取最大值时，x的值为. 【变式3】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可； （2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为正数满足， 所以有，当且仅当时取等号， 即当时，有最大值 （2）因为正数满足， 所以有， 于是有， 当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值 角度2　常数代换法 【典例分析】 【例2】已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． 解　因为x>0，y>0，＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y) ＝8＋＋＋2＝10＋＋ ≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立， 所以x＋2y的最小值为18. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·青海海东·期中）已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4 题型02 基本不等式的实际应用 【解题策略】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案 【典例分析】 【例3】甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？ 解　(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1， 生产m千克该产品需要的时间是小时， 所以y＝(kx2＋9)＝m，1≤x≤10. (2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为y＝1 000≥1 000×2＝6 000(千克)， 当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立， 故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6 000千克． 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·全国·期中）小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的应用即可求解. 【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为，垂直于墙的边长度为，菜园面积， 则，当且仅当时取等号. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 【答案】大于 【分析】根据力矩平衡原理，列出等量关系，即可由基本不等式求解. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即． 因此，顾客购得的黄金大于． 故答案为：大于 【变式3】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元 【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出边长，利用相似得到定值，再利用基本不等式求解即可. 【详解】设矩形广场的长为，宽为，且，， 由三角形相似性质得，化简得， 而，当且仅当时取等，故， 故健身广场的最大面积为. 故选：C 3．（23-24高一上·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 4．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：A 二、多选题 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A中所得可得C；借助作差法，结合所给条件可得D. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：由A知，，故， 即，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，故， 则， 由，，故，则， 即，故，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 【答案】BCD 【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式的变形公式即得D项. 【详解】对于A，取满足题意，但显然不成立，故A错误； 对于B，由，因a，b均为正数， 则， 当且仅当时，即，，等号成立，故B正确； 对于C，由基本不等式可知，即， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由基本不等式可知，则， 当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 8．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 9．（23-24高一下·湖南·阶段练习）若实数，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 / 【分析】，利用基本不等式求最小值，由等号成立的条件求的值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 此时. 故答案为：；. 四、解答题 10．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（1）已知，求函数的最小值； （2）已知正数满足，求的最小值. 【答案】（1）5；（2）9 【分析】（1）通过配凑，然后利用基本不等式直接求解可得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求解可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为5； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为9. 11．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，，求下列代数式的最小值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得； （2）展开变形成，再将换成展开，即可利用基本不等式求解．. 【详解】（1）因，，，则， 于是得， 当且仅当，即时取“”， 所以，当时，的最小值是； （2）因，，， 则， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，的最小值是 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用基本不等式和不等式的加法性质即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时取等号，所以的最小值为8. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】通过求出，代入所求式消元，运用基本不等式求解即得. 【详解】由可知，则，代入得：， 当时等号成立，即当时，取得最小值. 故选：D. 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）如图，某地区计划在等腰的空地中，建设一个有一边在上的矩形花园，已知，则该矩形花园面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形，设的长度为，的长度为，根据相似求出的关系，再根据二次函数的性质即可得解； 方法二：设的长度为，的长度为，根据相似求出的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（方法一）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形， 设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点， 设的长度为，的长度为， 则，，， 所以，得，即， 则该矩形花园的面积为， 当时，该矩形花园的面积取得最大值，最大值为． （方法二）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形， 设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点， 设的长度为，的长度为， 则，，， 所以，得， 则，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该矩形花园面积的最大值为．    故选：C. 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【分析】对于A，直接利用基本不等式式即可；对于B，利用乘“1”法即可；对于C，代换，再利用乘“1”法即可；对于D，化简表达式得到，再利用和不能同时为零即可否定结论. 【详解】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，故C错误； 对于D，有， 而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用基本不等式及不等式的性质求出或否定最值. 6．（22-23高一上·山西大同·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 【答案】AC 【分析】根据基本不等式及其等号成立的条件逐项判断后可判断ABC的正误，结合反例可判断D的正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确. 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 而，故等号不成立，故的最小值不是2，故B错误. 对于C，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，取，则，故的最小值不为3，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（23-24高一上·北京·期中）已知，则在 时，取得最小值为 ． 【答案】 3 6 【分析】由条件知，可用基本不等式求其最小值. 【详解】因，，当且仅当时等号成立，即在时，取得最小值为6. 故答案为：3；6. 8．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 【答案】 5 14 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：；. 9．（23-24高一下·安徽·阶段练习）设a，b为正实数，且满足，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】将所求因式通分后利用基本不等式计算即可. 【详解】，① 因为a，b为正实数，且满足， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以①. 故答案为：1. 四、解答题 10．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由． (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)最小值为8，此时 【分析】（1）利用作差法得到，进而即可比较； （2）依题意可得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）由， 又，， 则， 所以． （2）由， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8，此时． 11．（23-24高一上·吉林长春·期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元. (1)与出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系； (2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1) (2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）分段函数最值分段求解，分别利用基本不等式求解最值和一次函数的单调性求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， 又因为，所以， 所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为 ； （2）当时，化简， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元； 当时，为减函数，所以当时，有最大值为； 因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为万元. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东佛山·开学考试）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式可求得结果. 【详解】，，（当且仅当，时取等号）， 的最大值为. 故选：B. 2．（22-23高一上·浙江宁波·期中）若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】利用基本不等式可判断AD；利用配方法可判断B；举反例可判断C. 【详解】对于A，正实数满足，所以，可得， 当且仅当即等号成立，所以的最大值为，故A正确；     对于B，因为，所以， ， 所以当时，有最小值，为，故B正确； 对于C，当时，， 且，即，故C错误； 对于D，因为正实数满足，所以 ，当且仅当即，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：C. 二、填空题 3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若正数满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】利用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为10． 故答案为：10 三、解答题 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3 【下节预览】 1、 解答题 1．（2022高一下·江苏南京·竞赛）已知、为方程的两根，求的最小值. 【答案】9 【分析】利用一元二次方程的概念及性质可求出，从而可代入，再利用二次函数的最值即可求得结论. 【详解】 、为方程的两根， 则， ， 当时，取到最小值， 故，即最小值为9. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$