第五章　第3课时　专题强化：卫星变轨问题　双星模型-2025年物理大一轮复习讲义

第五章 万有引力与宇宙航行 第3课时　专题强化：卫星变轨问题　双星模型 学习目标 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。 2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。 3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。 考点01　卫星的变轨和对接问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在椭圆轨道B点(远地点)将做近心运动，G>m，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. [典例1·对卫星变轨问题中各物理量的比较的考查](2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则(　　) A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为 C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能 D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能 [拓展训练]2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是(　　) A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速 B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期 C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度 D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度 [典例2·对变轨问题中的能量变化的考查]2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　) A.mv2＋ B.mv2－ C.mv2＋ D.mv2－ [拓展训练](多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　) A．卫星的动能逐渐减小 B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量 [典例3·对飞船对接问题的考查](2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km的“天和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是(　　) A．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力 B．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度 C．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度 D．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T，运行速度为v，引力常量为G，利用这些条件可估算出地球的质量 [拓展训练]北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可 C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 考点02　双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 [典例4·对双星模型的考查](2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1。则(　　) A．根据图乙可以判断出k>1 B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定 C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比 D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小 [拓展训练](2023·贵州省贵阳一中高三检测)宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示．假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G.则下列说法正确的是(　　) A．恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为G B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度 C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量 D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小 [典例5·对多星模型的考查](2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为(　　) A. B. C. D. [拓展训练](多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略．设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动．已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．每颗星体所需向心力大小为2G B．每颗星体运行的周期均为2π C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍 D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的 考点03　星球“瓦解”问题　黑洞问题 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． [典例6·对星球的瓦解问题的考查]2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A． B． C． D． [拓展训练]我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 [典例7·对黑洞的考查](2024·安徽安庆·二模)史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。该值的含义是：如果特定质量的物质被压缩到此临界半径时，该物质就被压缩成一个黑洞，即此时它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径，表面重力加速度g取，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为(　　) A．9纳米 B．9毫米 C．9厘米 D．9米 [拓展训练]科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　) A. B. C. D. 课时作业练 基础对点练 1.(2023·江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分，在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一号”在飞往火星的过程中(　　) A．速度变大 B．速度不变 C．加速度变小 D．加速度不变 2．(2023·广东广州市第二中学三模)天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，则(　　) A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度 B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期 C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段” D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒 3.2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接．则神舟十二号飞船(　　) A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相等 B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中速度不断增大 C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T1 D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 4.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是(　　) A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a0 B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为 C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3倍 D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为－ 5.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　) A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期 B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度 C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒 D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 6.(2023·山东济南市模拟)2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是(　　) 7.如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则(　　) A．恒星A、B运动的周期为T B．恒星A的质量小于B的质量 C．恒星A、B的总质量为 D．恒星A的线速度大于B的线速度 8.(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则(　　) A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶1 B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3 C．星球A与星球B的质量之比为3∶1 D．星球A与星球B的动能之比为3∶1 9.一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为(　　) A. B. C. D. 10.黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．已知某黑洞的逃逸速度为v＝ ，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径．若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，光速为c，则下列关于该黑洞的说法正确的是(　　) A．该黑洞的质量为 B．该黑洞的质量为 C．该黑洞的最大半径为 D．该黑洞的最大半径为 能力提升练 11.(2024·江苏南通市开学考)如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，rBO＝rCO＝2rAO。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是(　　) A．星体的线速度大小vA＝2vB B．星体的加速度大小aA＝aB C．星体所受合力大小FA＝FB D．星体的质量mA＝mB 12.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是(　　) A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变 尖子选拔练 13.质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动．观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且＝k.于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为(　　) A.m B.m C.m D.m ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 万有引力与宇宙航行 第3课时　专题强化：卫星变轨问题　双星模型 学习目标 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。 2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。 3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。 考点01　卫星的变轨和对接问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在椭圆轨道B点(远地点)将做近心运动，G>m，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1<E2<E3. [典例1·对卫星变轨问题中各物理量的比较的考查](2024·黑龙江哈尔滨市第九中学月考)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则(　　) A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为 C．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能 D．卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能 答案　B 解析　卫星在轨道Ⅲ上运行时，根据万有引力提供向心力得G＝ma＝m，在地球表面附近由mg＝G得GM＝gR2，所以卫星在轨道Ⅲ上的加速度大小为a＝()2g，线速度大小为v＝，故A错误，B正确；卫星的线速度大小为v＝，卫星在圆轨道上运行的动能为Ek＝mv2＝，可知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，故C错误；卫星从轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要点火加速，机械能增大，从椭圆轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道Ⅲ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能，故D错误。 [拓展训练]2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是(　　) A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速 B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期 C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度 D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度 答案　A 解析　由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据开普勒第三定律有＝，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误． [典例2·对变轨问题中的能量变化的考查]2020年我国北斗三号组网卫星全部发射完毕．如图为发射卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　) A.mv2＋ B.mv2－ C.mv2＋ D.mv2－ 答案　D 解析　当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝mv2－mv02＝mv2－；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G＝m，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v0′＝，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝v＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝mv0′2－mv12＝－mv2，所以W1－W2＝mv2－，D正确． [拓展训练](多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　) A．卫星的动能逐渐减小 B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量 答案　BD 解析　在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确． [典例3·对飞船对接问题的考查](2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km的“天和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是(　　) A．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力 B．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度 C．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度 D．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T，运行速度为v，引力常量为G，利用这些条件可估算出地球的质量 答案　D 解析　航天员受到的地球的引力充当绕地球做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，A错误；为了实现对接，实验舱应先在比核心舱半径小的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，但速度小于第一宇宙速度，B错误；对接后，组合体运动的加速度a＝<＝g，C错误；对接后，若已知组合体的运行周期T、运行速度v和引力常量G，可由＝、v＝，联立得M＝，D正确． [拓展训练]北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　) A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可 B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可 C．飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可 答案　D 解析　根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。 考点02　双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2. ②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2. ③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L. ④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. ⑤双星的运动周期T＝2π. ⑥双星的总质量m1＋m2＝. 2．多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律： 常见的三星模型 ①＋＝ma向 ②×cos 30°×2＝ma向 常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向 ②×cos 30°×2＋＝ma向 [典例4·对双星模型的考查](2024·河北石家庄市调研)夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1。则(　　) A．根据图乙可以判断出k>1 B．若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定 C．P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比 D．仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小 答案　B 解析　设P、Q之间的距离为L，P做圆周运动的轨道半径为r1，Q做圆周运动的轨道半径为r2，角速度为ω，则有G＝mPω2r1，G＝mQω2r2，联立可得＝＝，由于r1>r2，则k<1，故A错误；根据线速度与角速度之间的关系有vP＝ωr1，vQ＝ωr2，r1＋r2＝L，则vP＋vQ＝ω(r1＋r2)＝ωL，可知，若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；根据G＝mP，可得vP＝＝，故C错误；根据G＝mPr1，G＝mQr2，可得T＝2π，若仅增大P、Q之间的距离，则P、Q运行的周期将变大，故D错误。 [拓展训练](2023·贵州省贵阳一中高三检测)宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示．假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G.则下列说法正确的是(　　) A．恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为G B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度 C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量 D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小 答案　D 解析　对于恒星1，根据万有引力提供向心力有＝m1an1，则恒星1的向心加速度大小an1＝，故A错误；由mg＝，解得g＝，由于不能确定两恒星半径R的大小，故不能确定表面重力加速度的大小，故B错误；对于双星运动有m1r1＝m2r2，又因为角速度相同，根据角速度与线速度关系有m1ωr1＝m2ωr2，即m1v1＝m2v2，则动量大小相等，故C错误；设两恒星之间距离为L，对恒星1，有＝m1()2r1，对恒星2，有＝m2()2r2，上述两式相加得＋＝()2r1＋()2r2，解得T＝2π，可以看到当两者间距逐渐减小，总质量不变时，双星做圆周运动的共同周期逐渐减小，故D正确． [典例5·对多星模型的考查](2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　第一种形式下，星体A受到星体B和星体C对其的万有引力，它们的合力充当向心力，则G＋G＝mR，解得T1＝4πR，第二种形式下，星体之间的距离为r，那么圆周运动的半径为R′＝，星体A所受合力F合＝2G·cos 30°，根据合力提供向心力有2G·cos 30°＝m·，解得T2＝2πr，则T1∶T2＝，故选D。 [拓展训练](多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略．设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动．已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．每颗星体所需向心力大小为2G B．每颗星体运行的周期均为2π C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍 D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的 答案　BC 解析　任意两颗星体间的万有引力大小F0＝G，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F＝2F0cos 30°＝G，A错误；由牛顿第二定律可得F＝m()2r′，其中r′＝＝，解得每颗星体运行的周期均为T＝2π，B正确；星体原来的角速度ω＝＝，若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度ω′＝＝，则星体的角速度变为原来的倍，C正确；星体原来的线速度大小v＝，若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期T′＝2π＝16π＝8T，星体的线速度大小v′＝×4r′＝，则星体的线速度变为原来的，D错误． 考点03　星球“瓦解”问题　黑洞问题 1．星球的瓦解问题 当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即＝mω2R，得ω＝.当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行． 2．黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞． [典例6·对星球的瓦解问题的考查]2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力，设该星球的质量为M，半径为R，表面一物体质量为m，有又，式中为该星球密度，联立解得，代入数据可得 故选B。 [拓展训练]我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 答案　C 解析　脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G≥mr，又知M＝ρ·πr3，整理得密度ρ≥＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C. [典例7·对黑洞的考查](2024·安徽安庆·二模)史瓦西半径是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。该值的含义是：如果特定质量的物质被压缩到此临界半径时，该物质就被压缩成一个黑洞，即此时它的逃逸速度等于光速。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径，表面重力加速度g取，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为(　　) A．9纳米 B．9毫米 C．9厘米 D．9米 答案　B 解析　地球表面附近有,临界状态光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示为,根据万有引力提供向心力可得,联立解得,故选B。 [拓展训练]科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　地球的第一宇宙速度为v1＝，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝，并且有v2>c，联立解得r<，所以D正确，A、B、C错误。 课时作业练 基础对点练 1.(2023·江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”火星探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一部分，在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天问一号”在飞往火星的过程中(　　) A．速度变大 B．速度不变 C．加速度变小 D．加速度不变 答案　C 解析　“天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误； 根据G＝ma可知，“天问一号”与太阳之间的距离变大，加速度变小，故C正确，D错误。 2．(2023·广东广州市第二中学三模)天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，则(　　) A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度 B．天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期 C．天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段” D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒 答案　C 解析　天问一号要到达火星，需要脱离地球的引力束缚，发射速度大于第二宇宙速度，故A错误；根据开普勒第三定律k＝，在“火星捕获段”运行的半长轴大，故天问一号在“火星捕获段”运行的周期大于它在“火星停泊段”运行的周期，故B错误；天问一号从“火星捕获段”需在近火点减速才能运动到“火星停泊段”，故C正确；着陆巡视器从“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，机械能不守恒，故D错误。 3.2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接．则神舟十二号飞船(　　) A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相等 B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中速度不断增大 C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T1 D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期 答案　C 解析　飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A点时速度大小不相等，故A错误；沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故C正确；物体绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝mr，解得T＝2π，由于飞船沿轨道Ⅰ运行的半径小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的半径，因此飞船沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误． 4.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是(　　) A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a0 B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为 C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3倍 D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为－ 答案　BD 解析　设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由＝ma得a＝，则a1＝a0＝a0，故A错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝，解得v1＝＝，故B正确；根据开普勒第三定律有＝，解得＝，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W＝mv12－mv2＝－，故D正确． 5.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　) A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期 B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度 C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒 D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 答案　C 解析　根据开普勒第三定律＝k，由题图可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A错误；在与火星会合前，飞船“天问一号”到太阳的距离小于火星公转半径，根据万有引力提供向心力有G＝ma，可知飞船“天问一号”的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B错误；飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C正确；飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D错误． 6.(2023·山东济南市模拟)2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是(　　) 答案　A 解析　要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝m，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。 7.如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则(　　) A．恒星A、B运动的周期为T B．恒星A的质量小于B的质量 C．恒星A、B的总质量为 D．恒星A的线速度大于B的线速度 答案　C 解析　每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误； 根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB，由题图知rA<rB，则mA>mB，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为M＝mA＋mB＝，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA<vB，故D错误． 8.(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则(　　) A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶1 B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3 C．星球A与星球B的质量之比为3∶1 D．星球A与星球B的动能之比为3∶1 答案　AD 解析　星球A所受的引力与星球B所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A正确；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr可知，线速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为＝＝＝，故D正确． 9.一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　对近地卫星，有 G＝m()2R，地球的质量M＝ρ1·πR3，联立解得ρ1＝，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G＝m0()2R，M＝ρ2·πR3，联立解得ρ2＝，所以＝，故选D. 10.黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．已知某黑洞的逃逸速度为v＝ ，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径．若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，光速为c，则下列关于该黑洞的说法正确的是(　　) A．该黑洞的质量为 B．该黑洞的质量为 C．该黑洞的最大半径为 D．该黑洞的最大半径为 答案　D 解析　天体绕黑洞运动时，有＝m()2r，解得M＝，选项A、B错误；黑洞的逃逸速度不小于光速，则有≥c，解得R≤＝，选项C错误，D正确． 能力提升练 11.(2024·江苏南通市开学考)如图所示，A、B、C三颗星体分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕圆心O在三角形所在的平面内做匀速圆周运动，rBO＝rCO＝2rAO。忽略其他星体对它们的作用，则下列关系正确的是(　　) A．星体的线速度大小vA＝2vB B．星体的加速度大小aA＝aB C．星体所受合力大小FA＝FB D．星体的质量mA＝mB 答案　B 解析　三星系统是三颗星都绕同一圆心O做匀速圆周运动，由此它们转动的角速度相同，由线速度与角速度的关系公式v＝ωr，可知星体的线速度大小vA＝vB，A错误；由向心加速度公式a＝ω2r，可得星体的加速度大小aA＝ωrAO，aB＝ωrBO＝2ωrAO，则有aA＝aB，B正确；三颗星体都绕同一圆心O做匀速圆周运动，因此可得星体A、B受力如图所示，由图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，B、C间的万有引力大小小于A、B间的万有引力大小，分力的夹角相等，因此FA>FB，C错误； 由图可知，A、B间的万有引力大小等于A、C间的万有引力大小，可知mB＝mC，B、C间的万有引力大小小于A、B间的万有引力大小，可知mA>mC，则有mA>mB，D错误。 12.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是(　　) A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为 C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变 答案　BD 解析　四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝(＋)G＝mω2·L，可知ω＝，故B正确；由(＋)G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由(＋)G＝m可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确． 尖子选拔练 13.质量均为m的两个星球A和B，相距为L，它们围绕着连线中点做匀速圆周运动．观测到两星球的运行周期T小于按照双星模型计算出的周期T0，且＝k.于是有人猜想在A、B连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C的质量为(　　) A.m B.m C.m D.m 答案　A 解析　两星球绕连线的中点转动，则有G＝m··，所以T0＝2π，由于C的存在，星球所需的向心力由两个力的合力提供，则G＋G＝m··，又＝k，联立解得M＝m，可知A正确，B、C、D错误． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$