第五章　第2课时　人造卫星　宇宙速度-2025年物理大一轮复习讲义

第五章 万有引力与宇宙航行 第2课时　人造卫星　宇宙速度 学习目标 1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。 2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。 3.会分析天体的“追及”问题。 考点01　卫星运行参量的分析 1．基本公式 (1)线速度大小：由G＝m得v＝。 (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝。 (3)周期：由G＝m()2r得T＝2π。 (4)向心加速度：由G＝man得an＝。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。 2．“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 3．人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)同步卫星 ①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 ②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。 ③高度固定不变，h＝3.6×107 m。 ④运行速率约为v＝3.1 km/s。 (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星． [典例1·对卫星运行参量与轨道半径的关系的考查](2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　) A．周期为2t1－t0 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 [拓展训练](2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则(　　) A．木卫一轨道半径为r B．木卫二轨道半径为r C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为n3 [典例2·对同步卫星的考查](多选)(2024·广东江门市联考)某品牌推出了全球首款支持卫星通信的智能手机，该手机的卫星通信功能，可以让我们在无信号环境下，通过天通一号卫星与外界进行联系。目前我国已发射有天通一号01、02、03三颗静止轨道卫星，天通一号卫星的运行轨道距地球表面的高度约为地球半径的5.6倍，关于该系列卫星，下列说法正确的是(　　) A．不同质量的天通一号卫星的速率不相等 B．运行速度都小于7.9 km/s C．可以在北京的上空保持相对静止 D．向心加速度约为地球表面重力加速度的 [拓展训练]我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉卫星发射中心成功发射．“墨子”由火箭发射至高度为500 km的预定圆形轨道．此前在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星(高度约为36 000 km)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是(　　) A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方 C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小 D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小 [典例3·对同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较的考查](2023·海南琼海市嘉积中学模拟)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止轨道卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　) A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等 B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac C．a与地球的万有引力全部提供a随地球自转的向心力 D．a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为Ta＝Tc>Tb [拓展训练](多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　) A.＝ B.＝()2 C.＝ D.＝ 考点02　宇宙速度 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期． 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆． (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 3．三种宇宙速度的比较 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 [典例4·对第一宇宙速度的考查](2024·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为(　　) A. B. C. D. [拓展训练](多选)(2023·山东泰安市模拟)2021年2月10日，在历经近7个月的太空飞行后，我国首个火星探测器“天问一号”成功“太空刹车”，顺利被火星捕获，进入环火星轨道。物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能Ep＝－(式中G为引力常量)。已知地球半径约为6 400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的。则以下“天问一号”相对于火星的速度大于火星第二宇宙速度的是(　　) A．7.9 km/s B．5.5 km/s C．4.0 km/s D．3.2 km/s 考点03　天体的“追及”问题 1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1. 2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝. [典例5·对中心天体相同的“追及”问题的考查](2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 [拓展训练]如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　) A. B. C. D. [典例6·对中心天体不同的“追及”问题的考查]深空中，地球(X)绕太阳(Y)逆时针方向公转，月亮(Z)绕地球逆时针方向运行(在北半球观看)，地球轨道与月亮轨道在同一平面内.如图，某时刻月亮、地球和太阳在同一直线上，经过时间t，月亮、地球和太阳再次在同一直线上(相对位置的顺序不变).已知月亮绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球绕太阳做匀速圆周运动的周期大于T，地球与太阳间的距离为r，则太阳的质量为(　　) A． B． C． D． [拓展训练]月球称太阴，我国古代常常根据月相计时．若近似认为月球绕地球做匀速圆周运动，地球绕太阳也做匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内． (1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间； (2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图．已知月球绕地球运动一周的时间天，地球绕太阳运动的周期天，农历常常把相邻两次满月时长作为“一个月”，若一年中共有12个月，则该年约为多少天(保留三位有效数字)． 课时作业练 基础对点练 1.(2023·江苏海安市高三检测)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接；飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接，飞船在完成对接后与在停泊点时相比(　　) A．线速度增大 B．绕行周期增大 C．所受万有引力增大 D．向心加速度增大 2.(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是(　　) A．它的周期与地球自转周期相同 B．它的周期、高度、速度大小都是一定的 C．它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的 D．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空 3.设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A．质量 B．向心力大小 C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小 4.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为(　　) A. B. C. D. 5.(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是(　　) A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1° B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 6.如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是(　　) A．角速度关系为ωa＝ωb>ωc B．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac C．线速度的大小关系为vb>vc>va D．周期关系为Ta＝Tb>Tc 7.(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云二号气象卫星和神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36 000 km，神舟号飞船离地面的高度是340 km。以下说法中正确的是(　　) A．它们的线速度都大于第一宇宙速度 B．风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度 C．风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度 D．风云二号的周期大于神舟号飞船的周期 8.(多选)(2023·河南开封市期末)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是(　　) A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aC<aB B．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A C．经过时间，卫星A与卫星B又一次相距最近 D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度 9.(2023·黑龙江大庆市模拟)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，至此北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成．北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)以及中圆地球轨道(MEO)，如图所示．以下关于北斗导航卫星的说法中，正确的是(　　) A．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相等 B．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度 C．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方 D．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度 10.(2024·广西南宁市模拟)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第56颗北斗导航卫星。该卫星属地球静止轨道卫星，是唯一一颗高轨备份卫星。图为其绕地球运行的示意图，测得该卫星在t时间内沿顺时针从A点运动到B点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星运动的(　　) A．线速度大小为 B．周期为T＝ C．向心加速度大小为 D．轨道半径为 能力提升练 11.(多选)(2022·辽宁卷·9)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动．在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则(　　) A．水星的公转周期比金星的大 B．水星的公转向心加速度比金星的大 C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm D．水星与金星的公转线速度之比为∶ 12.(2023·湖北省荆州中学模拟)设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯缓慢直通太空站．图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系．关于相对地面静止且在不同高度的宇航员，下列说法正确的有(　　) A．随着r增大，宇航员的角速度增大 B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径 C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度 D．随着r增大，宇航员对太空舱的压力增大 尖子选拔练 13.(多选)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示．已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是(　　) A．卫星A的加速度大于卫星B的加速度 B．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 万有引力与宇宙航行 第2课时　人造卫星　宇宙速度 学习目标 1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。 2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。 3.会分析天体的“追及”问题。 考点01　卫星运行参量的分析 1．基本公式 (1)线速度大小：由G＝m得v＝。 (2)角速度：由G＝mω2r得ω＝。 (3)周期：由G＝m()2r得T＝2π。 (4)向心加速度：由G＝man得an＝。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。 2．“黄金代换式”的应用 忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 3．人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)同步卫星 ①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。 ②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。 ③高度固定不变，h＝3.6×107 m。 ④运行速率约为v＝3.1 km/s。 (3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星． [典例1·对卫星运行参量与轨道半径的关系的考查](2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　) A．周期为2t1－t0 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 答案　B 解析　由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半径为r＝＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝()2·＝·，故D错误。 [拓展训练](2023·浙江6月选考·9)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则(　　) A．木卫一轨道半径为r B．木卫二轨道半径为r C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为n3 答案　D 解析　根据题意可得，木卫三的轨道半径为r3＝nr。根据万有引力提供向心力有G＝m三r3，可得r3＝，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1＝，木卫二轨道半径为r2＝，故A、B错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；根据万有引力提供向心力，分别有G＝m三nr，G＝m月r，联立可得＝n3，故D正确。 [典例2·对同步卫星的考查](多选)(2024·广东江门市联考)某品牌推出了全球首款支持卫星通信的智能手机，该手机的卫星通信功能，可以让我们在无信号环境下，通过天通一号卫星与外界进行联系。目前我国已发射有天通一号01、02、03三颗静止轨道卫星，天通一号卫星的运行轨道距地球表面的高度约为地球半径的5.6倍，关于该系列卫星，下列说法正确的是(　　) A．不同质量的天通一号卫星的速率不相等 B．运行速度都小于7.9 km/s C．可以在北京的上空保持相对静止 D．向心加速度约为地球表面重力加速度的 答案　BD 解析　根据万有引力提供向心力有G＝m，可得地球卫星的速度大小v＝，天通一号三颗卫星的轨道半径相等，则速率相等，与卫星的质量无关，故A错误；第一宇宙速度7.9 km/s是近地卫星的环绕速度，也是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，而天通一号卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，故天通一号卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，B正确；天通一号卫星在地球静止轨道上运行，不可能在北京的正上空保持相对静止，故C错误；根据万有引力提供向心力可得＝ma，据地球表面万有引力等于重力可得＝mg，联立可得a≈g，故该系列卫星的向心加速度约为地球表面重力加速度的，D正确。 [拓展训练]我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉卫星发射中心成功发射．“墨子”由火箭发射至高度为500 km的预定圆形轨道．此前在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星(高度约为36 000 km)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是(　　) A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方 C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小 D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小 答案　C 解析　根据G＝m，得v＝，知轨道半径越大，线速度越小，北斗G7和量子科学实验卫星“墨子”的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；北斗G7为同步卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据G＝mr，得T＝2π，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期小，故C正确；卫星的向心加速度a＝，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D错误． [典例3·对同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较的考查](2023·海南琼海市嘉积中学模拟)如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止轨道卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是(　　) A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等 B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac C．a与地球的万有引力全部提供a随地球自转的向心力 D．a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为Ta＝Tc>Tb 答案　D 解析　地球同步卫星不一定与c在同一个轨道上，但轨道半径相等，卫星的质量不相等，由万有引力定律F＝可知，它们受到的万有引力大小不相等，A错误；对于b、c，由万有引力提供向心力有G＝ma，解得 a＝，rc＞rb，所以 ab＞ac，由于a、c做匀速圆周运动的周期相等，又a＝rω2，rc＞ra，可得 ac＞aa，所以a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 ab＞ac＞aa，B错误；a与地球的万有引力一部分提供a随地球自转的向心力，C错误；对于a、c，其周期相等，所以 Ta＝Tc，对于b、c，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得T＝2π，rc＞rb，所以Tc＞Tb，即a、b、c做匀速圆周运动的周期大小关系为 Ta＝Tc>Tb，D正确。 [拓展训练](多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　) A.＝ B.＝()2 C.＝ D.＝ 答案　AD 解析　根据万有引力提供向心力，有G＝m，G＝m′，故＝；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故＝，故选A、D。 考点02　宇宙速度 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期． 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆． (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 3．三种宇宙速度的比较 第一宇宙速度 (环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 (逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 [典例4·对第一宇宙速度的考查](2024·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由G＝m，得到星球的第一宇宙速度v＝，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝v1，得v1＝，设火星的第一宇宙速度为v2，则＝·，代入数据解得v2＝v1＝，故选B。 [拓展训练](多选)(2023·山东泰安市模拟)2021年2月10日，在历经近7个月的太空飞行后，我国首个火星探测器“天问一号”成功“太空刹车”，顺利被火星捕获，进入环火星轨道。物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能Ep＝－(式中G为引力常量)。已知地球半径约为6 400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，火星半径约为地球半径的，火星质量约为地球质量的。则以下“天问一号”相对于火星的速度大于火星第二宇宙速度的是(　　) A．7.9 km/s B．5.5 km/s C．4.0 km/s D．3.2 km/s 答案　AB 解析　设物体在星球表面的速度为v2，当它脱离该星球引力时r→∞，此时速度为零，由机械能守恒定律得mv22－＝0，解得星球的第二宇宙速度v2＝。第一宇宙速度是星球表面附近卫星的最大环绕速度，由G＝m，解得v1＝，故火星第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比＝＝，又v火2＝v火1，代入数据解得火星第二宇宙速度v火2≈5.27 km/s，故选A、B。 考点03　天体的“追及”问题 1．相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或－＝1. 2．相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t′＝π或－＝. [典例5·对中心天体相同的“追及”问题的考查](2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 答案　B 解析　火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次“火星冲日”，则有(－)t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。 [拓展训练]如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由开普勒第三定律得＝，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，－＝nB－nA＝，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得t＝，故选C. [典例6·对中心天体不同的“追及”问题的考查]深空中，地球(X)绕太阳(Y)逆时针方向公转，月亮(Z)绕地球逆时针方向运行(在北半球观看)，地球轨道与月亮轨道在同一平面内.如图，某时刻月亮、地球和太阳在同一直线上，经过时间t，月亮、地球和太阳再次在同一直线上(相对位置的顺序不变).已知月亮绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球绕太阳做匀速圆周运动的周期大于T，地球与太阳间的距离为r，则太阳的质量为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　在0~t时间内X公转的角度设为θ，则Z绕X转过的角度为2π+θ,X公转的周期 Z绕X运行的周期,得,设Y的质量为M，X的质量为m，由Y对X的万有引力提供向心力有,解得,BCD错误，A正确.故选A. [拓展训练]月球称太阴，我国古代常常根据月相计时．若近似认为月球绕地球做匀速圆周运动，地球绕太阳也做匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内． (1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间； (2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图．已知月球绕地球运动一周的时间天，地球绕太阳运动的周期天，农历常常把相邻两次满月时长作为“一个月”，若一年中共有12个月，则该年约为多少天(保留三位有效数字)． 答案　(1)   (2)355 解析　(1)假设地球的质量为M，月球的质量为m，万有引力提供向心力： 在地球表面质量为m0的物块： 解得： (2)相继两次满月，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多： 因为：; 联立方程解得： 根据题意一年为： 课时作业练 基础对点练 1.(2023·江苏海安市高三检测)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接；飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接，飞船在完成对接后与在停泊点时相比(　　) A．线速度增大 B．绕行周期增大 C．所受万有引力增大 D．向心加速度增大 答案　B 解析　飞船绕地球稳定运行时，万有引力提供向心力，有＝m＝mr＝F万＝man，解得v＝，T＝，an＝，依题意，飞船从停泊点到完成对接属于从低轨到高轨，即轨道半径增大，可知线速度减小，周期增大，所受万有引力减小，向心加速度减小，故A、C、D错误，B正确． 2.(多选)关于地球同步卫星，下列说法正确的是(　　) A．它的周期与地球自转周期相同 B．它的周期、高度、速度大小都是一定的 C．它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的 D．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空 答案　AB 解析　地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，A正确；根据G＝m＝mr可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，B正确，C错误；我国发射的同步通信卫星不可以定点在北京上空， D错误。 3.设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A．质量 B．向心力大小 C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小 答案　C 解析　根据G＝man，可得an＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不相同。故选C。 4.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　该星球的第一宇宙速度满足G＝m，在该星球表面处万有引力等于重力，则有G＝m，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝，则该星球的第二宇宙速度v2＝×＝，故A正确． 5.(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是(　　) A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1° B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 答案　A 解析　因为“夸父一号”轨道要始终保持太阳光能照射到，则在一年之内转动360°，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题干信息不能求出日地间平均距离，故D错误。 6.如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是(　　) A．角速度关系为ωa＝ωb>ωc B．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac C．线速度的大小关系为vb>vc>va D．周期关系为Ta＝Tb>Tc 答案　C 解析　卫星c为地球同步卫星，所以Ta＝Tc，则ωa＝ωc；对于b和c，由万有引力提供向心力，有G＝mω2r，得ω＝，因为rb<rc，可知ωc<ωb，即ωb>ωc＝ωa，A错误．因a、c有相同的角速度，由a＝ω2r得aa<ac；对b和c，由万有引力提供向心力，有G＝ma，得a＝，因为rb<rc，可知ab>ac，即ab>ac>aa，B错误．因a、c有相同的角速度，由v＝ωr可知va<vc；对b和c，由万有引力提供向心力，有G＝m，得v＝，因为rb<rc，可知vb>vc，即vb>vc>va，C正确．对b和c，由万有引力提供向心力，有G＝mr，得T＝2π，因为rb<rc，可知Tc>Tb，即Ta＝Tc>Tb，D错误． 7.(多选)(2023·北京市海淀区期中)我国航天事业处于世界领先地位。我国自行研制的风云二号气象卫星和神舟号飞船都绕地球做匀速圆周运动。风云二号离地面的高度是36 000 km，神舟号飞船离地面的高度是340 km。以下说法中正确的是(　　) A．它们的线速度都大于第一宇宙速度 B．风云二号的向心加速度小于神舟号飞船的向心加速度 C．风云二号的线速度大于神舟号飞船的线速度 D．风云二号的周期大于神舟号飞船的周期 答案　BD 解析　根据万有引力提供做圆周运动的向心力有＝m＝ma＝mr，可得v＝，a＝，T＝。因为第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，由v＝知它们的线速度都小于第一宇宙速度，且轨道半径大的线速度小，故A、C错误；由a＝知轨道半径大的向心加速度小，故B正确；由T＝知轨道半径大的周期大，故D正确。 8.(多选)(2023·河南开封市期末)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是(　　) A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aC<aB B．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星A C．经过时间，卫星A与卫星B又一次相距最近 D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度 答案　AC 解析　根据G＝ma，得a＝G，由题图可知rA＝rC>rB，则aA＝aC<aB，A正确；卫星C向后喷气加速做离心运动，不能追上同轨道的卫星A，B错误；根据t＝2π，卫星A与卫星B又一次相距最近经过的时间为t＝，C正确；第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误。 9.(2023·黑龙江大庆市模拟)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，至此北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成．北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)以及中圆地球轨道(MEO)，如图所示．以下关于北斗导航卫星的说法中，正确的是(　　) A．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相等 B．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度 C．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方 D．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度 答案　A 解析　卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为r，卫星运行的速度大小为v，引力常量为G；根据万有引力定律及物体做圆周运动的规律有G＝m，得v＝，由于地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道半径相等，故两卫星的运行速度大小相等，A正确；根据万有引力定律及牛顿第二定律，有G＝ma，得a＝G，中圆轨道卫星的运行轨道半径小于地球静止轨道卫星的运行轨道半径，故中圆轨道卫星的加速度大于地球静止轨道卫星的加速度，B错误；倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C错误；近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，题中三种卫星运行轨道半径均大于近地卫星，由v＝可知，三种卫星的运行速度均小于第一宇宙速度，D错误． 10.(2024·广西南宁市模拟)2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第56颗北斗导航卫星。该卫星属地球静止轨道卫星，是唯一一颗高轨备份卫星。图为其绕地球运行的示意图，测得该卫星在t时间内沿顺时针从A点运动到B点，这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则该卫星运动的(　　) A．线速度大小为 B．周期为T＝ C．向心加速度大小为 D．轨道半径为 答案　B 解析　由T＝和ω＝得T＝，故B正确；由万有引力提供向心力有G＝m()2r，又v＝ωr，G＝mg，联立解得v＝，r＝，故A、D错误；由a＝ω2r，ω＝，r＝，联立解得a＝，故C错误。 能力提升练 11.(多选)(2022·辽宁卷·9)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动．在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则(　　) A．水星的公转周期比金星的大 B．水星的公转向心加速度比金星的大 C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm D．水星与金星的公转线速度之比为∶ 答案　BC 解析　根据万有引力提供向心力，有G＝mR＝ma，可得T＝2π，a＝，由题图可知，水星的公转半径比金星的小，故水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为R水、地球的公转半径为R地，当α角最大时有sin αm＝，同理可知有sin βm＝，所以水星与金星的公转半径之比为R水∶R金＝sin αm∶sin βm，故C正确；根据G＝m，可得v＝，结合前面的分析可得v水∶v金＝∶，故D错误． 12.(2023·湖北省荆州中学模拟)设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯缓慢直通太空站．图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系．关于相对地面静止且在不同高度的宇航员，下列说法正确的有(　　) A．随着r增大，宇航员的角速度增大 B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径 C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度 D．随着r增大，宇航员对太空舱的压力增大 答案　B 解析　宇航员站在“太空电梯”上，相对地面静止，故角速度与地球自转角速度相同，在不同高度角速度不变，故A错误；当r＝r0时，引力加速度正好等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，若宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的同步卫星，即r0为地球同步卫星的轨道半径，故B正确；宇航员在r＝R处时在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度远小于第一宇宙速度，故C错误；宇航员乘坐太空舱在“太空电梯”的某位置时，有－FN＝mω2r，其中FN为太空舱对宇航员的支持力，大小等于宇航员对太空舱的压力，则F压＝FN＝－mω2r＝ma引－ma向＝m(a引－a向)，其中a引为地球引力对宇航员产生的加速度大小，a向为地球自转而产生的向心加速度大小，由题图可知，在R≤r≤r0时，(a引－a向)随着r增大而减小，宇航员对太空舱的压力随r的增大而减小，故D错误． 尖子选拔练 13.(多选)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示．已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是(　　) A．卫星A的加速度大于卫星B的加速度 B．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度为 答案　ACD 解析　卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r，则有G＝，解得v＝，故半径越小，线速度越大，因为卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故rA<rB；由G＝ma，解得a＝G，因为rA<rB，所以aA>aB，A正确．第二宇宙速度是卫星摆脱地球引力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速度时，卫星不能绕地球做匀速圆周运动，B错误．由题图可知rA＋rB＝5r，rB－rA＝3r，联立可得rA＝r，rB＝4r，由题图可知每隔时间T两卫星距离最近，设A、B的周期分别为TA、TB，则有(－)T＝2π，由开普勒第三定律有＝，联立可得TA＝T，TB＝7T，由G＝mBrB，故地球质量为M＝，C正确．第一宇宙速度是最大的运行速度，由G＝，可得v＝＝，D正确． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$