第5章 统计与概率 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 5 第五章素养检测 刷速度 2 建议用时：120分钟 1.[宁夏银川一中2023期中] 下面四个选项中，是随机现象的是( ) A A.守株待兔 B.水中捞月 C.流水不腐 D.户枢不蠹 3 解析 A为随机现象，B为不可能现象，C，D为必然现象.故选A. 2.[安徽亳州2024高一期末联考] 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七 百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六.凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算 数多少出之，何各几何？”意思是北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人.现要按人 数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从南乡征集的人数为( ) B A.128 B.130 C.132 D.134 5 解析 设从南乡征集人，则，解得 ，故选B. 6 3.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002, ， 699,700.从中抽取70个样本，下表提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开 始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( ) 3221183429 1223435677 8442125331 2345788907 3256780843 2253557832 A A.623 B.328 C.253 D.007 7 解析 从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数是253，第二个数是313，第三个数是457， 下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复，第四个数 是007，第五个数是328，第六个数是623.故选A. 8 4.[辽宁大连2024高一期末] 按先后顺序抛掷两枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况，记事 件第一次出现正面，事件第二次出现反面，事件两次都出现正面，事件 至少出现 一次反面，则下列说法错误的是( ) D A.与对立 B.与不互斥 C. D. 9 解析 设出现正面为1，出现反面为2. 由题意可知,，,，，,, ， 由 ，,,, ,知A正确; 由 ，知B正确; 由，， ， 得 ，知C正确; 由 ，知D错误. 10 5.设样本数据，，， ，，的平均数和方差分别为2和8，若 （为非零常数，，2，3， ，19，20），则，，， ，， 的平均数和标准 差分别为( ) B A.，32 B.， C.， D. ，32 11 解析 样本数据，，， ，，的平均数和方差分别为2和8， （为非零常数，，2，3， ，19，20），则，，， ，， 的平均数为 ，标准差为 .故选B. 规律方法已知，， ，的方差为，那么，， ，的方差为 . 12 6.[北京人大附中2024高一期末] 从定义域及值域均为的函数中随机选一个记为 ，则 的概率为( ) B A. B. C. D. 13 解析 ，即或即 单调递增或单调递减. 因为定义域及值域均为，所以,,的值可以对应为,,, , ,,故 共有6种情况. 其中单调递增的有1种，即,,，单调递减的有1种，即 , , ， 所以所求概率为 ，故选B. 14 7.是空气质量的一个重要指标,我国 标准采用世界 卫生组织设定的最宽限值,即日均值在 以下空气 质量为一级,在 之间空气质量为二级,在 以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日 日均值（单位: ）的统计数据,则下列叙述不正确的 是( ) C A.从5日到9日, 日均值逐渐降低 B.这10天中 日均值的平均数是49.3 C.这10天的 日均值的中位数是45 D.从这10天的日均值监测数据中随机抽出一天的数据,空气质量为一级的概率是 15 解析 由题图可知从5日到9日, 日均值逐渐降低，故选项A正确; 由题图得平均数为 ，故选项B正确; 由题图可知这10天的数据从小到大排列为30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位数为 ，故选项C不正确; 由数据可知,这10天中日均值在以下的有4天，故空气质量为一级的概率是 ， 故选项D正确.故选C. 16 8.[湖南长沙2024高二入学考试] 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率 分别为，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则 的值 为( ) A A. B. C. D. 17 解析 在甲、乙、丙处投篮投中分别记为事件A，B，C，则,, ，可知恰 好投中两次为事件,, ， 故恰好投中两次的概率 ，解 得 ． 18 9.[辽宁沈阳2023高一期末] 某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45 人．甲就读于高一，乙就读于高二，学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列 说法正确的有( ) ABD A.应该采用分层抽样法抽取 B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人 C.乙被抽到的可能性比甲大 D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力 19 解析 易知应采用分层抽样法抽取，A正确； 由题意可得高一年级的人数为，高二年级的人数为 ，则高一年 级应抽取的人数为，高二年级应抽取的人数为 ，所以高 一、高二年级应分别抽取100人和135人，故B正确； 乙被抽到的可能性与甲一样大，故C错误； 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力，故D正确.故选 . 20 10.[山东淄博部分学校2023联考] 下列命题是真命题的有( ) BD A.分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为 ，如果抽取的甲个体数为9，则样 本容量为30 B.某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落 在区间 内的频率为0.4 C.甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为 ，则甲、乙两队全部队员体重的 平均数为67 D.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的 分位数为5 21 解析 对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，得样本容量为 ，故选项 A为假命题； 对于选项B：样本数据落在区间 内的有120，122，116，120，共4个，所以样本 数据落在区间内的频率为 ，故选项B为真命题； 对于选项C：甲、乙两队的人数之比为，则甲队队员在所有队员中所占比例为 ，乙队队 员在所有队员中所占比例为，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为 ， 故选项C为假命题； 对于选项D：将该组数据从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由 ， 则该组数据的 分位数是第9个数，该数为5，故选项D为真命题. 22 11.如图为某地区2006年 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该 折线图可知，该地区2006年 年( ) AD A.地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均 呈增长趋势 B.地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的 逐年增长速度相同 C.地方财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民 储蓄年末余额年平均增长量 D.城乡居民储蓄年末余额与地方财政预算内收入的 差额逐年增大 23 解析 由题图可以看出两条曲线均在上升，故选项A正确；题图中两曲线间隔越来越大，说明年 增长速度不同，差额逐年增大，故选项B错误，选项D正确；从题图中可以看出地方财政预算内 收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量，故选项C错误.故选 . 24 12.分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数 字之和为偶数的概率是__. 解析 从这4张卡片中随机抽取2张，共有，，，，， ，6种取法， 其中取出的2张卡片上的数字之和为偶数为， ，共2种，故取出的2张卡片上的数字之和 为偶数的概率是 . 25 13.[河南南阳六校2024高一期末] 为了解全校学生平均每年阅读多少本书，甲同学抽取了一个容 量为20的样本，并算得样本的平均数为5，方差为1；乙同学抽取了一个容量为10的样本，并算 得样本的平均数为4，方差为1.若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为30的样本， 则合在一起后的样本方差为___. 解析 依题意，合在一起后的样本平均数为 ， 故合在一起后的样本方差为 . 26 14.事件,,是互相独立的事件，若,,，则 __. 解析 设,, . 因为,, ， 所以解得故 . 27 15.（本小题满分13分）[浙江学军中学2023高二期中] 某学校有高中学生500人，其中男生300人， 女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，抽取一定的样本，并观测样本的指标值 （单位： ），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本的均值为165，方差为30. （1）如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总体的均值和方差各为多少? 【解】男、女的样本量按比例分配， 则总体的均值为 ， 总体的方差为 . 28 （2）如果已知男、女的样本量都是25，请计算总体的均值和方差各为多少? [答案] 男、女的样本量都是25， 则总体的均值为 ， 总体的方差为 . 29 16.[本小题满分15分）［江西景德镇一中2024高一月考] 某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分 别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件 产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据 检测结果按,,, 分组，得到如图所示的 频率分布直方图. （1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； 【解】甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为 . 30 （2）若产品的质量指数在 内，则该产品为优等品，现采用分层抽样的方法从甲、乙生产线 的样本中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取 的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率. [答案] 由题意可知甲生产线的样本中优等品有 件; 乙生产线的样本中优等品有 件. 则从甲生产线的样本中抽取的优等品有件，记为,,, ； 从乙生产线的样本中抽取的优等品有件，记为, . 从这6件产品中随机抽取2件的情况有,,,,,,,, , ,,,,, ，共15种， 其中符合条件的情况有,,,,,,, ，共8种. 故所求概率 . 31 17.（本小题满分15分）[黑龙江鸡西2024期末] 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否 达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位： ）记录下来并绘制出如 下折线图. 32 （1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数. 【解】甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数 . 乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数 . 33 （2）若轮胎的宽度在 内，则称这个轮胎是标准轮胎. [答案] 甲厂提供的这10个轮胎的宽度在 内的数据为195，194，196，194，196，195. （ⅰ）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率; [答案] 所选的轮胎是标准轮胎的概率 . （ⅱ）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标 准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. [答案] 计算得甲厂提供的10个轮胎中标准轮胎宽度的平均数为195，方差为 . 乙厂提供的这10个轮胎的宽度在 内的数据为195，196，195，194，195，195，计 算得平均数为195，方差为 . 由样本估计总体，两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差较小，所以乙厂的轮胎相对更好. 34 18.（本小题满分17分）[河南焦作2024高一期末] 甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、 乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为 ，假设甲、乙的射击相互独立. （1）求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率； 【解】根据相互独立事件的概率公式，可得一轮比赛中，两人均击中目标的概率为 . （2）求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率； [答案] 甲击中2次，乙击中1次的概率为 ， 甲击中1次，乙击中2次的概率为 ， 故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为 . 35 （3）若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就 结束，且乙比甲多击中目标1次的概率. [答案] 由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标， 若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为 . 若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为 ， 故所求概率为 . 36 19.（本小题满分17分）[四川成都2024高二月考] 某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上 摘下100个香瓜，称得其质量分别在，， （单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示. （1）在样本中，按分层抽样从质量在中的香瓜中随机抽取了 个香瓜，其中质量在 中的香瓜有6个，求 的值. 【解】按分层抽样的方法得，所以 . 37 （2）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）. [答案] 由频率分布直方图知，各区间频率依次为，，，， ， 这组数据的平均数 . 38 （3）某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本 估计总体，该种植园中大概有香瓜2万个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以5 元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香 瓜以5元/个收购.请分别计算两种方案获得的利润，并说明种植园选择哪种方案获利更多？ [答案] 方案①：由题意可知20 000个香瓜中： 200克的有 个， 300克的有 个， 400克的有 个， 500克的有 个， 600克的有 个，则以5元/500克收购获得利润为 元； 39 方案②：质量低于350克的香瓜有 个， 质量高于或等于350克的香瓜有 个， 则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购获得的 利润为 元. 因为 ， 所以该种植园选择方案②获利更多. 40 $$