第五章 概率与统计（复习讲义）数学人教B版高一必修第二册

该高中数学概率与统计单元复习讲义通过表格对比、分层梳理构建知识体系，涵盖数据收集、数字特征、统计图、随机事件等模块，用定义表格呈现抽样方法异同，用性质总结突出数字特征计算要点，清晰分布重难点如分层抽样比例、古典概型计数等内在联系。 讲义亮点在于“题型+解题技巧”设计，如分层抽样三步法（分层、定比、分配）培养运算能力，频率分布直方图四步法（读图、识型、提取、计算）发展数据观念。基础达标与能力进阶题组满足分层需求，教师可精准教学，学生能自主掌握统计推断与概率计算，提升用数学思维解决实际问题的能力。

第五章 概率与统计 复习要点 1．能根据总体特征选择抽样方法，完成基础数据收集。 2．会计算数字特征，能从各类统计图中提取关键信息。 3．能区分事件关系，掌握古典概型概率计算方法。 4．会运用独立事件公式，解决简单概率实际问题。 复习重难点 重点：统计：简单随机抽样、分层抽样的选择与应用；数字特征（众数、中位数等）计算；统计图（频率分布直方图、茎叶图等）信息提取。 概率：事件的互斥、对立、独立关系；古典概型判定与概率计算；独立事件概率公式应用。 难点：分层抽样比例计算；频率分布直方图中“频率=纵坐标×组距”的理解。 互斥与对立、独立事件的概念区分；古典概型样本点准确计数。 知识点 数据的收集 1.简单随机抽样 定义 设一个总体含有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 方法 抽签法 把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样 抽签法与随机数法 相同点 ①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②都是从总体中逐个不放回地进行抽取 不同点 ①抽签法比随机数法操作简单； ②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况 利用随机数法抽取个体时的注意事项： ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)． ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数． 2.分层抽样 ①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． ②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 要点速测 1.（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 知识点 数字特征 1.众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 2.极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 3.百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 要点速测 2．（多选）（25-26高一下·云南丽江·期末）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（    ） A．该样本的极差为5分 B．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C．该样本的分位数为8分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 知识点统计图 1.柱形图 柱形图也称为条形图，可以形象地比较各种数据之间的数量关系。 一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图的每一矩形都是 的。 2.折线图 一般地，如果数据随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示，当然，折线图也可以用在其他合适的情形中。 3.扇形图 扇形图也称为饼图、饼形图，它可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的 情况，扇形图中，每一个扇形的 以及 ，都与这一部分表示的数据大小成 。 4.茎叶图 1、定义：将所有两位数的十位数字作为 ，个位数字作为 ，茎相同者共用一个茎，茎按从小到达的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）. 2、一般地，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列。茎叶图也可以只表示一组数。 将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征。 3、茎叶图的有点与不足： （1）优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。 （2）不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便。 5.频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求 (即一组数据中最大值与最小值的差)； 第2步：决定组距与 ； 第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表； 第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示 与 的比值). 2.频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的 表示，且各小长方形的 的和等于1. 要点速测 3．（25-26高一下·吉林·期末）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（     ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D．按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 知识点有限样本空间与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在 条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是 的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中 一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集 任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 要点速测 4．7．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 知识点事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件 ,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 (或) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件 ,记作 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在 中,或者在 中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件 发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件 发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中 一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 要点速测 5．（25-26高一下·青海海东·期末）某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 知识点古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有 个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性 (简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 4.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有 要点速测 6．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 知识点相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 要点速测 7.（25-26高一下·北京丰台·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为的倍数”，则与的关系为（   ） A．相等 B．相互独立 C．互斥 D．互为对立 题型01 数据的收集 ▌例1 （多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 ▌迁移练1-1（25-26高一下·天津河东·阶段检测）下列调查方法的选择中，最合适的是（    ） A．了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C．了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D．某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 ▌迁移练1-2（25-26高一下·天津武清·阶段检测）期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（   ） A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是200 ▌迁移练1-3下列调查中，适宜采用抽样调查的是　　 A．调查某校一年级（3）班全体学生的身高情况 B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C．农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 ▌迁移练1-4（25-26高一下·陕西·期中）某地消防局从辖区内的50家餐饮店中抽调了15家，对其进行消防安全检查.在这个问题中，15是（   ） A．样本 B．样本量 C．个体 D．总体 ▌迁移练1-5（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 题型2 分层抽样 ▌例2 （多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【详解】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征. 选项D，和C同理. 解题技巧 分层抽样解题三步法： 分层：按特征（如年级、性别）将总体分成互不重叠的层。 定比：计算抽样比 = 样本容量 ÷ 总体容量。 分配：每层抽取数 = 该层个体数 × 抽样比。 关键提醒：各层抽样比必须相同，这是分层抽样的核心特征。做题时先找总人数和样本量算出抽样比，再逐层乘以各层人数即可。注意结果需为整数，若出现小数要检查题目数据或四舍五入要求。 ▌迁移练2-1（25-26高一下·云南昭通·期末）某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】A 【详解】由题意可得应抽取三年级的学生人数为(人). ▌迁移练2-2（25-26高一下·河北唐山·期末）某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（   ） A．400 B．300 C．250 D．200 【答案】A 【详解】由题意得，解得. ▌迁移练2-3（25-26高一下·广东广州·期末）某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】C 【详解】由条形统计图可知，演讲社团的人数为30，由扇形统计图可知， 演讲社团的人数占选取学生总人数的，所以选取的学生总人数为. 由扇形统计图可知，舞蹈社团和英语协会的人数占比均为， 所以舞蹈社团和英语协会的人数均为； 又由条形统计图可知，合唱社团的人数为70， 所以绘画社团的学生数为. ▌迁移练2-4（多选）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的步骤及抽样比计算公式即可判断ABC，根据分层抽样的定义及随机抽样的定义即可判断选项D. 【详解】由分层抽样可得，解得，故C正确. 则甲车间应抽取，故A正确. 乙车间应抽取，故B错误. 分层抽样属于概率抽样，随机抽样一般指简单随机抽样，二者概念不同，故D错误. ▌迁移练2-5（25-26高一下·宁夏银川·期末）某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人． 【答案】10 【分析】先计算三个年级总人数得到抽样比，再分别求出高一年级、高三年级的抽取人数，计算二者差值即可. 【详解】三个年级总人数为， 所以抽样比为， 因此抽取的高一年级学生人数为， 抽取的高三年级学生人数为， 故高一年级抽取人数比高三年级多(人). 题型3 统计图的分析 ▌例3 （25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【答案】D 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 解题技巧 统计图分析解题四步法： 读图：看清坐标轴含义（横纵轴分别代表什么）、单位及图例。 识型：判断图表类型——频率分布直方图看"面积=频率"；茎叶图看数据分布和集中趋势；折线图看变化趋势。 提取：关注关键信息，如最高/最低点、中位数、众数所在位置。 计算：频率分布直方图中，频率=小矩形面积=组距×频率/组距，各矩形面积之和为1。 易错点：纵轴常为"频率/组距"而非频率本身，切勿混淆。 ▌迁移练3-1（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. ▌迁移练3-2（25-26高一下·山东青岛·期末）小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据、整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（    ） A．月跑步里程最小值出现在2月 B．2月至6月的月跑步里程逐月增加 C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【详解】由折线图可知月跑步里程最小值出现在2月，故A正确，不符合题意； 2月至6月的月跑步里程逐月增加，故B正确，不符合题意； 9月至11月的月跑步里程最小值为20，则平均数大于20，故C正确，不符合题意； 1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，故D错误，符合题意． ▌迁移练3-3（25-26高三·全国·一轮复习）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【答案】A 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． ▌迁移练3-4（多选）（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单位：），绘制了如图所示的折线统计图，则（   ） A．这6天日平均气温的极差是 B．这6天日平均气温最高的是第5天 C．前5天的日平均气温持续升高 D．第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 【答案】ABD 【详解】由折线统计图可知这6天日平均气温的极差是，A选项正确； 这6天日平均气温最高的是第5天，B选项正确； 第3天的日平均气温比第2天的日平均气温低，第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高， C选项错误，D选项正确； ▌迁移练3-5（多选）（25-26高一下·贵州黔西南·期末）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则（　　）    A．该校女教师的人数为137 B．该校男教师的人数为123 C．该校女教师约占55% D．该校男教师约占47.3% 【答案】ABD 【分析】分别按对应比例计算男女教师总人数，用男女教师人数除以总教师数算出各自占比，逐一核对四个选项判断正误. 【详解】对于A：由题图可知该校女教师的人数为，A正确； 对于B：该校男教师的人数为，B正确； 对于C：该校女教师所占比例为，C错误； 对于D：该校男教师所占比例为，D正确. 题型4 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 ▌例4 （25-26高一下·天津滨海新区·期末）为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ）    A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 【答案】A 【详解】由于，解得，故D错误； 由于前三组累计频率为， 前四组累计频率为， 故中位数在第四组内，设中位数为， 则，解得，故A正确； 得分低于80分的频率为， 故样本中低于80分的人数大约为人，故B错误； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，故C错误． 解题技巧 三数选择与计算技巧： 众数：出现次数最多的数据，适合描述"最常见"情况（如最畅销尺码）。 中位数：排序后取中间值，不受极端值影响，适合收入、房价等偏态数据。 平均数：所有数据之和÷个数，利用全部信息但易受极端值干扰。 解题关键：审题判断用哪个"数"——问"一般水平"多用中位数，问"总体水平"用平均数，问"最常见"用众数。计算时注意先排序再找中位数，偶数个取中间两数的平均值。 ▌迁移练4-1（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）倡导中小学生学习践行“富强､民主､文明､和谐；自由､平等､公正､法治；爱国､敬业､诚信､友善”社会主义核心价值观这24个字，其中含有12组词，每组词的笔画数的和依次为，则这12个笔画数的众数是（    ） A．17 B．16 C．1 D．24 【答案】A 【分析】根据一组数据中出现次数最多的数值来确定众数即可. 【详解】题目中的数据依次为：， 因为：：各出现1次， ：出现2次， ：出现3次， 又因为出现的次数最多，所以这组数据的众数是. ▌迁移练4-2（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出的值，再结合中位数、众数、平均数的定义及计算公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为， 即， 解得，故A错误， 对于B选项，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内， 设中位数为，则， 解得，即估计样本的中位数为，故B错误， 对于C选项，在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边的中点值， 由图可知，最高矩形对应的区间为， 所以估计样本的众数为，故C正确， 对于D选项，估计样本的平均数为： ，故D错误. ▌迁移练4-3（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（    ） A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大 【答案】C 【详解】真实数据的平均数为，中位数为，无众数； 记错的数据的平均数为，中位数为，众数为; 所以平均数变大，中位数不变. ▌迁移练4-4（25-26高一下·福建三明·期末）成年人饮水量健康标准：连续5天，每日饮水量均不低于视为达标.现有甲、乙、丙三人连续5天的日饮水量的数据（数据均为正整数，单位：）：①甲：中位数17，众数15；②乙：中位数18，平均值17；③丙：含1个数据21，平均值17，方差4.4，其中一定达标的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先将连续5天的日饮水量设出，后根据数据的数字特征分析5个数据是否都不小于15即可. 【详解】设连续5天的日饮水量为，， 不妨设，则若，则达标. 对于甲：中位数17，则，，，众数15， 则，故甲达标； 对于乙：中位数18，则，，，平均值17， 则，，， 若， 满足中位数18，平均值17，但不达标，故乙不一定达标； 对于丙：平均值17，则， 因为含1个数据21，设数据为，则， 因为方差为4.4， 所以， 即， 又因为均为正整数，所以也是非负整数， 则只能由，即与17的差最小是， 故均不小于15，故丙达标. ▌迁移练4-5（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（    ） A．成绩落在区间的频率为0.03 B．这100名学生成绩的中位数为76.25 C．这100名学生成绩的众数为75 D．成绩低于60分的学生人数为5人 【答案】BCD 【详解】A选项：成绩落在区间的频率为，故A错误. B选项：成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率，故中位数在， 设中位数为，则，解得，故中位数为76.25， B正确. C选项：成绩落在区间的频率最大，故众数为75，C正确. D选项：成绩低于60分的频率为，其人数为，故D正确. ▌迁移练4-6（25-26高一下·河南开封·期末）某地连续8天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，则这8个数据的（    ） A．极差为7 B．众数为29 C．中位数为27.5 D．平均数为29 【答案】ABD 【详解】先将8个数据从小到大排列为：， 对于A：极差为最大值减最小值，即，故A正确； 对于B：29在数据中出现3次，出现次数最多，因此众数为29，故B正确； 对于C：中位数为第4个和第5个数据的平均数，即，故C错误； 对于D：平均数为，故D正确 题型5 极差、方差、标准差在具体数据中的应用 ▌例5 （多选）（25-26高一下·云南昭通·期末）小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的众数为9 B．这组数据的极差是4 C．这组数据的平均数是 D．这组数据的标准差是 【答案】ABD 【分析】依次计算该组数据的众数、极差、平均数、方差与标准差，逐项判断即可. 【详解】选项A：数据中9共出现3次，出现次数最多，因此众数为9，A正确. 选项B：数据最大值为10，最小值为6，极差为，B正确. 选项C：平均数，C错误. 选项D：方差，因此标准差，D正确. 解题技巧 波动分析解题技巧： 极差：最大值 - 最小值，反映数据波动范围，计算简单但只看两端。 方差：各数据与平均数之差的平方的平均值，衡量整体离散程度，值越大波动越大。 标准差：方差的算术平方根，与原始数据单位一致，更直观。 解题关键：三者都描述"波动大小"，值越小数据越稳定。比较两组数据稳定性时，优先用方差或标准差（极差只看极值不够全面）。计算方差时先求平均数，再逐项算偏差平方，最后取平均。 易错点：方差单位是原数据单位的平方，标准差才与原数据单位相同。 ▌迁移练5-1（26-27高一上·河南·开学考试）某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出，两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下： 口味 顾客 顾客 顾客 顾客 顾客 关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】直接由平均数及方差的定义分别计算，再比较大小可得. 【详解】由题意有：，，所以. 又因为， ， 所以，因此，. ▌迁移练5-2（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的方差为（    ） A．134 B．132 C．128 D．112 【答案】A 【分析】先求90名同学成绩的总体平均数，再利用方差分解公式，把每个班的组内离差平方和与两个班平均数相对总体平均数产生的组间离差平方和相加. 【详解】设一班：，二班：， 则90名同学成绩的总体平均数为：， 因为， 所以这90名同学成绩的方差为： ， 所以这90名同学本次测验成绩的方差为，故选项A正确. ▌迁移练5-3（25-26高一下·安徽淮北·期末）若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】原数据方差为， 则新数据方差为. ▌迁移练5-4（多选）（25-26高一下·湖北襄阳·期末）已知一组样本数据，，的标准差为3，则（     ） A．，，不可能都相等 B．，，的标准差也为3 C．，，的平均数有最小值 D．，，的平均数有最小值 【答案】AD 【分析】根据样本数据的平均数、方差和标准差的公式逐一分析选项即可求解. 【详解】已知原样本标准差，因此原样本方差， 对于选项A，若所有数据都相等，方差为，标准差为，与已知标准差为矛盾，因此这三个数不可能都相等，A正确； 对于选项B，根据方差性质：若新数据为，则新方差为，新标准差为；因此本题中新标准差为，B错误； 对于选项C，设样本平均数为，举例：令，可算得方差为，满足标准差为， 此时平均数，可以无限小，因此平均数没有最小值，C错误； 对于选项D，由方差公式展开：， 整理得：，当时取到最小值，因此平方的平均数存在最小值，D正确. 题型6 百分位数在具体数据中的应用 ▌例6 （25-26高一下·贵州遵义·期中）数据：的第百分位数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题知共个数据，又， 所以的第百分位数为. 解题技巧 求解百分位数应用问题的策略如下： 排序：将数据按从小到大排列。 定位：计算索引 i = n×p%（n为数据个数，p为百分位）。若i为整数，取第i项与第i+1项的平均值；若非整数，向上取整取对应位置的值。 解读：结合题意理解百分位数的实际含义，如"第p百分位数表示有p%的数据不超过该值"。 应用：用于比较个体在群体中的相对位置、划分等级或识别异常值等场景。 ▌迁移练6-1（25-26高一下·广东深圳·期末）数据12，8，10，15，11的第60百分位数为（     ） A．11 B．11.5 C．12 D．10 【答案】B 【分析】将数据从小到大排列后，由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为此组数据即为，一共有个数据，且， 所以此组数据的第60百分位数为第、这两个数的平均数，即为. ▌迁移练6-2（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（    ）    A． B．众数是 C．中位数是 D．第百分位数是 【答案】ABD 【分析】利用频率分布直方图中矩形面积等于该组频率，且所有矩形面积总和为1的性质，通过计算累积频率来逐一求解各选项即可. 【详解】，解得，故A正确， 最高的矩形对应的区间是，该区间的中点值为，故B正确， 的频率为，的频率为， 的频率为，， 因为，所以中位数一定落在下一个区间内， 设中位数为，则，解得，故C错误， 由上知前2组的累积频率为，前3组的累积频率为， 所以第百分位数落在区间内， 设第百分位数为，则，解得，故D正确. ▌迁移练6-3（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数_______. 【答案】2 【详解】由，得1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数为. ▌迁移练6-4（25-26高一下·广东深圳·期末）为了解高一学生使用错题整理工具的情况，学校随机抽取了200名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求使用时长在内的学生人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计这200名学生单次使用时长的平均数和第80百分位数； 【答案】(1)40；； (2)平均数为32.25；第80百分位数为37.5 【分析】（1）根据频率与频数的关系求使用时长在内的人数，利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出的值； （2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第80百分位数所在区间，再计算第80百分位数. 【详解】（1）由题意可知，使用时长在内的频率为， 故使用时长在内的学生人数为. 由图可得：， 解得； （2）由（1）知，则平均数为 ， 前三组的频率和为， 前四组的频率和为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 题型7 频率分布直方图的相关计算 ▌例7 （25-26高一下·安徽淮北·期末）某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．已知样本中的人数为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．估计该样本数据的平均数为74 D．估计全校社会实践时间在及以上的学生有180人 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质计算可得A；根据频率、频数与总数的关系可得B；借助平均数定义计算可得C；根据样本中的数据可估算全校数据，计算即可得D． 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由样本中的人数为人，结合频率分布直方图得，解得，故B正确； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，因为全校社会实践时间在分钟以上的频率为， 所以全校社会实践时间在分钟以上的学生约为，故D不正确． ▌迁移练7-1（25-26高一下·北京丰台·期末）为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动．在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长（单位：分钟），并将所得的数据按照、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图（假设每个组内的数据在组内均匀分布）：若该校共有名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是（   ） A．该校日均通勤时长在分钟以内的学生数超过 B．该校日均通勤时长不少于分钟的学生数约为 C．该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数 D．该校学生日均通勤时长的第百分位数约为 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长在分钟以内的学生人数，可判断A选项；利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长不少于分钟的学生人数，可判断B选项；利用平均数公式和中位数的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，该校日均通勤时长在分钟以内的学生数为，故A错误； 对于B选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得， 所以该校日均通勤时长不少于分钟的学生数为人，故B错误； 对于C选项，该校学生日均通勤时长的平均数为， 数据落在的频率为， 数据落在的频率为， 设中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得， 所以该校学生日均通勤时长的平均数小于中位数，故C错误； 对于D选项，设第百分位数为，由C选项可知， 由百分位数的定义可得，解得，故D正确. ▌迁移练7-2（多选）（25-26高一下·河南信阳·期末）中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（   ） A．频率分布直方图中m的值为0.010 B．在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人 C．根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分 D．如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出的值，即可判断A；求出成绩在内的频率，乘以总人数即可判断B；根据上四分位数的定义，结合频率分布直方图计算即可判断C；求出90分以上的频率即可判断D. 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，，解得，故A正确； 选项B：成绩落在区间内的频率为，所以人数为人，故B正确； 选项C：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以上四分位数为分，故C正确； 选项D：90分以上的频率为，估计有的学生获得一等奖，故D错误. ▌迁移练7-3（多选）（25-26高一下·河南郑州·期末）1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（   ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D．估计这200名学生成绩的众数为78 【答案】ABC 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A：因为 ，可得，故A正确； 对于B：前三组的频率和为 ， 所以这200名学生成绩的第60百分位数为80，故B正确； 对于C：总体中成绩落在内的学生人数为，故C正确． 对于D：因为的频率最大，所以这200名学生成绩的众数为75，故D错误； ▌迁移练7-4（25-26高一下·陕西咸阳·期末）学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）频率和为，得； （2）成绩在的频率为，成绩在的频率为，， 所以获奖分数线在区间内，设为， 则，得， 所以估计获奖分数线为. 题型8 用样本平均数和样本方差估算总体 ▌例8 （25-26高一下·广东广州·期末）某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（    ） A．女生样本容量为2000 B．每个男生被抽入到样本的概率均为 C．所有样本的均值为166cm D．所有样本的方差为 【答案】CD 【分析】分层抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个男生被抽入到样本的概率判断A、B；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D. 【详解】由题可知：男生身高样本均值，方差； 女生身高样本均值，方差. A：由人，故A错误； B：由人，故每个男生被抽入到样本的概率为，故B错误； C：所有样本的均值为，故C正确； D：所有样本的方差故D正确. ▌迁移练8-1（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期末）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的总样本平均数、总样本方差的计算公式，分别求解对应数值后判断选项即可. 【详解】 选项AB：总样本平均数为各层平均数按样本量权重加权的结果，计算得，故A正确，B错误； 选项CD：分层随机抽样总样本方差为 ，故C正确，D错误. ▌迁移练8-2（多选）（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（     ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的中位数为5 B．若一组样本数据的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【分析】A，通过中位数的定义求解.B，通过对a分类讨论判断极差来求解a的范围.C，通过方差的性质求解.D，通过总体平均值和方差的计算方法求解. 【详解】选项A，，所以中位数为第个和个数和的一半，，错误. 选项B，若，极差为，解得，矛盾. 若，极差为，解得，矛盾. 若，则极差为，符合条件.所以，正确. 选项C，因为，通过方差的性质可知，，正确. 选项D，由题意可知，，，，， 所以，，正确. ▌迁移练8-3（多选）（25-26高一下·广东东莞·期末）某学校高一年级有男生640人，女生360人．为获取该校高一学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为175，方差为36，女生样本的均值为165，方差为36．如果已知男、女样本量按比例分配时，总样本均值为171.4，方差为59.04．如果已知男、女的样本量都是50，则下列说法正确的是（    ） A．总样本的均值小于171.4 B．总样本的均值大于171.4 C．总样本的方差小于59.04 D．总样本的方差大于59.04 【答案】AD 【分析】先根据男女生各50的样本量计算总样本均值，再利用分层抽样总方差公式计算当前总方差，与题干给出的按比例分配的均值、方差比较即可判断选项. 【详解】总样本均值，，故A正确；B错误； 分层总方差，，故C错误；D正确. ▌迁移练8-4（2026·陕西咸阳·三模）人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（    ） A．学生数字素养得分的众数约为75 B．学生数字素养得分的中位数约为76.43 C．学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D．学生数字素养得分的平均数约为76.4 【答案】ABD 【分析】根据众数，中位数，百分位数，平均数的定义，结合频率分布表计算即可. 【详解】对于A，学生数字素养得分的众数约为，故A正确； 对于B，因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的中位数约为，故B正确； 对于C，因为， 所以第75百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的第75百分位数约为，故C错误； 对于D，学生数字素养得分的平均数约为 ，故D正确. 故选：ABD. 题型9 事件关系的判断 ▌例9 （25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”， 事件为“甲未中奖”，事件为“乙未中奖”， 事件“至少有一人中奖”，表示“甲中奖乙未中奖”或者“乙中奖甲未中奖” 或者“甲乙同时中奖”； 对选项A，表示事件和事件同时发生，即“甲乙同时中奖”，故A错误； 对选项B，表示事件或事件发生，即至少有一人中奖，故B正确； 对选项C，表示事件和事件同时发生，即“甲乙都未中奖”，故C错误； 对选项D，表示事件和事件同时发生，即“甲中奖且乙未中奖”，故D错误. ▌迁移练9-1（25-26高一下·河南安阳·阶段检测）甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由并联电路性质得电路故障为甲，乙两个元件同时发生故障． ∴表示电路故障的事件为． ▌迁移练9-2（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. ▌迁移练9-3（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. ▌迁移练9-4（多选）（25-26高一下·广东东莞·期末）记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与互斥 D． 【答案】AD 【详解】设样本空间为 对于A：因为事件，互斥，则. 可得，所以是必然事件，故A正确； 对于BC：因为， 可知当且仅当，即事件，对立时，， 但题干中并没有说明，不一定是不可能事件，即与不一定互斥， 故选项BC不一定正确； 对于D：因为，所以，故D正确. ▌迁移练9-5（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 【答案】/ 【分析】根据随机事件的包含关系可得，直接代入的取值即可求解.或根据也可求解. 【详解】已知随机事件满足，则,； 方法1：由并事件的等价性，直接得; 方法2：对任意随机事件，有， 代入、、， 得. 题型10 简单古典概型的计算 ▌例10 （25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）将笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的有只， 由古典概型的概率公式可知所求概率为. 解题技巧 古典概型求解策略如下： 判断条件：确认试验满足有限性（样本空间有限）和等可能性（每个基本事件概率相等）。 列举样本空间：用列举法、树状图或列表法，列出所有等可能的基本事件总数n。 确定目标事件：找出满足条件的事件A所包含的基本事件数m。 代入公式：P(A) = m/n。 关键点：不重不漏地计数是核心，注意区分"有序"与"无序"选取方式。 ▌迁移练10-1（25-26高一下·福建福州·期末）某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率. 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. ▌迁移练10-2（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，因此抛掷两枚骰子共有36个样本点．一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍有，，，，，，共6个样本点，因此一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是． ▌迁移练10-3（25-26高一下·甘肃白银·期末）从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为． ▌迁移练10-4（25-26高一下·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定三个数之积为偶数的样本总数，再从中筛选出和不超过8的样本数，结合古典概型公式计算条件概率. 【详解】首先，从1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，共有种组合，分别为：、、、、、、、、、。 若三个数之积为偶数，则排除三个数全为奇数的情况，仅需排除这1种，因此满足“积为偶数”的样本共9种。 在上述9种样本中，逐一计算三数之和： 和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求 ；其余样本的和均大于8，共4种符合要求的样本， 根据古典概型概率公式，所求概率为 ▌迁移练10-5（25-26高一下·河北石家庄·期末）算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用横式，十位用纵式，则个位和十位上的算筹根数都是奇数的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分步算出所有不含 的两位数总个数、个位十位均为奇数的两位数个数，再用古典概型概率公式求解. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，个位用横式，十位用纵式，共可以摆出个两位数， 其中个位和十位上的算筹都从1，3，5，7，9中选，共种， 所以个位和十位上的算筹根数都是奇数的概率为. 题型11 互斥与对立计算概率 ▌例11 （25-26高一下·广西河池·期末）已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（   ） A．0.9 B．0.6 C．0.56 D．0.5 【答案】B 【分析】先利用对立事件的概率性质求出，再结合互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互为对立事件，根据对立事件的概率性质，可得： ，又因为与是互斥事件， 根据互斥事件的概率加法公式，有：， 代入、，计算得：. ▌迁移练11-1（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. ▌迁移练11-2（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 【答案】B 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义即可. 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. ▌迁移练11-3（25-26高一下·山东青岛·期末）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【详解】因为与对立，且，所以， 因为与互斥，且，所以 ▌迁移练1-4（25-26高一下·新疆喀什·期末）一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 题型12 事件独立性的判断 ▌例12 （25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（   ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. ▌迁移练12-1（25-26高一下·山东枣庄·期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则（   ） A．A与C互斥 B．B与C对立 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A，由事件A与C有相同的基本事件，否定结论；对于B，由事件B与C有相同的基本事件，否定结论；对于C，事件B中存在基本事件不在事件A中，否定结论；对于D，利用公式法判断. 【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有： . 其中事件A包括：. 事件B包括：. 事件C包括：. 对于A，事件A与事件C有相同的事件，， 故A与C互斥不成立，选项A错误； 对于B，事件B与事件C有相同的事件，， 故B与C对立不成立，选项B错误； 对于C，事件B中的样本点显然不在事件A中，选项C错误； 对于D，，，， 因为两个事件的发生与否互不影响，且， 所以事件与事件相互独立，选项D正确. ▌迁移练12-2（25-26高一下·湖南长沙·期末）掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与不互斥 D．与相互独立 【答案】B 【分析】由事件的相互关系及独立性进行判断． 【详解】显然与互斥且对立，故B项正确，AC都是错误的； 对于D项，，则， 得与不独立，故D项错误． ▌迁移练12-3（25-26高一下·湖南长沙·期末）柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（    ） A． B．与独立 C．与对立 D．与互斥 【答案】B 【分析】通过列举法写出试验的样本空间， 再逐一判断选项即可. 【详解】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为 ， 则， ， ，故，故A，C，D错误； 而，所以， 又，， 因此有，故与独立，B正确． ▌迁移练12-4（25-26高一下·山东泰安·期末）先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是（   ） A．甲与丙 B．甲与丁 C．乙与丙 D．丙与丁 【答案】B 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，总的样本空间有个等可能结果. 第一次的点数为奇数有1，3，5共3种等可能结果，故， 第二次的点数为偶数有2，4，6共3种等可能结果，故， 两次点数之和为8有共5种等可能结果，， 两次点数之和为7有共6种等可能结果，， 对于A，第一次为奇数，两次和为8有共2种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丙不相互独立，故A错误； 对于B，第一次为奇数，两次和为7有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丁相互独立，故B正确； 对于C，第二次为偶数，两次和为8有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以乙与丙不相互独立，故C错误； 对于D，两次和为8与两次之和为7不会同时发生，故， 又， 所以，所以丙与丁不相互独立，故D错误. ▌迁移练12-5（25-26高一下·广东湛江·期末）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，记事件A为“第一次正面朝上的点数为2”，事件B为“两次正面朝上的点数之和为6”，事件C为“第二次正面朝上的点数为偶数”，事件D为“两次正面朝上的点数之和为9”，则（   ） A．A与B相互独立 B．A与D相互独立 C．C与D相互独立 D．B与C相互独立 【答案】C 【分析】根据事件独立性定义，分别计算各选项中与的值并比较，从而确定各选项中事件是否相互独立. 【详解】根据题意得，，， ，， 对于A，，，故A错误， 对于B，，，故B错误， 对于C，，， 满足，故C正确， 对于D，，，故D错误． 题型13 独立事件概率的计算 ▌例13 （25-26高一下·广东广州·期末）已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 【答案】C 【分析】根据对立事件定义、集合包含关系、互斥事件概率公式、相互独立事件的概率公式逐项判断各选项正误. 【详解】选项 A ：互为对立事件的充要条件为两事件交集为空集且并集为样本空间， 仅无法推出B与C互为对立事件，故A错误； 选项B ：若，则， 因此，故B错误； 选项C ：若A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式， 可得，故 C正确； 选项D：若A与B相互独立，则A与也相互独立，， 因此，故D错误. 解题技巧 独立事件概率求解技巧如下： 判断独立性：确认各事件互不影响，即一个事件的发生不改变另一事件的概率。 乘法法则：多个独立事件同时发生的概率 P(A∩B) = P(A)×P(B)，可推广至多个事件。 对立转化：求"至少一个发生"时，用 P = 1 - P(全部不发生)，简化计算。 分步拆解：将复杂问题分解为若干独立子事件，分别求概率后相乘。 易错点：独立≠互斥，互斥事件不可能同时发生，而独立事件可以同时发生。 ▌迁移练13-1（25-26高一下·山东青岛·期末）已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 【答案】A 【分析】利用相互独立事件与和事件的概率公式计算求解. 【详解】因为随机事件相互独立，， 所以，， 所以. ▌迁移练13-2（25-26高一下·湖南岳阳·期末）事件、相互独立，若，，则为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率公式直接求解即可. 【详解】由事件、相互独立，则. ▌迁移练13-3（25-26高一下·陕西西安·期末）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】没有反面向上的概率， 所以至少一枚反面向上的概率. ▌迁移练13-4（25-26高一下·安徽六安·期末）已知两个随机事件相互独立，，则（     ） A．0.6 B．0.72 C．0.84 D．0.9 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为事件相互独立， 所以， 所以． ▌迁移练13-5（25-26高一下·福建福州·期末）已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】D 【分析】利用对立事件的定义、事件包含关系的概率性质、独立事件的概率运算规则即可. 【详解】. 对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误； 对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确. 难点一 根据数据特征求参数 根据数据特征求参数问题主要分为以下几类： 一、已知均值/方差反求未知数据 策略：利用均值公式 或方差公式列方程求解未知数。 二、已知百分位数/中位数求参数 策略：先将数据排序，根据百分位数定义确定对应位置，结合已知条件列方程。 三、频率分布直方图求参数 策略：利用"各矩形面积之和为1"求频率/组距；用组中值估计均值 x̄ = Σ(组中值×频率)。 四、数据变换后求新统计量 策略：若每个数据变为 ax+b，则新均值 = a·x̄+b，新方差 = a²·s²。 通用步骤：明确已知量与未知量 → 选择对应公式 → 列方程求解 → 验证合理性。 核心提醒：审题时注意区分"总体"与"样本"，以及数据是否经过分组处理。 难点精练 1．（25-26高一下·河南郑州·期末）已知一组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，，18，20，20，若该组数据的分位数是16，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【详解】该组数据共个，则. 已知分位数为，因此，解得. 2．（2026·重庆万州·模拟预测）若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案. 【详解】，，，这组样本数据的平均数为3，可得 ，则， 新增一个数据3后，数据变为 ， 则新数据的平均数为 ， 已知原数据 的方差为 2 ，根据方差公式可得 ， 则， 所以新数据的方差为，, 则 ，化简可得 ，解得. 3．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是，若去掉某个数据后，平均数不变，方差变为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为，根据方差列出关于的方程即可求解. 【详解】已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是， 所以，， 所以数据总和为且， 设去掉的数据为，则数据总和为，因为新平均数仍为，所以，解得， 因此，所以新方差为，解得，故C正确. 二、多选题 4．（25-26高一下·河南郑州·期末）一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】不妨设，再根据数据平均数、方差、极差和中位数的定义可求出. 【详解】因为数据的平均数为5，方差为2，极差为7，不妨设， 则，的平均数为，故A错误； 方差为，故B正确； 极差为，故C错误； 若为偶数，则的中位数为，即， 的中位数为； 若为奇数，则的中位数为， 的中位数为； 故D正确. 5．（25-26高一下·陕西·期末）一组样本数据，，，…，，其平均数、方差、极差、下四分位数分别记为，，，.由这组数据得到一组新样本数据，，，…，，其中，其平均数、方差、极差、下四分位数分别记为，，，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】不妨设，再利用平均数定义、方差性质、极差定义与百分位数定义逐项计算并判断即可. 【详解】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B正确； 对C：，，故C错误. 对D：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故D正确. 三、填空题 6．（24-25高一下·山东青岛·期末）对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为______. 【答案】 【分析】分是否为整数求出，根据在区间中的样本数据有且只有13个，取得的范围，然后验证可得. 【详解】不妨假设，用表示不超过的最大整数. 若为正整数，即为正整数，则是5的倍数，此时必是正整数， 则， 则在区间的数据为， 所以，解得； 若都不是正整数，则， 则在区间的数据为， 所以，则， 解得. 综上，的可能取值有. 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 故的可能取值有，. 故答案为： 7．（25-26高一下·河南·阶段检测）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 【答案】 【分析】先利用平均数公式求得的值，再结合方差公式得到的值，最后通过完全平方公式的变形求出. 【详解】由题意，，整理得，解得， 又因为，化简为，即， 设，，则，且， 由完全平方公式，代入得，解得， 再由，代入得： ，故， 因此. 难点二 概率统计在实际问题中的应用 高中数学必修二概率统计在实际问题中的应用，核心解题策略是“数学建模”。 常见题型包括：整体估计（如用频率估计概率、标记重捕法估算总量）、社会调查（如敏感问题调查、游戏公平性判断）以及决策问题（如方案优劣比较）。 解题时，首先需剥离现实场景，提取核心变量；其次精准匹配模型，如古典概型、独立事件；接着规范列式运算，注意区分放回与不放回抽样；最后回归实际，结合特征数进行科学决策与验证。 难点精练 1．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率）    (1)求n的值及频率分布直方图中的t值； (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； (3)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 【答案】(1)人， (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解即可， （2）由分层抽样与对立事件的概率公式可求解． （3）利用互斥事件的概率加法公式与独立事件概率乘法公式可求解. 【详解】（1）由已知条件可得（人），，； （2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在的人数的， 故抽取的三人中调查评分在内的有1人，调查评分在内的有2人． 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到“良好”的概率为， 所以经过心理疏导后，至少有1人心理等级转为“良好”的概率； （3）在调查评分在的市民中随机抽取1人，其来自调查评分在内的概率为， 来自调查评分在内的概率为，该人转化为“良好”的概率为， 抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 2．（25-26高一下·北京东城·期末）为提升城市主干路通行效率，某交通管理部门计划为辖区内一条城市主干路优化红绿灯配时．该主干路由若干个单位路段（即相邻两个红绿灯路口之间的道路段）构成，现选取这条主干路的一个单位路段作为样本路段进行研究．从早高峰期间途经该样本路段的小型汽车中随机抽取1000辆，记录其通行时长（单位：秒），并将收集的数据分成7组，得到如下的频率分布直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在（单位：秒）的车辆数； (2)根据《城市交通运行状况评价规范》国家标准，若在某一时段，路段内通行时长超过理想状态下通行时长1.2倍的车辆占比超过；则可认为该路段在这一时段为拥堵路段．已知该样本路段理想状态下通行时长为58秒，判断该样本路段是否为早高峰拥堵路段，并说明理由； (3)为确定沿线红绿灯配时，现需预设该样本路段早高峰的基准通行时长（单位：秒）．若交管部门计划早高峰期间至少半数车辆在该样本路段通行时长不超过，请判断能否以收集数据的平均数作为基准通行时长，并说明理由． 【答案】(1)320 (2)该样本路段是早高峰拥堵路段，理由为：由已知，得理想状态下通行时间的1.2倍为：． 由频率分布直方图，知区间和区间对应的频率／组距分别为0.028和0.004， 因此，通行时长超过70秒的车辆所占频率为． 所以通行时长超过理想状态下通行时间的1.2倍（69.6秒）的车辆占比大于0.32． 因为， 所以该样本路段是早高峰拥堵路段 (3)不能以作为基准时长．理由如下： 因为频率分布直方图在左边“拖尾”，所以平均数小于中位数， 若以作为基准时长，那么有超半数的车辆通行时长大于， 即在该样本路段通行时长不超过的车辆不到半数． 所以不能以作为基准时长． 能以作为基准时长．理由如下： 的估计值为：． 当通行时长在时，频率为． 当通行时长在时，频率为， 由上可知中位数在区间内． 设中位数为，则，解得，所以中位数为64.375． 由于64.375与62.6比较接近，又因为样本具有随机性， 所以可以以作为基准时长． 【分析】（1）由频率直方图读出区间频率/组距，乘组距得频率，再乘样本容量得频数； （2）先计算理想时长1.2倍阈值，统计超阈值车辆占比，与30%标准比较判断是否拥堵； （3）若以平均数作为基准，因直方图左偏，平均数小于中位数，则超过半数车辆大于平均数，不满足“至少半数不超过”的条件，故不能；若仅从数值近似角度，当平均数与中位数相差不大时，也可采用. 【详解】（1）因为区间对应的频率／组距为0.032，组距为10， 所以通行时长在的车辆所占频率为． 因为抽取的共1000辆车，所以． 因此，抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在的车辆数为320． （2）略 （3）略 3．（25-26高一下·山东青岛·期末）为了解师生对“世界杯”的认知程度，某高校针对不同年龄的师生举办了一次“世界杯”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄： (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本校的“世界杯”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1) (2)① ；②10 【分析】（1）利用中点值乘以频率计算； （2）①利用古典概型求概率；②利用分层抽样的方差公式计算. 【详解】（1）这人的平均年龄为，则 ； （2）①各组之比为， 则第四组应抽取，记为（甲），，，， 则第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以； ②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10． 据此估计这人中岁所有人的年龄的方差为10． 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【答案】(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3). 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数，利用古典概型求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而求出游戏三获胜的概率的范围，据此可求值. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为. （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； （3）设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 5．（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【分析】（1）利用古典概型概率公式，计算一等奖对应样本数占总样本数的比值即可. （2）①通过对立事件概率公式，用1减去两次均未获得一等奖的概率得到；②分别计算、、，验证是否满足独立事件判定条件即可。 【详解】（1）记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. （2）乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 基础达标 一、单选题 1．李林是某大学的学生，暑假期间的社会实践报告是研究某市2019年法律援助情况，针对获取数据的途径，下列说法正确的是（    ） A．直接使用2019年该市司法部门的统计数据 B．通过观察获取数据 C．通过试验获取数据 D．可以查阅2019年该市司法部门的统计数据，并结合该市的实际情况，对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有价值的数据 【答案】D 【分析】根据实际情况进行判断，选择合适的获取数据的途径. 【详解】由于该市获取数据的质量会参差不齐，要想获得有价值的数据，必须根据实际问题对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有效数据. 故选：D. 2．（25-26高一上·江西景德镇·期末）现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（    ） A．36 B．43 C．35 D．29 【答案】D 【分析】根据要求，依次读取满足50以内且不重复的样本，得到答案. 【详解】第2行第7列的数据为4，依次读取满足50以内且不重复的数据为43,49,35,36,23,29， 故第6个样本的编号为29. 故选：D 3．（25-26高一下·天津武清·期末）下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 【答案】C 【详解】，A错误； ， 则，B错误； 首先将数据从小到大排序：，共8个数据， 则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确； 根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍， 这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误. 4．（25-26高一下·湖南怀化·期末）为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取100名学生进行调查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别为490，510名，则应抽取男生的人数为（   ） A．50 B．51 C．68 D．49 【答案】D 【分析】由题设可得抽样比，据此即可得答案. 【详解】由题设可得男生，女生的抽样比为，结合一共抽取100人，则应抽取男生人数为. 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 6．（25-26高一下·安徽淮北·期末）某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．已知样本中的人数为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．估计该样本数据的平均数为74 D．估计全校社会实践时间在及以上的学生有180人 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质计算可得A；根据频率、频数与总数的关系可得B；借助平均数定义计算可得C；根据样本中的数据可估算全校数据，计算即可得D． 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由样本中的人数为人，结合频率分布直方图得，解得，故B正确； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，因为全校社会实践时间在分钟以上的频率为， 所以全校社会实践时间在分钟以上的学生约为，故D不正确． 7．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（   ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. 8．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）从数字0，1，2，3，4中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数字0，1，2，3，4组成一个没有重复数字的两位数，若个位是0，则有4种情况， 若个位不是0，则有种情况，共有16种情况； 其中个位是0的4种情况为偶数，个位不是0的偶数有种情况，共有10种情况， 则这个两位数是偶数的概率为. 二、多选题 9．（25-26高一下·云南昭通·期末）小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的众数为9 B．这组数据的极差是4 C．这组数据的平均数是 D．这组数据的标准差是 【答案】ABD 【分析】依次计算该组数据的众数、极差、平均数、方差与标准差，逐项判断即可. 【详解】选项A：数据中9共出现3次，出现次数最多，因此众数为9，A正确. 选项B：数据最大值为10，最小值为6，极差为，B正确. 选项C：平均数，C错误. 选项D：方差，因此标准差，D正确. 10．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的有（     ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 【答案】ABC 【详解】对于A，不妨设数据的最大值为，最小值为，则， 由，得，， 所以数据的极差为，故A正确； 对于BC，因为数据的平均数为，方差为， 所以，， 所以， 所以的方差 ，故BC正确； 对于D，由选项B可得数据的标准差为，故D错误. 11．（25-26高一下·广东广州·期末）口袋中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球3个黑球．从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，则（     ） A． B．与互斥 C． D．与相互独立 【答案】AC 【分析】由古典概型概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的判定，先计算各基础事件概率，再逐一验证选项即可. 【详解】设2个白球为，3个黑球为 不放回依次取2个球，共有： ，共有个基本事件， 事件A（两球同色）包含两白种、两黑种，共8种，故； 事件B（第一次取白球）共种，故； 事件C（第二次取白球）共种，故， 选项A：根据概率加法公式， 其中表示两球同色且第二次为白球，即两球均为白球，共2种，，代入得，A正确， 选项B：互斥事件不能同时发生，当两次均取白球时，B、C同时发生，故B与C不互斥，B错误， 选项C：表示两球不同色且第二次取白球，即第一次取黑球、第二次取白球，共种，故，C正确， 选项D：相互独立事件满足， 其中表示第一次取白球且两球同色，即两球均为白球，， 而，故A与B不独立，D错误. 三、填空题 12．（25-26高一下·福建福州·期末）数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 【答案】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】数据共有10个数，， 故从小到大排列为， 选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即为第70百分位数. 13．（25-26高一下·云南丽江·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 【答案】 【分析】利用古典概型概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设甲、乙同学猜对一道题分别为事件，则, 则任选一道灯谜，甲，乙均猜对为事件,依题意，, 则甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为. 14．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 【答案】 【详解】设一班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；二班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；名同学的总平均分为，总方差为. ∴ . ∵ 分层合并方差公式为， 代入得， 即总方差为. 四、解答题 15．（25-26高一下·云南丽江·期末）某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为 (3) 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质，求出参数，再根据分层抽样的规则，计算成绩在的同学的个数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体百分位数的方法，计算最低分数. 【详解】（1）由性质知：，故， 成绩在内的频率分别为， 所以采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名， 其中成绩在的同学个数为：. （2）由频率分布直方图知：众数在内，为； 由频率分布直方图知，成绩在，，，，，内的频率分别为： ，，，，，. 所以估计本次考试平均数为： . （3）由于成绩在的频率为， 故估计获得表彰的同学的最低分数为：． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）已知甲组数据，，，，，，，，，，的平均数为2，方差为1，则乙组数据，，，，，，，，，相对于甲组数据，以下说法正确的是（    ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数和方差都不变 【答案】C 【详解】设的和为， 根据题意，甲组共11个数据，平均数为2，则， 乙组的平均数为和甲组平均数相等，因此平均数不变， 甲组方差为1，则， 乙组方差为，因此方差变大. 2．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是，若去掉某个数据后，平均数不变，方差变为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为，根据方差列出关于的方程即可求解. 【详解】已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是， 所以，， 所以数据总和为且， 设去掉的数据为，则数据总和为，因为新平均数仍为，所以，解得， 因此，所以新方差为，解得，故C正确. 3．（25-26高一下·北京丰台·期末）为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动．在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长（单位：分钟），并将所得的数据按照、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图（假设每个组内的数据在组内均匀分布）：若该校共有名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是（   ） A．该校日均通勤时长在分钟以内的学生数超过 B．该校日均通勤时长不少于分钟的学生数约为 C．该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数 D．该校学生日均通勤时长的第百分位数约为 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长在分钟以内的学生人数，可判断A选项；利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长不少于分钟的学生人数，可判断B选项；利用平均数公式和中位数的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，该校日均通勤时长在分钟以内的学生数为，故A错误； 对于B选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得， 所以该校日均通勤时长不少于分钟的学生数为人，故B错误； 对于C选项，该校学生日均通勤时长的平均数为， 数据落在的频率为， 数据落在的频率为， 设中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得， 所以该校学生日均通勤时长的平均数小于中位数，故C错误； 对于D选项，设第百分位数为，由C选项可知， 由百分位数的定义可得，解得，故D正确. 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）某工厂认定工人通过试用期的方法为：近5天中，从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求合格零件数均不低于22．若甲、乙、丙三人近5天每天生产的合格零件数统计如下：甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的为（ ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】根据甲乙丙的统计数据，结合中位数、方差的计算可判断甲乙，由特例可判断丙. 【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于22，所以甲一定能通过； 对于乙：设乙每天的合格品件数为， 则，即， 若乙有不止一天的合格品数低于21，，不合题意； 若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取，， 因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24， 无论哪种情况，都可以得到，不合题意， 所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过； 对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过； 所以甲、乙一定能通过，丙不一定能通过. 二、多选题 5．（25-26高一下·四川凉山·期末）已知一组数据，，，，的平均数为1，方差为1，则该组数据的（    ） A．中位数可能为1 B．众数可能为1 C．极差可能为1 D．第60百分位数可能为2 【答案】AB 【分析】对A，B举例说明，对于C，令，假设极差为1，求出的范围，进而分析，对于D，假设第60百分位数为2，根据数据的大小进行分析. 【详解】对于A，数据的平均数为，方差为，中位数为，A正确； 对于B，数据，则这组数据的平均数为1，方差为1，众数为1，B正确； 对于C，若极差为1，不妨设为最小值，为最大值，则， 又因为平均数为，则，则， 则， 与题干方差为1矛盾，C错误； 对于D，不妨假设，， 所以第60百分位数为，则，且， 所以，，所以， 因为， ， 该组数据的方差为， 所以这组数据的方差不可能为1，D错误. 6．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（    ） A．样本容量为30 B．120名学生的数学成绩中男生有72人 C．估计高一年级数学平均分为106分 D．估计高一年级数学方差为7 【答案】ABC 【分析】对A，根据样本容量的概念判断；对B，根据分层抽样的定义计算；对C，根据分层抽样的平均数公式计算；对D，根据分层抽样的方差公式计算. 【详解】对于A，从中随机抽取30名，则样本量为30，故A正确； 对于B，设120名学生的数学成绩中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名学生的数学成绩中男生有72人，故B正确； 对于C，按性别比例分层随机抽样，男生数学成绩抽取18份，则女生数学成绩抽取12份， 设高一年级数学平均分为，所以，故C正确； 对于D，估计高一年级数学方差，故D错误. 故选：ABC. 7．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 三、填空题 8．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 【答案】63 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故答案为：63. 9．（25-26高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 【答案】 【分析】先由三事件乘积独立条件推出的元素个数与元素个数的倍数关系，分情况筛选，再结合独立锁定必含数字 2，结合不独立排除数字，最终统计出符合条件的集合共个. 【详解】由，可得 设事件包含样本点个数为，事件包含样本点个数为，则， 因为，所以，即 因为，包含个样本点，所以，即， 若，则，即，则，，与题意不符； 若，则，，则，所以， 即中有个数来自，个数来自，又，且， 所以，即若，则或，此时，与题意不符； 所以或， 若，则，与题意不符； 综上，满足条件的事件的个数为. 10．（25-26高一下·广东广州·期末）某人有一把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在这把雨伞在家里，那么连续上班两天，他两天都不淋雨的概率为________. 【答案】 【分析】从雨伞初始在家的状态出发，按第一天上班、第一天下班、第二天上班三个节点的天气情况分类，枚举所有满足两天都不淋雨的互斥情形，分别计算各情形概率后求和得到最终结果 【详解】：我们按行程顺序（第一天上班→第一天下班→第二天上班）分步计算，初始状态雨伞在家，要求全程不淋雨（下雨时必须有伞才不淋雨）： 第一天上班：人在家、伞在家，无论下不下雨都不淋雨，分两种情况： 情况1：第一天上班不下雨，概率，伞留在家，人到办公室； 若第一天下班下雨，概率：人在办公室、伞在家，无伞淋雨，不符合要求； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞仍在家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 情况2：第一天上班下雨，概率，带伞到办公室，伞在办公室，人到办公室； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞留办公室，第二天上班只有不下雨才不淋雨（概率），该分支贡献概率：； 若第一天下班下雨，概率：带伞回家，伞回到家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 总概率：把所有符合条件的分支相加： 四、解答题 11．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题 (3) 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算三道题全部答对概率即可； （2）分别计算每一种答题顺序下，甲获得会员的概率，并比较大小即可得到使甲获得会员的概率最大时的答题顺序； （3）分别计算题1、题2、题3位于中间时甲获得会员的概率，求解相应的不等式，即可得到的取值范围． 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为． （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题． （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可，即，解得． 因为，所以的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 概率与统计 复习要点 1．能根据总体特征选择抽样方法，完成基础数据收集。 2．会计算数字特征，能从各类统计图中提取关键信息。 3．能区分事件关系，掌握古典概型概率计算方法。 4．会运用独立事件公式，解决简单概率实际问题。 复习重难点 重点：统计：简单随机抽样、分层抽样的选择与应用；数字特征（众数、中位数等）计算；统计图（频率分布直方图、茎叶图等）信息提取。 概率：事件的互斥、对立、独立关系；古典概型判定与概率计算；独立事件概率公式应用。 难点：分层抽样比例计算；频率分布直方图中“频率=纵坐标×组距”的理解。 互斥与对立、独立事件的概念区分；古典概型样本点准确计数。 知识点 数据的收集 1.简单随机抽样 定义 设一个总体含有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 方法 抽签法 把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样 抽签法与随机数法 相同点 ①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②都是从总体中逐个不放回地进行抽取 不同点 ①抽签法比随机数法操作简单； ②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况 利用随机数法抽取个体时的注意事项： ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)． ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数． 2.分层抽样 ①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． ②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 要点速测 1.（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 【答案】B 【详解】对于A，一次抽取3个，不是逐个抽取，不符合简单随机抽样“逐个抽取”的要求； 对于B，从100个（有限总体）产品中“随机逐个抽取”10个，每个产品被抽到的概率相等，满足简单随机抽样的全部条件； 对于C，自然数是无限总体，简单随机抽样要求总体个体数有限，因此不符合； 对于D，老师主观点名，不是随机抽取，带有主观倾向性，不满足随机性要求． 知识点 数字特征 1.众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 2.极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 3.百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 要点速测 2．（多选）（25-26高一下·云南丽江·期末）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（    ） A．该样本的极差为5分 B．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C．该样本的分位数为8分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【答案】ABD 【详解】将样本数据从小到大排序：5，6，6，6，7，7，7，8，8，10， 选项A，极差=最大值-最小值，，所以A正确； 选项B， 样本均值，用样本均值估计总体均值，所以B正确； 选项C，百分位数位置：，因为为整数，所以分位数是第9项和第10项数据的平均值，即分位数是，所以C错误； 选项D，样本方差，所以D正确． 知识点统计图 1.柱形图 柱形图也称为条形图，可以形象地比较各种数据之间的数量关系。 一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图的每一矩形都是等宽的。 2.折线图 一般地，如果数据随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示，当然，折线图也可以用在其他合适的情形中。 3.扇形图 扇形图也称为饼图、饼形图，它可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比。 4.茎叶图 1、定义：将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到达的顺序从上向下列出，共茎的叶可以按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出（也可以没有大小顺序）. 2、一般地，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列。茎叶图也可以只表示一组数。 将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小（或从小到大）顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征。 3、茎叶图的有点与不足： （1）优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。 （2）不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便。 5.频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； 第2步：决定组距与组数； 第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表； 第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). 2.频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于1. 要点速测 3．（25-26高一下·吉林·期末）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（     ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D．按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】AD 【详解】对于A，该校高一学生总人数为人，A正确； 对于B，该校高一学生中选择物化生组合的人数为人， 所以选择物化地和物化政组合的人数为人， 因为选择物化地和物化政组合的人数相等，所以选择物化政组合的人数为人，B错误； 对于C，选择物理的人数有人，选择历史的人数有人， 所以该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，C错误； 对于D，生史地组合应抽取人，D正确. 知识点有限样本空间与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 要点速测 4．7．（25-26高一下·全国·课堂例题）给出下列四个命题，其中正确的命题有__________. ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件 ③“明天竹山要下雨”是必然事件 ④“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件. 【答案】①②④ 【详解】①，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个盒子有一个以上的球，所以是必然事件，故①正确； ②，对任意实数x，有，故②正确； ③，下雨是随机事件，故③错误； ④，从100个灯泡中取出5个，5个可能全部是次品，也可能不全是次品，是随机事件，故④正确. 知识点事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 (或) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 要点速测 5．（25-26高一下·青海海东·期末）某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 【答案】C 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 知识点古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 4.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有 要点速测 6．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举法求概率 【详解】1，2，4，7中随机选取两个不同的数， 有，共6种情况， 这两个数之和大于5的情况有，共4种情况， 故这两个数之和大于5的概率为. 知识点相互独立 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 要点速测 7.（25-26高一下·北京丰台·期末）掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为的倍数”，则与的关系为（   ） A．相等 B．相互独立 C．互斥 D．互为对立 【答案】B 【详解】样本空间为， 由题意可知，，， 所以，，， 所以，与不互斥，也不对立，与相互独立. 题型01 数据的收集 ▌例1 （多选）（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 【答案】ABC 【分析】由简单随机抽样的定义逐项判断即可. 【详解】抽签法是简单随机抽样，所以A正确； 随机数表法是简单随机抽样，所以B正确； 简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限，所以C正确； 简单随机抽样要求从总体中逐个抽出样本，所以D错误. 故选：ABC． ▌迁移练1-1（25-26高一下·天津河东·阶段检测）下列调查方法的选择中，最合适的是（    ） A．了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C．了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D．某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 【答案】A 【详解】A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确； B选项，旅客上飞机前的安检，涉及到安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误； C选项，了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误； D选项，某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误． ▌迁移练1-2（25-26高一下·天津武清·阶段检测）期中考试后,为了分析高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取了200名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法中正确的是（   ） A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本容量是200 【答案】D 【详解】A.总体是1000名学生的学习成绩，A错； B.个体是每名学生的成绩，B错； C.所抽取的样本是200名学生的成绩，不是每名学生的成绩，C错； D.样本容量是200，D正确. ▌迁移练1-3下列调查中，适宜采用抽样调查的是　　 A．调查某校一年级（3）班全体学生的身高情况 B．某公司初步发现一位职员患有甲肝，对此公司职员进行检查 C．农业科技人员调查某块地今年麦穗的单穗平均质量 D．调查某快餐店中全部8位店员的生活质量情况 【答案】C 【详解】解：选项C适合采用抽样调查，选项A、B和中应该对所有人员进行检查，所以用普查的方式． ▌迁移练1-4（25-26高一下·陕西·期中）某地消防局从辖区内的50家餐饮店中抽调了15家，对其进行消防安全检查.在这个问题中，15是（   ） A．样本 B．样本量 C．个体 D．总体 【答案】B 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】某地消防局从辖区内的50家餐饮店中抽调了15家，对其进行消防安全检查. 在这个问题中，总体容量是，每一家餐饮店是个体，15家餐饮店是样本，15是样本量. ▌迁移练1-5（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 【答案】 【分析】根据随机数抽样规则可得结果. 【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复），32，15，39，40. 所以选出来的第6个个体的编号为39. 题型2 分层抽样 ▌例2 （多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【详解】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征. 选项D，和C同理. 解题技巧 分层抽样解题三步法： 分层：按特征（如年级、性别）将总体分成互不重叠的层。 定比：计算抽样比 = 样本容量 ÷ 总体容量。 分配：每层抽取数 = 该层个体数 × 抽样比。 关键提醒：各层抽样比必须相同，这是分层抽样的核心特征。做题时先找总人数和样本量算出抽样比，再逐层乘以各层人数即可。注意结果需为整数，若出现小数要检查题目数据或四舍五入要求。 ▌迁移练2-1（25-26高一下·云南昭通·期末）某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】A 【详解】由题意可得应抽取三年级的学生人数为(人). ▌迁移练2-2（25-26高一下·河北唐山·期末）某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（   ） A．400 B．300 C．250 D．200 【答案】A 【详解】由题意得，解得. ▌迁移练2-3（25-26高一下·广东广州·期末）某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】C 【详解】由条形统计图可知，演讲社团的人数为30，由扇形统计图可知， 演讲社团的人数占选取学生总人数的，所以选取的学生总人数为. 由扇形统计图可知，舞蹈社团和英语协会的人数占比均为， 所以舞蹈社团和英语协会的人数均为； 又由条形统计图可知，合唱社团的人数为70， 所以绘画社团的学生数为. ▌迁移练2-4（多选）（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）某工厂甲､乙､丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件､80件､60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则下列说法正确的是（    ） A．甲车间应抽取6件 B．乙车间应抽取8件 C． D．该抽样方法是随机抽样 【答案】AC 【分析】根据分层抽样的步骤及抽样比计算公式即可判断ABC，根据分层抽样的定义及随机抽样的定义即可判断选项D. 【详解】由分层抽样可得，解得，故C正确. 则甲车间应抽取，故A正确. 乙车间应抽取，故B错误. 分层抽样属于概率抽样，随机抽样一般指简单随机抽样，二者概念不同，故D错误. ▌迁移练2-5（25-26高一下·宁夏银川·期末）某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人． 【答案】10 【分析】先计算三个年级总人数得到抽样比，再分别求出高一年级、高三年级的抽取人数，计算二者差值即可. 【详解】三个年级总人数为， 所以抽样比为， 因此抽取的高一年级学生人数为， 抽取的高三年级学生人数为， 故高一年级抽取人数比高三年级多(人). 题型3 统计图的分析 ▌例3 （25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【答案】D 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 解题技巧 统计图分析解题四步法： 读图：看清坐标轴含义（横纵轴分别代表什么）、单位及图例。 识型：判断图表类型——频率分布直方图看"面积=频率"；茎叶图看数据分布和集中趋势；折线图看变化趋势。 提取：关注关键信息，如最高/最低点、中位数、众数所在位置。 计算：频率分布直方图中，频率=小矩形面积=组距×频率/组距，各矩形面积之和为1。 易错点：纵轴常为"频率/组距"而非频率本身，切勿混淆。 ▌迁移练3-1（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. ▌迁移练3-2（25-26高一下·山东青岛·期末）小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据、整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（    ） A．月跑步里程最小值出现在2月 B．2月至6月的月跑步里程逐月增加 C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【详解】由折线图可知月跑步里程最小值出现在2月，故A正确，不符合题意； 2月至6月的月跑步里程逐月增加，故B正确，不符合题意； 9月至11月的月跑步里程最小值为20，则平均数大于20，故C正确，不符合题意； 1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，故D错误，符合题意． ▌迁移练3-3（25-26高三·全国·一轮复习）人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（   ）    A．我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B．我国人口的年平均增长率持续下降 C．2020年的全国人口相比2010年增加了 D．我国人口出生率仍然持续上升 【答案】A 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． ▌迁移练3-4（多选）（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）某气象站记录了某地连续6天的日平均气温（单位：），绘制了如图所示的折线统计图，则（   ） A．这6天日平均气温的极差是 B．这6天日平均气温最高的是第5天 C．前5天的日平均气温持续升高 D．第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高 【答案】ABD 【详解】由折线统计图可知这6天日平均气温的极差是，A选项正确； 这6天日平均气温最高的是第5天，B选项正确； 第3天的日平均气温比第2天的日平均气温低，第4天的日平均气温比第3天的日平均气温高， C选项错误，D选项正确； ▌迁移练3-5（多选）（25-26高一下·贵州黔西南·期末）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则（　　）    A．该校女教师的人数为137 B．该校男教师的人数为123 C．该校女教师约占55% D．该校男教师约占47.3% 【答案】ABD 【分析】分别按对应比例计算男女教师总人数，用男女教师人数除以总教师数算出各自占比，逐一核对四个选项判断正误. 【详解】对于A：由题图可知该校女教师的人数为，A正确； 对于B：该校男教师的人数为，B正确； 对于C：该校女教师所占比例为，C错误； 对于D：该校男教师所占比例为，D正确. 题型4 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 ▌例4 （25-26高一下·天津滨海新区·期末）为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ）    A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 【答案】A 【详解】由于，解得，故D错误； 由于前三组累计频率为， 前四组累计频率为， 故中位数在第四组内，设中位数为， 则，解得，故A正确； 得分低于80分的频率为， 故样本中低于80分的人数大约为人，故B错误； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，故C错误． 解题技巧 三数选择与计算技巧： 众数：出现次数最多的数据，适合描述"最常见"情况（如最畅销尺码）。 中位数：排序后取中间值，不受极端值影响，适合收入、房价等偏态数据。 平均数：所有数据之和÷个数，利用全部信息但易受极端值干扰。 解题关键：审题判断用哪个"数"——问"一般水平"多用中位数，问"总体水平"用平均数，问"最常见"用众数。计算时注意先排序再找中位数，偶数个取中间两数的平均值。 ▌迁移练4-1（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）倡导中小学生学习践行“富强､民主､文明､和谐；自由､平等､公正､法治；爱国､敬业､诚信､友善”社会主义核心价值观这24个字，其中含有12组词，每组词的笔画数的和依次为，则这12个笔画数的众数是（    ） A．17 B．16 C．1 D．24 【答案】A 【分析】根据一组数据中出现次数最多的数值来确定众数即可. 【详解】题目中的数据依次为：， 因为：：各出现1次， ：出现2次， ：出现3次， 又因为出现的次数最多，所以这组数据的众数是. ▌迁移练4-2（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出的值，再结合中位数、众数、平均数的定义及计算公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为， 即， 解得，故A错误， 对于B选项，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内， 设中位数为，则， 解得，即估计样本的中位数为，故B错误， 对于C选项，在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边的中点值， 由图可知，最高矩形对应的区间为， 所以估计样本的众数为，故C正确， 对于D选项，估计样本的平均数为： ，故D错误. ▌迁移练4-3（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（    ） A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大 【答案】C 【详解】真实数据的平均数为，中位数为，无众数； 记错的数据的平均数为，中位数为，众数为; 所以平均数变大，中位数不变. ▌迁移练4-4（25-26高一下·福建三明·期末）成年人饮水量健康标准：连续5天，每日饮水量均不低于视为达标.现有甲、乙、丙三人连续5天的日饮水量的数据（数据均为正整数，单位：）：①甲：中位数17，众数15；②乙：中位数18，平均值17；③丙：含1个数据21，平均值17，方差4.4，其中一定达标的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先将连续5天的日饮水量设出，后根据数据的数字特征分析5个数据是否都不小于15即可. 【详解】设连续5天的日饮水量为，， 不妨设，则若，则达标. 对于甲：中位数17，则，，，众数15， 则，故甲达标； 对于乙：中位数18，则，，，平均值17， 则，，， 若， 满足中位数18，平均值17，但不达标，故乙不一定达标； 对于丙：平均值17，则， 因为含1个数据21，设数据为，则， 因为方差为4.4， 所以， 即， 又因为均为正整数，所以也是非负整数， 则只能由，即与17的差最小是， 故均不小于15，故丙达标. ▌迁移练4-5（多选）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（    ） A．成绩落在区间的频率为0.03 B．这100名学生成绩的中位数为76.25 C．这100名学生成绩的众数为75 D．成绩低于60分的学生人数为5人 【答案】BCD 【详解】A选项：成绩落在区间的频率为，故A错误. B选项：成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率， 成绩落在区间的频率，故中位数在， 设中位数为，则，解得，故中位数为76.25， B正确. C选项：成绩落在区间的频率最大，故众数为75，C正确. D选项：成绩低于60分的频率为，其人数为，故D正确. ▌迁移练4-6（25-26高一下·河南开封·期末）某地连续8天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：，则这8个数据的（    ） A．极差为7 B．众数为29 C．中位数为27.5 D．平均数为29 【答案】ABD 【详解】先将8个数据从小到大排列为：， 对于A：极差为最大值减最小值，即，故A正确； 对于B：29在数据中出现3次，出现次数最多，因此众数为29，故B正确； 对于C：中位数为第4个和第5个数据的平均数，即，故C错误； 对于D：平均数为，故D正确 题型5 极差、方差、标准差在具体数据中的应用 ▌例5 （多选）（25-26高一下·云南昭通·期末）小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的众数为9 B．这组数据的极差是4 C．这组数据的平均数是 D．这组数据的标准差是 【答案】ABD 【分析】依次计算该组数据的众数、极差、平均数、方差与标准差，逐项判断即可. 【详解】选项A：数据中9共出现3次，出现次数最多，因此众数为9，A正确. 选项B：数据最大值为10，最小值为6，极差为，B正确. 选项C：平均数，C错误. 选项D：方差，因此标准差，D正确. 解题技巧 波动分析解题技巧： 极差：最大值 - 最小值，反映数据波动范围，计算简单但只看两端。 方差：各数据与平均数之差的平方的平均值，衡量整体离散程度，值越大波动越大。 标准差：方差的算术平方根，与原始数据单位一致，更直观。 解题关键：三者都描述"波动大小"，值越小数据越稳定。比较两组数据稳定性时，优先用方差或标准差（极差只看极值不够全面）。计算方差时先求平均数，再逐项算偏差平方，最后取平均。 易错点：方差单位是原数据单位的平方，标准差才与原数据单位相同。 ▌迁移练5-1（26-27高一上·河南·开学考试）某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出，两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下： 口味 顾客 顾客 顾客 顾客 顾客 关于这组数据，下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】直接由平均数及方差的定义分别计算，再比较大小可得. 【详解】由题意有：，，所以. 又因为， ， 所以，因此，. ▌迁移练5-2（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的方差为（    ） A．134 B．132 C．128 D．112 【答案】A 【分析】先求90名同学成绩的总体平均数，再利用方差分解公式，把每个班的组内离差平方和与两个班平均数相对总体平均数产生的组间离差平方和相加. 【详解】设一班：，二班：， 则90名同学成绩的总体平均数为：， 因为， 所以这90名同学成绩的方差为： ， 所以这90名同学本次测验成绩的方差为，故选项A正确. ▌迁移练5-3（25-26高一下·安徽淮北·期末）若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】原数据方差为， 则新数据方差为. ▌迁移练5-4（多选）（25-26高一下·湖北襄阳·期末）已知一组样本数据，，的标准差为3，则（     ） A．，，不可能都相等 B．，，的标准差也为3 C．，，的平均数有最小值 D．，，的平均数有最小值 【答案】AD 【分析】根据样本数据的平均数、方差和标准差的公式逐一分析选项即可求解. 【详解】已知原样本标准差，因此原样本方差， 对于选项A，若所有数据都相等，方差为，标准差为，与已知标准差为矛盾，因此这三个数不可能都相等，A正确； 对于选项B，根据方差性质：若新数据为，则新方差为，新标准差为；因此本题中新标准差为，B错误； 对于选项C，设样本平均数为，举例：令，可算得方差为，满足标准差为， 此时平均数，可以无限小，因此平均数没有最小值，C错误； 对于选项D，由方差公式展开：， 整理得：，当时取到最小值，因此平方的平均数存在最小值，D正确. 题型6 百分位数在具体数据中的应用 ▌例6 （25-26高一下·贵州遵义·期中）数据：的第百分位数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题知共个数据，又， 所以的第百分位数为. 解题技巧 求解百分位数应用问题的策略如下： 排序：将数据按从小到大排列。 定位：计算索引 i = n×p%（n为数据个数，p为百分位）。若i为整数，取第i项与第i+1项的平均值；若非整数，向上取整取对应位置的值。 解读：结合题意理解百分位数的实际含义，如"第p百分位数表示有p%的数据不超过该值"。 应用：用于比较个体在群体中的相对位置、划分等级或识别异常值等场景。 ▌迁移练6-1（25-26高一下·广东深圳·期末）数据12，8，10，15，11的第60百分位数为（     ） A．11 B．11.5 C．12 D．10 【答案】B 【分析】将数据从小到大排列后，由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为此组数据即为，一共有个数据，且， 所以此组数据的第60百分位数为第、这两个数的平均数，即为. ▌迁移练6-2（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（    ）    A． B．众数是 C．中位数是 D．第百分位数是 【答案】ABD 【分析】利用频率分布直方图中矩形面积等于该组频率，且所有矩形面积总和为1的性质，通过计算累积频率来逐一求解各选项即可. 【详解】，解得，故A正确， 最高的矩形对应的区间是，该区间的中点值为，故B正确， 的频率为，的频率为， 的频率为，， 因为，所以中位数一定落在下一个区间内， 设中位数为，则，解得，故C错误， 由上知前2组的累积频率为，前3组的累积频率为， 所以第百分位数落在区间内， 设第百分位数为，则，解得，故D正确. ▌迁移练6-3（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数_______. 【答案】2 【详解】由，得1、2、2、4、5、6、8、9的下四分位数为. ▌迁移练6-4（25-26高一下·广东深圳·期末）为了解高一学生使用错题整理工具的情况，学校随机抽取了200名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求使用时长在内的学生人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计这200名学生单次使用时长的平均数和第80百分位数； 【答案】(1)40；； (2)平均数为32.25；第80百分位数为37.5 【分析】（1）根据频率与频数的关系求使用时长在内的人数，利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出的值； （2）利用各组组中值乘以对应频率求和得到平均数，根据累积频率确定第80百分位数所在区间，再计算第80百分位数. 【详解】（1）由题意可知，使用时长在内的频率为， 故使用时长在内的学生人数为. 由图可得：， 解得； （2）由（1）知，则平均数为 ， 前三组的频率和为， 前四组的频率和为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 题型7 频率分布直方图的相关计算 ▌例7 （25-26高一下·安徽淮北·期末）某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．已知样本中的人数为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．估计该样本数据的平均数为74 D．估计全校社会实践时间在及以上的学生有180人 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质计算可得A；根据频率、频数与总数的关系可得B；借助平均数定义计算可得C；根据样本中的数据可估算全校数据，计算即可得D． 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由样本中的人数为人，结合频率分布直方图得，解得，故B正确； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，因为全校社会实践时间在分钟以上的频率为， 所以全校社会实践时间在分钟以上的学生约为，故D不正确． ▌迁移练7-1（25-26高一下·北京丰台·期末）为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动．在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长（单位：分钟），并将所得的数据按照、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图（假设每个组内的数据在组内均匀分布）：若该校共有名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是（   ） A．该校日均通勤时长在分钟以内的学生数超过 B．该校日均通勤时长不少于分钟的学生数约为 C．该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数 D．该校学生日均通勤时长的第百分位数约为 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长在分钟以内的学生人数，可判断A选项；利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长不少于分钟的学生人数，可判断B选项；利用平均数公式和中位数的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，该校日均通勤时长在分钟以内的学生数为，故A错误； 对于B选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得， 所以该校日均通勤时长不少于分钟的学生数为人，故B错误； 对于C选项，该校学生日均通勤时长的平均数为， 数据落在的频率为， 数据落在的频率为， 设中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得， 所以该校学生日均通勤时长的平均数小于中位数，故C错误； 对于D选项，设第百分位数为，由C选项可知， 由百分位数的定义可得，解得，故D正确. ▌迁移练7-2（多选）（25-26高一下·河南信阳·期末）中国载人航天技术飞速发展，神舟二十三号载人飞船发射前夕，某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有100名学生进入决赛，把他们的决赛成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下列说法中，正确的有（   ） A．频率分布直方图中m的值为0.010 B．在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间内的有60人 C．根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上四分位数为80分 D．如果规定90分以上学生获得一等奖，估计有15%的学生获得一等奖 【答案】ABC 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求出的值，即可判断A；求出成绩在内的频率，乘以总人数即可判断B；根据上四分位数的定义，结合频率分布直方图计算即可判断C；求出90分以上的频率即可判断D. 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，，解得，故A正确； 选项B：成绩落在区间内的频率为，所以人数为人，故B正确； 选项C：前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以上四分位数为分，故C正确； 选项D：90分以上的频率为，估计有的学生获得一等奖，故D错误. ▌迁移练7-3（多选）（25-26高一下·河南郑州·期末）1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的序号有（   ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生成绩的第60百分位数为80 C．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 D．估计这200名学生成绩的众数为78 【答案】ABC 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A：因为 ，可得，故A正确； 对于B：前三组的频率和为 ， 所以这200名学生成绩的第60百分位数为80，故B正确； 对于C：总体中成绩落在内的学生人数为，故C正确． 对于D：因为的频率最大，所以这200名学生成绩的众数为75，故D错误； ▌迁移练7-4（25-26高一下·陕西咸阳·期末）学校在某次竞赛后，随机抽查了100人的成绩，将其按，，，，，分成6组，整理后得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的10%，试估计获奖分数线． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）频率和为，得； （2）成绩在的频率为，成绩在的频率为，， 所以获奖分数线在区间内，设为， 则，得， 所以估计获奖分数线为. 题型8 用样本平均数和样本方差估算总体 ▌例8 （25-26高一下·广东广州·期末）某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（    ） A．女生样本容量为2000 B．每个男生被抽入到样本的概率均为 C．所有样本的均值为166cm D．所有样本的方差为 【答案】CD 【分析】分层抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个男生被抽入到样本的概率判断A、B；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D. 【详解】由题可知：男生身高样本均值，方差； 女生身高样本均值，方差. A：由人，故A错误； B：由人，故每个男生被抽入到样本的概率为，故B错误； C：所有样本的均值为，故C正确； D：所有样本的方差故D正确. ▌迁移练8-1（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期末）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的总样本平均数、总样本方差的计算公式，分别求解对应数值后判断选项即可. 【详解】 选项AB：总样本平均数为各层平均数按样本量权重加权的结果，计算得，故A正确，B错误； 选项CD：分层随机抽样总样本方差为 ，故C正确，D错误. ▌迁移练8-2（多选）（25-26高一下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（     ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的中位数为5 B．若一组样本数据的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【分析】A，通过中位数的定义求解.B，通过对a分类讨论判断极差来求解a的范围.C，通过方差的性质求解.D，通过总体平均值和方差的计算方法求解. 【详解】选项A，，所以中位数为第个和个数和的一半，，错误. 选项B，若，极差为，解得，矛盾. 若，极差为，解得，矛盾. 若，则极差为，符合条件.所以，正确. 选项C，因为，通过方差的性质可知，，正确. 选项D，由题意可知，，，，， 所以，，正确. ▌迁移练8-3（多选）（25-26高一下·广东东莞·期末）某学校高一年级有男生640人，女生360人．为获取该校高一学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为175，方差为36，女生样本的均值为165，方差为36．如果已知男、女样本量按比例分配时，总样本均值为171.4，方差为59.04．如果已知男、女的样本量都是50，则下列说法正确的是（    ） A．总样本的均值小于171.4 B．总样本的均值大于171.4 C．总样本的方差小于59.04 D．总样本的方差大于59.04 【答案】AD 【分析】先根据男女生各50的样本量计算总样本均值，再利用分层抽样总方差公式计算当前总方差，与题干给出的按比例分配的均值、方差比较即可判断选项. 【详解】总样本均值，，故A正确；B错误； 分层总方差，，故C错误；D正确. ▌迁移练8-4（2026·陕西咸阳·三模）人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（    ） A．学生数字素养得分的众数约为75 B．学生数字素养得分的中位数约为76.43 C．学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D．学生数字素养得分的平均数约为76.4 【答案】ABD 【分析】根据众数，中位数，百分位数，平均数的定义，结合频率分布表计算即可. 【详解】对于A，学生数字素养得分的众数约为，故A正确； 对于B，因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的中位数约为，故B正确； 对于C，因为， 所以第75百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的第75百分位数约为，故C错误； 对于D，学生数字素养得分的平均数约为 ，故D正确. 故选：ABD. 题型9 事件关系的判断 ▌例9 （25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”， 事件为“甲未中奖”，事件为“乙未中奖”， 事件“至少有一人中奖”，表示“甲中奖乙未中奖”或者“乙中奖甲未中奖” 或者“甲乙同时中奖”； 对选项A，表示事件和事件同时发生，即“甲乙同时中奖”，故A错误； 对选项B，表示事件或事件发生，即至少有一人中奖，故B正确； 对选项C，表示事件和事件同时发生，即“甲乙都未中奖”，故C错误； 对选项D，表示事件和事件同时发生，即“甲中奖且乙未中奖”，故D错误. ▌迁移练9-1（25-26高一下·河南安阳·阶段检测）甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由并联电路性质得电路故障为甲，乙两个元件同时发生故障． ∴表示电路故障的事件为． ▌迁移练9-2（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（    ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 【答案】B 【分析】根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解. 【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球， 其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”， 事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”. ▌迁移练9-3（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. ▌迁移练9-4（多选）（25-26高一下·广东东莞·期末）记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与互斥 D． 【答案】AD 【详解】设样本空间为 对于A：因为事件，互斥，则. 可得，所以是必然事件，故A正确； 对于BC：因为， 可知当且仅当，即事件，对立时，， 但题干中并没有说明，不一定是不可能事件，即与不一定互斥， 故选项BC不一定正确； 对于D：因为，所以，故D正确. ▌迁移练9-5（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 【答案】/ 【分析】根据随机事件的包含关系可得，直接代入的取值即可求解.或根据也可求解. 【详解】已知随机事件满足，则,； 方法1：由并事件的等价性，直接得; 方法2：对任意随机事件，有， 代入、、， 得. 题型10 简单古典概型的计算 ▌例10 （25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）将笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】笼中的只小白鼠按编号，从中任意取只小白鼠，其编号不大于的有只， 由古典概型的概率公式可知所求概率为. 解题技巧 古典概型求解策略如下： 判断条件：确认试验满足有限性（样本空间有限）和等可能性（每个基本事件概率相等）。 列举样本空间：用列举法、树状图或列表法，列出所有等可能的基本事件总数n。 确定目标事件：找出满足条件的事件A所包含的基本事件数m。 代入公式：P(A) = m/n。 关键点：不重不漏地计数是核心，注意区分"有序"与"无序"选取方式。 ▌迁移练10-1（25-26高一下·福建福州·期末）某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率. 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. ▌迁移练10-2（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，因此抛掷两枚骰子共有36个样本点．一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍有，，，，，，共6个样本点，因此一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是． ▌迁移练10-3（25-26高一下·甘肃白银·期末）从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为． ▌迁移练10-4（25-26高一下·广东广州·期末）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定三个数之积为偶数的样本总数，再从中筛选出和不超过8的样本数，结合古典概型公式计算条件概率. 【详解】首先，从1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，共有种组合，分别为：、、、、、、、、、。 若三个数之积为偶数，则排除三个数全为奇数的情况，仅需排除这1种，因此满足“积为偶数”的样本共9种。 在上述9种样本中，逐一计算三数之和： 和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求；和为，符合要求 ；其余样本的和均大于8，共4种符合要求的样本， 根据古典概型概率公式，所求概率为 ▌迁移练10-5（25-26高一下·河北石家庄·期末）算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用横式，十位用纵式，则个位和十位上的算筹根数都是奇数的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分步算出所有不含 的两位数总个数、个位十位均为奇数的两位数个数，再用古典概型概率公式求解. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字的两位数，个位用横式，十位用纵式，共可以摆出个两位数， 其中个位和十位上的算筹都从1，3，5，7，9中选，共种， 所以个位和十位上的算筹根数都是奇数的概率为. 题型11 互斥与对立计算概率 ▌例11 （25-26高一下·广西河池·期末）已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且，，则（   ） A．0.9 B．0.6 C．0.56 D．0.5 【答案】B 【分析】先利用对立事件的概率性质求出，再结合互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互为对立事件，根据对立事件的概率性质，可得： ，又因为与是互斥事件， 根据互斥事件的概率加法公式，有：， 代入、，计算得：. ▌迁移练11-1（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. ▌迁移练11-2（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 【答案】B 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义即可. 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. ▌迁移练11-3（25-26高一下·山东青岛·期末）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【详解】因为与对立，且，所以， 因为与互斥，且，所以 ▌迁移练1-4（25-26高一下·新疆喀什·期末）一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 题型12 事件独立性的判断 ▌例12 （25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（   ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. ▌迁移练12-1（25-26高一下·山东枣庄·期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则（   ） A．A与C互斥 B．B与C对立 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A，由事件A与C有相同的基本事件，否定结论；对于B，由事件B与C有相同的基本事件，否定结论；对于C，事件B中存在基本事件不在事件A中，否定结论；对于D，利用公式法判断. 【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有： . 其中事件A包括：. 事件B包括：. 事件C包括：. 对于A，事件A与事件C有相同的事件，， 故A与C互斥不成立，选项A错误； 对于B，事件B与事件C有相同的事件，， 故B与C对立不成立，选项B错误； 对于C，事件B中的样本点显然不在事件A中，选项C错误； 对于D，，，， 因为两个事件的发生与否互不影响，且， 所以事件与事件相互独立，选项D正确. ▌迁移练12-2（25-26高一下·湖南长沙·期末）掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与不互斥 D．与相互独立 【答案】B 【分析】由事件的相互关系及独立性进行判断． 【详解】显然与互斥且对立，故B项正确，AC都是错误的； 对于D项，，则， 得与不独立，故D项错误． ▌迁移练12-3（25-26高一下·湖南长沙·期末）柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（    ） A． B．与独立 C．与对立 D．与互斥 【答案】B 【分析】通过列举法写出试验的样本空间， 再逐一判断选项即可. 【详解】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为 ， 则， ， ，故，故A，C，D错误； 而，所以， 又，， 因此有，故与独立，B正确． ▌迁移练12-4（25-26高一下·山东泰安·期末）先后抛掷一枚骰子两次，记事件甲为“第一次的点数为奇数”，事件乙为“第二次的点数为偶数”，事件丙为“两次点数之和是8”，事件丁为“两次点数之和为7”，这四个事件中，相互独立的是（   ） A．甲与丙 B．甲与丁 C．乙与丙 D．丙与丁 【答案】B 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，总的样本空间有个等可能结果. 第一次的点数为奇数有1，3，5共3种等可能结果，故， 第二次的点数为偶数有2，4，6共3种等可能结果，故， 两次点数之和为8有共5种等可能结果，， 两次点数之和为7有共6种等可能结果，， 对于A，第一次为奇数，两次和为8有共2种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丙不相互独立，故A错误； 对于B，第一次为奇数，两次和为7有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以甲与丁相互独立，故B正确； 对于C，第二次为偶数，两次和为8有共3种等可能结果，故， 又， 所以，所以乙与丙不相互独立，故C错误； 对于D，两次和为8与两次之和为7不会同时发生，故， 又， 所以，所以丙与丁不相互独立，故D错误. ▌迁移练12-5（25-26高一下·广东湛江·期末）连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，记事件A为“第一次正面朝上的点数为2”，事件B为“两次正面朝上的点数之和为6”，事件C为“第二次正面朝上的点数为偶数”，事件D为“两次正面朝上的点数之和为9”，则（   ） A．A与B相互独立 B．A与D相互独立 C．C与D相互独立 D．B与C相互独立 【答案】C 【分析】根据事件独立性定义，分别计算各选项中与的值并比较，从而确定各选项中事件是否相互独立. 【详解】根据题意得，，， ，， 对于A，，，故A错误， 对于B，，，故B错误， 对于C，，， 满足，故C正确， 对于D，，，故D错误． 题型13 独立事件概率的计算 ▌例13 （25-26高一下·广东广州·期末）已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 【答案】C 【分析】根据对立事件定义、集合包含关系、互斥事件概率公式、相互独立事件的概率公式逐项判断各选项正误. 【详解】选项 A ：互为对立事件的充要条件为两事件交集为空集且并集为样本空间， 仅无法推出B与C互为对立事件，故A错误； 选项B ：若，则， 因此，故B错误； 选项C ：若A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式， 可得，故 C正确； 选项D：若A与B相互独立，则A与也相互独立，， 因此，故D错误. 解题技巧 独立事件概率求解技巧如下： 判断独立性：确认各事件互不影响，即一个事件的发生不改变另一事件的概率。 乘法法则：多个独立事件同时发生的概率 P(A∩B) = P(A)×P(B)，可推广至多个事件。 对立转化：求"至少一个发生"时，用 P = 1 - P(全部不发生)，简化计算。 分步拆解：将复杂问题分解为若干独立子事件，分别求概率后相乘。 易错点：独立≠互斥，互斥事件不可能同时发生，而独立事件可以同时发生。 ▌迁移练13-1（25-26高一下·山东青岛·期末）已知两个随机事件相互独立，，则（    ） A．0.72 B．0.76 C．0.84 D．0.90 【答案】A 【分析】利用相互独立事件与和事件的概率公式计算求解. 【详解】因为随机事件相互独立，， 所以，， 所以. ▌迁移练13-2（25-26高一下·湖南岳阳·期末）事件、相互独立，若，，则为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件的概率公式直接求解即可. 【详解】由事件、相互独立，则. ▌迁移练13-3（25-26高一下·陕西西安·期末）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】没有反面向上的概率， 所以至少一枚反面向上的概率. ▌迁移练13-4（25-26高一下·安徽六安·期末）已知两个随机事件相互独立，，则（     ） A．0.6 B．0.72 C．0.84 D．0.9 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为事件相互独立， 所以， 所以． ▌迁移练13-5（25-26高一下·福建福州·期末）已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】D 【分析】利用对立事件的定义、事件包含关系的概率性质、独立事件的概率运算规则即可. 【详解】. 对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误； 对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确. 难点一 根据数据特征求参数 根据数据特征求参数问题主要分为以下几类： 一、已知均值/方差反求未知数据 策略：利用均值公式 或方差公式列方程求解未知数。 二、已知百分位数/中位数求参数 策略：先将数据排序，根据百分位数定义确定对应位置，结合已知条件列方程。 三、频率分布直方图求参数 策略：利用"各矩形面积之和为1"求频率/组距；用组中值估计均值 x̄ = Σ(组中值×频率)。 四、数据变换后求新统计量 策略：若每个数据变为 ax+b，则新均值 = a·x̄+b，新方差 = a²·s²。 通用步骤：明确已知量与未知量 → 选择对应公式 → 列方程求解 → 验证合理性。 核心提醒：审题时注意区分"总体"与"样本"，以及数据是否经过分组处理。 难点精练 1．（25-26高一下·河南郑州·期末）已知一组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，，18，20，20，若该组数据的分位数是16，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【详解】该组数据共个，则. 已知分位数为，因此，解得. 2．（2026·重庆万州·模拟预测）若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案. 【详解】，，，这组样本数据的平均数为3，可得 ，则， 新增一个数据3后，数据变为 ， 则新数据的平均数为 ， 已知原数据 的方差为 2 ，根据方差公式可得 ， 则， 所以新数据的方差为，, 则 ，化简可得 ，解得. 3．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是，若去掉某个数据后，平均数不变，方差变为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为，根据方差列出关于的方程即可求解. 【详解】已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是， 所以，， 所以数据总和为且， 设去掉的数据为，则数据总和为，因为新平均数仍为，所以，解得， 因此，所以新方差为，解得，故C正确. 二、多选题 4．（25-26高一下·河南郑州·期末）一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】不妨设，再根据数据平均数、方差、极差和中位数的定义可求出. 【详解】因为数据的平均数为5，方差为2，极差为7，不妨设， 则，的平均数为，故A错误； 方差为，故B正确； 极差为，故C错误； 若为偶数，则的中位数为，即， 的中位数为； 若为奇数，则的中位数为， 的中位数为； 故D正确. 5．（25-26高一下·陕西·期末）一组样本数据，，，…，，其平均数、方差、极差、下四分位数分别记为，，，.由这组数据得到一组新样本数据，，，…，，其中，其平均数、方差、极差、下四分位数分别记为，，，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】不妨设，再利用平均数定义、方差性质、极差定义与百分位数定义逐项计算并判断即可. 【详解】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B正确； 对C：，，故C错误. 对D：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故D正确. 三、填空题 6．（24-25高一下·山东青岛·期末）对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为______. 【答案】 【分析】分是否为整数求出，根据在区间中的样本数据有且只有13个，取得的范围，然后验证可得. 【详解】不妨假设，用表示不超过的最大整数. 若为正整数，即为正整数，则是5的倍数，此时必是正整数， 则， 则在区间的数据为， 所以，解得； 若都不是正整数，则， 则在区间的数据为， 所以，则， 解得. 综上，的可能取值有. 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 故的可能取值有，. 故答案为： 7．（25-26高一下·河南·阶段检测）为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则__________． 【答案】 【分析】先利用平均数公式求得的值，再结合方差公式得到的值，最后通过完全平方公式的变形求出. 【详解】由题意，，整理得，解得， 又因为，化简为，即， 设，，则，且， 由完全平方公式，代入得，解得， 再由，代入得： ，故， 因此. 难点二 概率统计在实际问题中的应用 高中数学必修二概率统计在实际问题中的应用，核心解题策略是“数学建模”。 常见题型包括：整体估计（如用频率估计概率、标记重捕法估算总量）、社会调查（如敏感问题调查、游戏公平性判断）以及决策问题（如方案优劣比较）。 解题时，首先需剥离现实场景，提取核心变量；其次精准匹配模型，如古典概型、独立事件；接着规范列式运算，注意区分放回与不放回抽样；最后回归实际，结合特征数进行科学决策与验证。 难点精练 1．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率）    (1)求n的值及频率分布直方图中的t值； (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； (3)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 【答案】(1)人， (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解即可， （2）由分层抽样与对立事件的概率公式可求解． （3）利用互斥事件的概率加法公式与独立事件概率乘法公式可求解. 【详解】（1）由已知条件可得（人），，； （2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在的人数的， 故抽取的三人中调查评分在内的有1人，调查评分在内的有2人． 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到“良好”的概率为， 所以经过心理疏导后，至少有1人心理等级转为“良好”的概率； （3）在调查评分在的市民中随机抽取1人，其来自调查评分在内的概率为， 来自调查评分在内的概率为，该人转化为“良好”的概率为， 抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 2．（25-26高一下·北京东城·期末）为提升城市主干路通行效率，某交通管理部门计划为辖区内一条城市主干路优化红绿灯配时．该主干路由若干个单位路段（即相邻两个红绿灯路口之间的道路段）构成，现选取这条主干路的一个单位路段作为样本路段进行研究．从早高峰期间途经该样本路段的小型汽车中随机抽取1000辆，记录其通行时长（单位：秒），并将收集的数据分成7组，得到如下的频率分布直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在（单位：秒）的车辆数； (2)根据《城市交通运行状况评价规范》国家标准，若在某一时段，路段内通行时长超过理想状态下通行时长1.2倍的车辆占比超过；则可认为该路段在这一时段为拥堵路段．已知该样本路段理想状态下通行时长为58秒，判断该样本路段是否为早高峰拥堵路段，并说明理由； (3)为确定沿线红绿灯配时，现需预设该样本路段早高峰的基准通行时长（单位：秒）．若交管部门计划早高峰期间至少半数车辆在该样本路段通行时长不超过，请判断能否以收集数据的平均数作为基准通行时长，并说明理由． 【答案】(1)320 (2)该样本路段是早高峰拥堵路段，理由为：由已知，得理想状态下通行时间的1.2倍为：． 由频率分布直方图，知区间和区间对应的频率／组距分别为0.028和0.004， 因此，通行时长超过70秒的车辆所占频率为． 所以通行时长超过理想状态下通行时间的1.2倍（69.6秒）的车辆占比大于0.32． 因为， 所以该样本路段是早高峰拥堵路段 (3)不能以作为基准时长．理由如下： 因为频率分布直方图在左边“拖尾”，所以平均数小于中位数， 若以作为基准时长，那么有超半数的车辆通行时长大于， 即在该样本路段通行时长不超过的车辆不到半数． 所以不能以作为基准时长． 能以作为基准时长．理由如下： 的估计值为：． 当通行时长在时，频率为． 当通行时长在时，频率为， 由上可知中位数在区间内． 设中位数为，则，解得，所以中位数为64.375． 由于64.375与62.6比较接近，又因为样本具有随机性， 所以可以以作为基准时长． 【分析】（1）由频率直方图读出区间频率/组距，乘组距得频率，再乘样本容量得频数； （2）先计算理想时长1.2倍阈值，统计超阈值车辆占比，与30%标准比较判断是否拥堵； （3）若以平均数作为基准，因直方图左偏，平均数小于中位数，则超过半数车辆大于平均数，不满足“至少半数不超过”的条件，故不能；若仅从数值近似角度，当平均数与中位数相差不大时，也可采用. 【详解】（1）因为区间对应的频率／组距为0.032，组距为10， 所以通行时长在的车辆所占频率为． 因为抽取的共1000辆车，所以． 因此，抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在的车辆数为320． （2）略 （3）略 3．（25-26高一下·山东青岛·期末）为了解师生对“世界杯”的认知程度，某高校针对不同年龄的师生举办了一次“世界杯”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄： (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本校的“世界杯”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1) (2)① ；②10 【分析】（1）利用中点值乘以频率计算； （2）①利用古典概型求概率；②利用分层抽样的方差公式计算. 【详解】（1）这人的平均年龄为，则 ； （2）①各组之比为， 则第四组应抽取，记为（甲），，，， 则第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以； ②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10． 据此估计这人中岁所有人的年龄的方差为10． 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【答案】(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3). 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数，利用古典概型求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而求出游戏三获胜的概率的范围，据此可求值. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为. （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； （3）设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 5．（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【分析】（1）利用古典概型概率公式，计算一等奖对应样本数占总样本数的比值即可. （2）①通过对立事件概率公式，用1减去两次均未获得一等奖的概率得到；②分别计算、、，验证是否满足独立事件判定条件即可。 【详解】（1）记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. （2）乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 基础达标 一、单选题 1．李林是某大学的学生，暑假期间的社会实践报告是研究某市2019年法律援助情况，针对获取数据的途径，下列说法正确的是（    ） A．直接使用2019年该市司法部门的统计数据 B．通过观察获取数据 C．通过试验获取数据 D．可以查阅2019年该市司法部门的统计数据，并结合该市的实际情况，对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有价值的数据 【答案】D 【分析】根据实际情况进行判断，选择合适的获取数据的途径. 【详解】由于该市获取数据的质量会参差不齐，要想获得有价值的数据，必须根据实际问题对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有效数据. 故选：D. 2．（25-26高一上·江西景德镇·期末）现在利用随机数表在50个个体（编号）组成的总体中，抽取10个个体组成样本.下面提供随机数表的第2行到第3行： 若从随机数表中的第2行第7列开始向右依次读取数据，则第6个样本的编号是（    ） A．36 B．43 C．35 D．29 【答案】D 【分析】根据要求，依次读取满足50以内且不重复的样本，得到答案. 【详解】第2行第7列的数据为4，依次读取满足50以内且不重复的数据为43,49,35,36,23,29， 故第6个样本的编号为29. 故选：D 3．（25-26高一下·天津武清·期末）下列说法正确的是（   ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 【答案】C 【详解】，A错误； ， 则，B错误； 首先将数据从小到大排序：，共8个数据， 则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确； 根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍， 这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误. 4．（25-26高一下·湖南怀化·期末）为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取100名学生进行调查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别为490，510名，则应抽取男生的人数为（   ） A．50 B．51 C．68 D．49 【答案】D 【分析】由题设可得抽样比，据此即可得答案. 【详解】由题设可得男生，女生的抽样比为，结合一共抽取100人，则应抽取男生人数为. 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 6．（25-26高一下·安徽淮北·期末）某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．已知样本中的人数为，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．估计该样本数据的平均数为74 D．估计全校社会实践时间在及以上的学生有180人 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质计算可得A；根据频率、频数与总数的关系可得B；借助平均数定义计算可得C；根据样本中的数据可估算全校数据，计算即可得D． 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由样本中的人数为人，结合频率分布直方图得，解得，故B正确； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，因为全校社会实践时间在分钟以上的频率为， 所以全校社会实践时间在分钟以上的学生约为，故D不正确． 7．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（   ） A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. 8．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）从数字0，1，2，3，4中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数字0，1，2，3，4组成一个没有重复数字的两位数，若个位是0，则有4种情况， 若个位不是0，则有种情况，共有16种情况； 其中个位是0的4种情况为偶数，个位不是0的偶数有种情况，共有10种情况， 则这个两位数是偶数的概率为. 二、多选题 9．（25-26高一下·云南昭通·期末）小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的众数为9 B．这组数据的极差是4 C．这组数据的平均数是 D．这组数据的标准差是 【答案】ABD 【分析】依次计算该组数据的众数、极差、平均数、方差与标准差，逐项判断即可. 【详解】选项A：数据中9共出现3次，出现次数最多，因此众数为9，A正确. 选项B：数据最大值为10，最小值为6，极差为，B正确. 选项C：平均数，C错误. 选项D：方差，因此标准差，D正确. 10．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的有（     ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 【答案】ABC 【详解】对于A，不妨设数据的最大值为，最小值为，则， 由，得，， 所以数据的极差为，故A正确； 对于BC，因为数据的平均数为，方差为， 所以，， 所以， 所以的方差 ，故BC正确； 对于D，由选项B可得数据的标准差为，故D错误. 11．（25-26高一下·广东广州·期末）口袋中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球3个黑球．从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，则（     ） A． B．与互斥 C． D．与相互独立 【答案】AC 【分析】由古典概型概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的判定，先计算各基础事件概率，再逐一验证选项即可. 【详解】设2个白球为，3个黑球为 不放回依次取2个球，共有： ，共有个基本事件， 事件A（两球同色）包含两白种、两黑种，共8种，故； 事件B（第一次取白球）共种，故； 事件C（第二次取白球）共种，故， 选项A：根据概率加法公式， 其中表示两球同色且第二次为白球，即两球均为白球，共2种，，代入得，A正确， 选项B：互斥事件不能同时发生，当两次均取白球时，B、C同时发生，故B与C不互斥，B错误， 选项C：表示两球不同色且第二次取白球，即第一次取黑球、第二次取白球，共种，故，C正确， 选项D：相互独立事件满足， 其中表示第一次取白球且两球同色，即两球均为白球，， 而，故A与B不独立，D错误. 三、填空题 12．（25-26高一下·福建福州·期末）数据，，，，，，，，，的第百分位数是___________． 【答案】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】数据共有10个数，， 故从小到大排列为， 选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即为第70百分位数. 13．（25-26高一下·云南丽江·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 【答案】 【分析】利用古典概型概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设甲、乙同学猜对一道题分别为事件，则, 则任选一道灯谜，甲，乙均猜对为事件,依题意，, 则甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为. 14．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 【答案】 【详解】设一班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；二班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；名同学的总平均分为，总方差为. ∴ . ∵ 分层合并方差公式为， 代入得， 即总方差为. 四、解答题 15．（25-26高一下·云南丽江·期末）某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为 (3) 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质，求出参数，再根据分层抽样的规则，计算成绩在的同学的个数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体百分位数的方法，计算最低分数. 【详解】（1）由性质知：，故， 成绩在内的频率分别为， 所以采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名， 其中成绩在的同学个数为：. （2）由频率分布直方图知：众数在内，为； 由频率分布直方图知，成绩在，，，，，内的频率分别为： ，，，，，. 所以估计本次考试平均数为： . （3）由于成绩在的频率为， 故估计获得表彰的同学的最低分数为：． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）已知甲组数据，，，，，，，，，，的平均数为2，方差为1，则乙组数据，，，，，，，，，相对于甲组数据，以下说法正确的是（    ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变小 C．平均数不变，方差变大 D．平均数和方差都不变 【答案】C 【详解】设的和为， 根据题意，甲组共11个数据，平均数为2，则， 乙组的平均数为和甲组平均数相等，因此平均数不变， 甲组方差为1，则， 乙组方差为，因此方差变大. 2．（25-26高一下·河北张家口·期末）已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是，若去掉某个数据后，平均数不变，方差变为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数据的平均数没有变，得到去掉的数据为，根据方差列出关于的方程即可求解. 【详解】已知一组样本数据，，…，的平均数是，方差是， 所以，， 所以数据总和为且， 设去掉的数据为，则数据总和为，因为新平均数仍为，所以，解得， 因此，所以新方差为，解得，故C正确. 3．（25-26高一下·北京丰台·期末）为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动．在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长（单位：分钟），并将所得的数据按照、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图（假设每个组内的数据在组内均匀分布）：若该校共有名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是（   ） A．该校日均通勤时长在分钟以内的学生数超过 B．该校日均通勤时长不少于分钟的学生数约为 C．该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数 D．该校学生日均通勤时长的第百分位数约为 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长在分钟以内的学生人数，可判断A选项；利用频率分布直方图求出该校日均通勤时长不少于分钟的学生人数，可判断B选项；利用平均数公式和中位数的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，该校日均通勤时长在分钟以内的学生数为，故A错误； 对于B选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得， 所以该校日均通勤时长不少于分钟的学生数为人，故B错误； 对于C选项，该校学生日均通勤时长的平均数为， 数据落在的频率为， 数据落在的频率为， 设中位数为，则， 由中位数的定义可得，解得， 所以该校学生日均通勤时长的平均数小于中位数，故C错误； 对于D选项，设第百分位数为，由C选项可知， 由百分位数的定义可得，解得，故D正确. 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）某工厂认定工人通过试用期的方法为：近5天中，从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求合格零件数均不低于22．若甲、乙、丙三人近5天每天生产的合格零件数统计如下：甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的为（ ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】根据甲乙丙的统计数据，结合中位数、方差的计算可判断甲乙，由特例可判断丙. 【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于22，所以甲一定能通过； 对于乙：设乙每天的合格品件数为， 则，即， 若乙有不止一天的合格品数低于21，，不合题意； 若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取，， 因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24， 无论哪种情况，都可以得到，不合题意， 所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过； 对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过； 所以甲、乙一定能通过，丙不一定能通过. 二、多选题 5．（25-26高一下·四川凉山·期末）已知一组数据，，，，的平均数为1，方差为1，则该组数据的（    ） A．中位数可能为1 B．众数可能为1 C．极差可能为1 D．第60百分位数可能为2 【答案】AB 【分析】对A，B举例说明，对于C，令，假设极差为1，求出的范围，进而分析，对于D，假设第60百分位数为2，根据数据的大小进行分析. 【详解】对于A，数据的平均数为，方差为，中位数为，A正确； 对于B，数据，则这组数据的平均数为1，方差为1，众数为1，B正确； 对于C，若极差为1，不妨设为最小值，为最大值，则， 又因为平均数为，则，则， 则， 与题干方差为1矛盾，C错误； 对于D，不妨假设，， 所以第60百分位数为，则，且， 所以，，所以， 因为， ， 该组数据的方差为， 所以这组数据的方差不可能为1，D错误. 6．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（    ） A．样本容量为30 B．120名学生的数学成绩中男生有72人 C．估计高一年级数学平均分为106分 D．估计高一年级数学方差为7 【答案】ABC 【分析】对A，根据样本容量的概念判断；对B，根据分层抽样的定义计算；对C，根据分层抽样的平均数公式计算；对D，根据分层抽样的方差公式计算. 【详解】对于A，从中随机抽取30名，则样本量为30，故A正确； 对于B，设120名学生的数学成绩中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名学生的数学成绩中男生有72人，故B正确； 对于C，按性别比例分层随机抽样，男生数学成绩抽取18份，则女生数学成绩抽取12份， 设高一年级数学平均分为，所以，故C正确； 对于D，估计高一年级数学方差，故D错误. 故选：ABC. 7．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 三、填空题 8．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为________. 【答案】63 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故答案为：63. 9．（25-26高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 【答案】 【分析】先由三事件乘积独立条件推出的元素个数与元素个数的倍数关系，分情况筛选，再结合独立锁定必含数字 2，结合不独立排除数字，最终统计出符合条件的集合共个. 【详解】由，可得 设事件包含样本点个数为，事件包含样本点个数为，则， 因为，所以，即 因为，包含个样本点，所以，即， 若，则，即，则，，与题意不符； 若，则，，则，所以， 即中有个数来自，个数来自，又，且， 所以，即若，则或，此时，与题意不符； 所以或， 若，则，与题意不符； 综上，满足条件的事件的个数为. 10．（25-26高一下·广东广州·期末）某人有一把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿伞回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在这把雨伞在家里，那么连续上班两天，他两天都不淋雨的概率为________. 【答案】 【分析】从雨伞初始在家的状态出发，按第一天上班、第一天下班、第二天上班三个节点的天气情况分类，枚举所有满足两天都不淋雨的互斥情形，分别计算各情形概率后求和得到最终结果 【详解】：我们按行程顺序（第一天上班→第一天下班→第二天上班）分步计算，初始状态雨伞在家，要求全程不淋雨（下雨时必须有伞才不淋雨）： 第一天上班：人在家、伞在家，无论下不下雨都不淋雨，分两种情况： 情况1：第一天上班不下雨，概率，伞留在家，人到办公室； 若第一天下班下雨，概率：人在办公室、伞在家，无伞淋雨，不符合要求； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞仍在家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 情况2：第一天上班下雨，概率，带伞到办公室，伞在办公室，人到办公室； 若第一天下班不下雨，概率：人回家，伞留办公室，第二天上班只有不下雨才不淋雨（概率），该分支贡献概率：； 若第一天下班下雨，概率：带伞回家，伞回到家，第二天上班无论下不下雨都不淋雨，该分支贡献概率：； 总概率：把所有符合条件的分支相加： 四、解答题 11．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题 (3) 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算三道题全部答对概率即可； （2）分别计算每一种答题顺序下，甲获得会员的概率，并比较大小即可得到使甲获得会员的概率最大时的答题顺序； （3）分别计算题1、题2、题3位于中间时甲获得会员的概率，求解相应的不等式，即可得到的取值范围． 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为． （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题． （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可，即，解得． 因为，所以的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $