第5章 统计与概率 高考强化-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 5 第五章高考强化 刷真题 2 1.（多选）[全国新高考Ⅱ2021⋅9，5分] 下列统计量中可用于度量样本,, , 离散程度的有 ( ) AC A.,, ,的标准差 B.,, , 的中位数 C.,, ,的极差 D.,, , 的平均数 考点1 样本数据的数字特征 3 解析 平均数和中位数反映的是一组数据的平均水平，标准差和极差则体现了一组数据的离散程 度.故选 . 考点1 样本数据的数字特征 4 2.（多选）[全国新课标Ⅰ2023⋅9,5分] 有一组样本数据,, ，,其中是最小值， 是最大 值，则( ) BD A.,,,的平均数等于,, ， 的平均数 B.,,,的中位数等于,, , 的中位数 C.,,,的标准差不小于,, , 的标准差 D.,,,的极差不大于,, , 的极差 考点1 样本数据的数字特征 5 解析 对于选项A：,不确定，,, , 的平均数不确定，如1,2,2,2,2,4的平均数不等 于2,2,2,2的平均数，故A错误； 对于选项B：不妨设，则,,,的中位数为，,,,,, 的中位 数为 ，故B正确； 对于选项C：,,,,,的波动性不小于,,, 的波动性， ,,,的标准差不大于,,,,, 的标准差，故C错误； 对于选项D：不妨设，则， ， 即,,,的极差不大于,,,,, 的极差，故D正确. 故选 . 考点1 样本数据的数字特征 6 3.[全国甲理2022·2，5分] 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效 果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位 社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图： 则( ) B A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率 的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的 极差 考点1 样本数据的数字特征 7 解析 由题意知，讲座前问卷答题的正确率分别为，，，，， ， ，，，，将其按照从小到大的顺序排列为，，，， ， ，，，，，所以其中位数为 ，故A不正确；讲座后问卷 答题的正确率分别为，，，，，，，，， ，所 以其平均数为 ，故B 正确；由题图可知，讲座前问卷答题的正确率比讲座后正确率的波动更大，所以讲座前问卷答题 的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C不正确；由题图可知，讲座前问卷答题的正 确率的极差为，讲座后问卷答题的正确率的极差为 ，故D 不正确.故选B. 考点1 样本数据的数字特征 8 4.[全国乙理2023·17，12分] 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行1 0次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理， 另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩 率分别记为, .试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记,记,, ,的样本平均数为,样本方差为 . 考点1 样本数据的数字特征 9 （1）求, ; 【解】因为 ， 所以，，，，，，，， ， ， 所以 ，所以 . 考点1 样本数据的数字特征 10 （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提 高（如果 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩 率有显著提高，否则不认为有显著提高）. [答案] 因为，即 ， 所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 考点1 样本数据的数字特征 11 5.[天津2021·4，5分] 从某网络平台推荐的影视作 品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评 分数据分为8组：,, , ,并整理 得到如下的频率分布直方图，则评分在区间 内的影视作品数量是( ) D A.20 B.40 C.64 D.80 解析 由题意可知，评分在区间内的影视作品的数量为 ，故选D. 考点2 统计图表 12 归纳总结求解与频率分布直方图有关的问题需要明确：（1）频率分布直方图的纵坐标是 ， 因此每一个小矩形的面积 ，为该组数据的频率； （2）频率分布直方图中，所有小矩形的面积的和为1. 考点2 统计图表 13 6.（多选）[全国新高考Ⅱ2020⋅9，5分] 我国新冠 肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产. 下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图. 根据该折线图，( ) CD A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量 C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过 D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量 考点2 统计图表 14 解析 由题图可知第8,9天复工指数和复产指数均减小，故A错误；第1天时复工指数小于复产指 数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B错误；由题图可知第3 天至第11天，复工复产指数都超过 ,故C正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指 数的增量，故D正确. 考点2 统计图表 15 7.[课标全国Ⅲ理2019⋅3，5分] 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文 学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共 有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的 学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) C A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 考点3 用样本估计总体 16 解析 依题意，分别设阅读过《西游记》《红楼梦》的学生组成的集合为A，B.设随机调查的100 位学生组成的集合为全集，则,, ,则 , 如图所示.所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值 的估计值为 ，故选C. 考点3 用样本估计总体 17 8.[全国甲理2021·2，5分] 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将 农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( ) C A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为 B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为 C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至 8.5万元之间 考点3 用样本估计总体 18 解析 由频率分布直方图知年收入低于4.5万元的农户比率估计为 ， 故A正确；年收入不低于10.5万元的农户比率估计为 ，故B正 确；该地农户家庭年收入的平均值约为 ， 故C错误；年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为 ,故D正确.故选C. 考点3 用样本估计总体 19 9.[全国乙文2023·9,5分] 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个 主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( ) A A. B. C. D. 考点4 古典概型 20 解析 甲、乙两位参赛同学抽取主题的结果共有 （种），抽到相同主题的结果共有6种， 所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为 ，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的 概率为 ，故选A. 考点4 古典概型 21 10.[全国甲文2023·4,5分] 某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随 机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( ) D A. B. C. D. 考点4 古典概型 22 解析 依题意，用,表示高一的2名学生，, 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2 名学生的选法有,,,,, ，共6种，其中2名学生来自不 同年级的选法有,,,，共4种，所以所求概率 ,故选D. 考点4 古典概型 23 11.[全国新高考Ⅰ2022·5，5分] 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概 率为( ) D A. B. C. D. 考点4 古典概型 24 解析 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法有,,,,,, , ,,,,,,,,,,,,, ,共21种，其中这2个 数互质的情况有，，，，，，，，，， ， ，，，共14种.所以这2个数互质的概率 故选D. 考点4 古典概型 25 12.[全国甲文2021·10，5分] 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( ) C A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 考点4 古典概型 26 解析 先排好3个1，并将其空位从左到右依次标记为A,B,C,D，如图所示.将2个0放入4个空位中， 事件“2个0不相邻”包含的样本点分别为,,,,, ，共6个.事件“2 个0相邻”包含的样本点分别为,,, ，共4个,则样本点的总数为10，因此事 件“2个0不相邻”的概率为 ，故选C. 1 1 1 考点4 古典概型 27 13.[北京文2019·17，12分] 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付 已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有 的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使 用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 考点5 用频率估计概率 28 （1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数. 【解】由题知，样本中仅使用A的学生有人，仅使用B的学生有 人， A，B两种支付方式都不使用的学生有5人． 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有 人． 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 考点5 用频率估计概率 29 （2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率. [答案] 记事件 为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000 元”，则 . 考点5 用频率估计概率 30 （3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人， 发现他本月的支付金额大于2 000元.结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付 金额大于2 000元的人数有变化？说明理由. [答案] 记事件 为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”. 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（2）知， ． 考点5 用频率估计概率 31 答案示例1：可以认为有变化．理由如下： 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于 2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件是随机事件， 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有 变化． 考点5 用频率估计概率 32 14.[全国乙理2022·10,5分] 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为,,,且 .记该棋手连胜两盘 的概率为 ，则( ) D A.与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛， 最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛， 最大 考点6 随机事件的独立性 33 解析 设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为，第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为 ， 第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为 ，则 ， ， ，所以 ， ，所以 最大，故选D. 考点6 随机事件的独立性 34 15.（多选）[全国新课标Ⅱ2023⋅12，5分] 在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时, 收到1的概率为，收到0的概率为 ;发送1时，收到0的概率为 ，收 到1的概率为 .考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次， 三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到 的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1， 则译码为1）( ) ABD A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为 B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为 C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为 D.当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为 0的概率 考点6 随机事件的独立性 35 解析 对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1,0,1，依次收到1,0,1的概率为 ，所以A选项正确. 对于B选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1,0,1的概率为 ， 所以B选项正确. 对于C选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1,1,1（即译码为1）的概率为 ；发送1，依次收到1,0,1（即译码为1），0,1,1（即译码为1）， 1,1,0（即译码为1）的概率为 ，于是译码为1的概率为 ，所以C选项不正确. 考点6 随机事件的独立性 36 对于D选项，采用三次传输方案，发送0，依次收到0,0,0（即译码为0）的概率为 ；发送0，依次收到0,0,1（即译码为0），0,1,0（即译码为0）， 1,0,0（即译码为0）的概率为 ，于是译码为0的概率为 .采用单次传输方案，发送0，译码为0的概率为 .依题意，有 ， ， 即， . 令函数 ，，则在 上恒成立，所以D选项正 确.故选 . 考点6 随机事件的独立性 37 16.[天津2023·13,5分] 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外没有其他差异）放进三个空箱子 中，三个箱子中的球数之比为，且其中的黑球比例依次为，， .若从每个箱子 中各随机摸出一个球，则三个球都是黑球的概率为___;若把所有球放在一起，然后随机摸出一球， 则该球是白球的概率为__. 解析 由题意知从三个箱子中取到黑球的概率分别为,, ，因为从三个箱子中取球相互独立，所 以取得的球均为黑球的概率为.三个箱子中小球的数量占总数的比例分别为,, ，所 以白球占比为，则从中取得一个白球的概率为 . 考点6 随机事件的独立性 38 5 第五章高考强化 刷原创 39 1.参加乒乓球比赛的甲、乙两队各有名队员，其中甲队与乙队分别有 , 名技术水平相当的强手，两队其余队员为技术水平相当的弱手.观众评议比赛的观赏性程度为 “技术水平相当的选手对抗”为“精彩”，“不同技术水平的选手对抗”为“平常”，若两队在 单打比赛时随机确定一名选手进行对抗，则观众评议比赛“精彩”的概率比“平常”的概率 ( ) B A.大 B.小 C.相等 D.与， 的大小有关 40 解析 记观众评议比赛“精彩”为事件A，事件表示“两名强手对抗”，事件 表示“两名弱 手对抗”，则,为互斥事件，且 ，由互斥事件的概率公式，得 . 记观众评议比赛“平常”为事件B，事件B表示“强手与弱手对抗”，则 ， 又,,，则由均值不等式知 ，故观众评议比赛“精彩”的概率比“平常” 的概率小.故选B. 41 2.某公司对来应聘的人进行笔试，统计出200名应聘者的笔试成绩，整理得到下表： 组号 1 2 3 4 5 6 成绩分组 累积频率 0.05 0.15 注：第组的累积频率指的是前 组的频率之和. 若公司计划150人进入面试，则估计参加面试的最低分数线为____. 65 42 解析 由各组累积频率为1得，，则 . 又，设面试的最低分数线为笔试成绩从低到高排列的分位数 ，由题表知，笔试成 绩分别在与的累积频率分别为， ， 故 ， 解得 ， 从而可估计参加面试的最低分数线为65. 43 3.“划拳行酒令”起源于汉代，是饮酒时助兴的一种游戏.游戏规则是进行游戏的双方每人都伸出 一只手并出若干个手指，同时口中喊出 这11个数字，伸出的手指之和等于喊出的数，就视 为游戏胜者，游戏随之结束，否则要反复进行，直至分出胜负为止.已知甲、乙、丙三人，甲胜乙 的概率是，乙胜丙的概率是 ，甲胜丙的概率是0.8.先两人玩游戏，胜者和余下一人继续游戏， 每人间的胜负是相互独立的.甲、乙先进行游戏，则前三场游戏中，甲胜两场的概率是_______. 0.192 44 解析 设甲胜乙为事件，甲胜丙为事件.设前三场比赛中，甲胜两场为事件 ，则 . 45 4.某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取 名会员进行线上问卷调查，将会员的评 分（满分10分）从低到高分为四个等级: 会员评分 满意等级 不满意 一般 满意 非常满意 并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 的会员人数为40. 46 （1）求样本容量及频率分布直方图中的 值； 【解】由频率分布直方图可知，评分在的频率 ，故样本容量 .又，故 . 47 （2）若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估： [答案] 各组评分的区间中点值分别为,,,,, . （ⅰ）若会员满意度评分的平均值 低于8分，则需要提升公司产品的体验感，否则全力开发新产 品.根据所学的统计知识，判断该公司应采用的运营策略，并说明理由. [答案] 会员满意度评分的平均值 ，故该 公司应全力开发新产品. 48 （ⅱ）记会员评分的样本标准差为，试估计会员总体在区间 的人数的百分比. （参考数据:,,, ） [答案] 因为方差 ，则，故, . 区间内评分不小于6.67的频率满足，解得，区间 内评分不大 于9.33的频率满足，即 ， 所以样本在区间的频率为 ， 因此用样本估计总体知， 所有会员在区间的人数的百分比约为 . 49 5.甲、乙两名选手在比赛中进入冠亚军决赛，主办方规定决赛采取五局三胜制，冠军、亚军分别 获得奖金的与 .已知甲、乙在历次比赛对阵中胜负持平，且每局比赛的胜负相互独立. （1）求甲、乙比赛四局决出冠军的概率. 【解】由题意知，甲选手每局获胜的概率为，其对立事件“乙每局获胜”的概率为 ， 若比赛四局决出冠军为甲，则前三局中乙只胜一局，第四局一定甲获胜，将每局获胜结果按对应 选手排序，则样本空间乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲 ，共有三个样本点，故冠军为甲的 概率，同理,冠军为乙的样本空间甲乙乙乙,乙甲乙乙,乙乙甲乙 ，故 冠军为乙的概率，故甲、乙比赛四局决出冠军的概率 . 50 （2）若决赛时，前三局甲、乙的比分为 ，由于不可抗拒的原因，比赛终止.主办方提出奖金 平分给两名选手，你同意吗？请用相关数学知识解释. [答案] 不同意，因为奖金的分配是以最终比赛结果为标准的，由于前三局甲、乙的比分为 ， 则甲在后续比赛中胜一局即可获得冠军，因此，“冠军为甲”对应的事件为“第四局甲胜”或 “第四局乙胜，第五局甲胜”，故冠军为甲的概率为 ，由对立事件的概率公式 知，冠军为乙的概率为，故冠军奖金部分应按 的比例分配给甲、乙，亚军奖金部分 应按的比例分配给甲、乙，设总奖金为，则甲应获得的奖金为 ，乙应 获得的奖金为，即甲、乙分配奖金的比例应为 . 51 $$