5.4 统计与概率的应用-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 5.4 5.4 统计与概率的应用 刷基础 2 1.[广东佛山2024高二期末教学质量检测] 已知甲、乙两人射击某一猎物的命中率分别是0.4和0.7. 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是( ) A A. B. C. D. 题型 统计与概率的应用 3 解析 甲、乙两人射击某一猎物的命中率分别是0.4和 ， 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪， 则只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为 . 所以甲、乙分配猎物的比例应该是 . 题型 统计与概率的应用 4 2.从一群玩游戏的小孩子中随机抽取20人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，过了一会儿， 再从中抽取30人，发现其中有5个小孩曾分到过苹果，估计参加游戏的小孩人数为( ) C A.80 B.100 C.120 D.无法计算 题型 统计与概率的应用 5 解析 设这群小孩共有人，由题意可得，解得 ，故选C. 题型 统计与概率的应用 6 3.在足球比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红3种颜色的球衣，乙 队有蓝、白、黑3种颜色的球衣.若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符 合要求的概率为( ) D A. B. C. D. 题型 统计与概率的应用 7 解析 双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有9种不同的组合， 其中只有双方都选白色或都选黑色时不符合要求，故不符合要求的概率为，符合要求的概率为． 题型 统计与概率的应用 8 4.[黑龙江大庆实验中学2024高二期末] 某比赛为两运动员制定下列发球规则. 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球. 则对甲、乙公平的规则是( ) B A.规则一和规则二 B.规则一和规则三 C.规则二和规则三 D.规则二 题型 统计与概率的应用 9 解析 规则一：投掷一枚硬币，正面向上与反面向上是等可能事件，所以其发生的概率相等，所 以此规则对甲、乙公平； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，两个球同色的概率为 ，不同色的 概率为 ，所以此规则对甲、乙不公平； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，两个球同色的概率为 ，不同色的概 率为 ，所以此规则对甲、乙公平.故选B. 题型 统计与概率的应用 10 规律方法 游戏公平性的标准及判断方法 （1）游戏规则是否公平的本质是判断获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则 就是不公平. （2）具体判断时，可以按所给规则求出双方的获胜概率，再进行比较. 题型 统计与概率的应用 11 5.（多选）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校 共有3 000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，也可 不参加，各个社团的人数比例的饼图如图所示，其中参加舞蹈社团的同学有75 名，参加合唱社团的同学有90名，则下列说法正确的是( ) ABC A.这五个社团的总人数为300 B.合唱社团的人数占五个社团总人数的 C.这五个社团总人数占该校学生人数的 D.从这五个社团中任选一人，其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为0.35 题型 统计与概率的应用 12 解析 由于参加舞蹈社团的同学有75名，该社团人数占比为 ，故社团总人数为 ，故A正确； 因为参加合唱社团的同学有90名，所以合唱社团的人数占五个社团总人数的 ， 故B正确； 这五个社团总人数占该校学生人数的 ，故C正确； 由题可得参加朗诵、脱口秀社团的学生人数为 ，故参加太极拳社团或舞蹈社团的 人数为 ， 所以从这五个社团中任选一人，其来自太极拳社团或舞蹈社团的概率为 ，故D错误.故选 . 题型 统计与概率的应用 13 6.为了解高中生上学带手机的情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个 问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员 抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调 查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答 了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了 “是”,由此可以估计这800人中上学经常带手机的人数是_____. 120 题型 统计与概率的应用 14 解析 因为掷硬币时，出现正面朝上和反面朝上的概率都是 ，所以被调查者中大概有400人回答 了问题（2），有400人回答了问题（1）.又因为学号为奇数或偶数的概率也是 ，所以在回答问 题（1）的400人中大约有200人回答了“是”，在回答问题（2）的400人中大约有 （人）回答了“是”. 所以被调查的800人中上学经常带手机的人数约为120. 题型 统计与概率的应用 15 7.[河南名师联盟2023期中联考] 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发 展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生 的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”, 从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表： 时间 人数 10 36 34 10 6 4 （1）估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； 【解】由题意得随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数 . 所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为 . 题型 统计与概率的应用 16 （2）用分层抽样的方法从使用手机时间在和 的两组学生中抽取5人，再从这5人中 随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率. [答案] 用分层抽样的方法抽取5人，则在组的有3人，记为，，，在 组的有2 人，记为， ， 从5人中抽取2人的所有样本点：，，，，，，，，， ，共10个， 来自不同组的样本点：，，，，， ，共6个， 故所求概率 . 题型 统计与概率的应用 17 8.[山东济宁一中2024期末] 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部 介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ， ， 第八组 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方 图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4. （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求第七组的频率； 【解】第六组的频率为 ， 所以第七组的频率为 ． 题型 统计与概率的应用 18 （2）估计该校800名男生身高的平均数和 分位数； [答案] 由直方图得，身高在第一组的频率为 ， 身高在第二组的频率为 ， 身高在第三组的频率为 ， 身高在第四组的频率为 . 设这所学校的800名男生的身高分位数为 ， 由于， ，则 ， 由，得 ，所以这所学校的800名男生的 身高的分位数为 . 平均数为 ． 题型 统计与概率的应用 19 （3）若从样本中身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别 为,，记满足为事件，求 . [答案] 第六组的人数为4，设4人分别为,,, ， 第八组的人数为，设2人分别为, ， 则从中随机抽取两名男生的样本点有，，，，，，，，，， ， ，，， ，共15种， 因为事件 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件包含的样本点有，，，，，， ，共7种． 所以 . 题型 统计与概率的应用 20 5.4 5.4 统计与概率的应用 刷能力 21 建议用时：45分钟 1.[广东佛山2024高二期中] 甲、乙两位同学将高一6次数学测试成绩（成绩为整数，满分为100 分）记录如下表，其中乙同学的第5次成绩的个位数被污损． 次数 1 2 3 4 5 6 甲 95 87 88 92 93 85 乙 85 86 86 99 9_____ 88 则甲同学的平均成绩高于乙同学平均成绩的概率是( ) B A. B. C. D. 22 解析 由题意可得 ， 设被污损的数字为，则 ．若 ，则，解得 ， 即 所有可能的取值为0,1,2,3,4,5， 故结合古典概型概率计算公式可得，甲同学的平均成绩高于乙同学平 均成绩的概率 ．故选B． 23 2.“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布” 三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种 手势不分胜负需继续比赛.假设甲、乙两人都是等可能地做这三种手势. （1）列举一次比赛时两人做出手势的所有可能情况； 【解】一次比赛所有可能出现的结果用树形图表示，如图所示. （2）求一次比赛甲取胜的概率，并说明“石头、剪刀、布”这个广为流传的游戏的公平性. [答案] 由（1）中树形图可知，一次试验可能有9种结果，记“甲、乙不分胜负”为事件 ，“甲 取胜”为事件，“乙取胜”为事件，则事件，， 各含有3个样本点，则 ，由此可见，此游戏对于甲、乙两人公平. 24 3.[山西晋城一中2024高二调研考试] 某省从2021年开始，高考不分文理科，实行“ ” 模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史 这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科 目中选择2门.已知某大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至 少1门. 25 （1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的概率； 【解】用，分别表示“选择物理”“选择历史”，用，，， 分别表示“选择化学”“选 择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间,,,,,,,,,,, ， . 设 “从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求”， 则,,,,， ， . 26 （2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科 组合符合该大学临床医学类招生选科要求的概率. [答案] 设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求的事件分别是 ，，，由题意知事件，，相互独立，由（1）知 . 记 “甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合该大学临床医学类招生选科要求”， 则 . 易知事件，， 两两互斥， 则根据互斥事件概率加法公式得 . 27 4.[山东淄博实验中学2023高一期末] 2022年4月16日神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场 成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．在太空停留期间，航天员们开展了两次 “天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣．为此，某 班组织了一次“航空知识答题竞赛”活动，竞赛规则：两人一组，两人分别从3个题中不放回地 依次随机选出2个题回答，若两人答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”．现甲、 乙两位同学报名组成一组，已知3个题中甲同学能答对的题有2个，乙同学答对每个题的概率均为 ，并且甲、乙两人选题过程及答题结果互不影响． 28 （1）求甲同学选出的两个题均能答对的概率； 【解】设三个题中甲能答对的题的编号为,,答错的题的编号为1,则样本空间, , ,,, ,共有6个样本点, 两个题均能答对的有2个样本点, 由古典概型的概率公式可得甲同学选出的两个题均能答对的概率为 . 29 （2）求甲、乙二人获称“优秀小组”的概率． [答案] 设表示“甲答对的题数为”，表示“乙答对的题数为”， 表 示“甲、乙二人获称‘优秀小组’”. 由（1）知或 . 由事件的独立性得， . 由题意得 . 又事件,,两两互斥，事件与相互独立，且 ， 所以 . 所以甲、乙二人获称“优秀小组”的概率为 . 30 5.[辽宁部分高中2024高一期末] 某次数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有参加竞 赛的学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组： ， ， ，并绘制成如图所示的频率分布直方图. 31 （1）补全频率分布直方图，若只有 的人能进入决赛，则入围分数应设为多少分（保留两位 小数）? 【解】由频率分布直方图可知，成绩在 的频率为 ， 所以组的纵轴为 ，所以补全频率分布直方 图如图所示. 又 ， ， 所以分位数位于内，为 ，所以 入围分数应设为76.25分. 32 （2）采用分层抽样的方法从成绩为 的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽 取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率. [答案] 依题意从内抽取 人，标记为1,2,3,4； 从内抽取人，标记为， . 从6人中随机选2人，其样本空间为 ,,,,,,,,,,,,, , ， 共包含15个样本点，即有15种选法． 设事件 “至少有1名学生成绩不低于90”， 则其中2人成绩都在内的样本点有,,,,, ，共有6个， 即有6种选法． 则 ， 所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为 . 33 （3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要 考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，， 五个等级，若两科笔试成绩均为 ，则不需要第二轮面试直接参加冬令营活动；若一科笔试成绩为 ，另一科笔试成绩不低于 ，则要参加第二轮面试，面试通过也可参加冬令营活动，其他情况均不能参加活动.现有甲、乙 二人报名参加考试.甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，， ；乙在 每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，， ；甲、乙在面试中通过的概率分 别为， .已知甲、乙二人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时参加冬令营活动的 概率. 34 [答案] 依题意甲能参加冬令营活动的概率 ， 乙能参加冬令营活动的概率 ， 所以甲、乙能同时参加冬令营活动的概率 ． 35 $$