第4章 指数函数、对数函数与幂函数 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4 第四章素养检测 刷速度 2 1.若，， ，则下列各式中恒等的是( ) C A. B. C. D. 3 解析 ，与不一定相等， 该式不恒等；， 与不一定相等， 该式不恒等；， 该式恒等，该选项正确； ，与不一定相等， 该式不恒等.故选C. 4 2.[辽宁省实验中学2024高一阶段测试] 设函数存在反函数 ，且函数 的图象过点，则函数 的图象一定过点( ) A A. B. C. D. 5 解析 因为函数的图象过点，所以，解得，即 的图象过点，所以的图象过点，的图象过点 ，所以 的图象过点 ，故选A. 6 3.已知函数的定义域为，在任意区间内的平均变化率均比 的平均变化率大， 则下列不等式正确的是( ) D A. B. C. D. 7 解析 取区间，则有 ，即 .而 , . 8 4.[广东湛江2024高一月考] 函数 的大致图象是( ) A A. B. C. D. 9 解析 由且定义域为,得 是偶函数,排除D； 当时,,则,此时 ,排除C； 当 时, , ,但随的增大,的增长速度比 快, 所以 ,排除B.故选A. 10 5.已知，,，，则，， 的大小关系正确的为( ) B A. B. C. D. 11 解析 由，得 ， 由指数函数的单调性，单调递减，故 ， 由幂函数的单调性，在上单调递增，故 ， 综上， .故选B. 12 6.有一组实验数据如表所示： 1 2 3 4 5 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是( ) C A. B. C. D. 13 解析 由所给数据可知随 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越 来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C. 14 7.[山东青岛二中2024高一月考] 函数 的零点所在的区间为( ) C A. B. C. D. 15 解析 ， ， ，为连续函数，且在 上单调 递增，由函数零点存在定理得的零点所在的区间为 .故选C. 16 8.若 ，则( ) B A. B. C. D. 17 思路导引观察题中不等式，两侧底数相同，但是指数参数不相同，可以尝试移项得 ，则可构造函数，利用函数的单调性判断, 之间的关系. 18 解析 ， . 设，则原不等式等价于 . 函数在上单调递增， ， ，故选B． 19 9.[山东临沂2024高一阶段测试] 如图表示一位骑自 行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 的甲、乙 两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数 关系，下列说法正确的是( ) AB A.骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到 B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动 C.骑摩托车者在出发 后追上了骑自行车者 D.骑摩托车者在出发 后与骑自行车者速度一样 20 解析 由时间轴可知，骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到 ，A正确； 骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与 时间的函数图象是折线，所以是变速运动，B正确； 摩托车速度为，骑摩托车者出发后距离骑自行车者 ，自行车后两小时的速度为 ，故骑摩托车者还需要追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发 后追上了 骑自行车者，故C，D错误.故选 . 21 10.已知幂函数为偶函数，则关于函数 ，下列结论正确的 是( ) CD A.的图象关于原点对称 B.的值域为 C.在上单调递增 D. 22 解析 因为是幂函数,所以,解得或 , 又因为是偶函数,所以, , 故 . 对于A，由，得，所以的定义域为 ， ， 故是偶函数，图象关于 轴对称，故A错误; 对于B，，由于，所以，所以 ， 故的值域为 ，故B错误； 对于C，,由于在上单调递增，故在 上单调递 减，故在 上单调递增，故C正确； 对于D，，从而，故D正确.故选 . 23 11.[河北邯郸部分学校2024高一联考] 已知函数 ，则( ) ABC A.函数 至多有2个零点 B.当时，，总有 成立 C.函数 至少有1个零点 D.当时，方程 有3个不同实数根 24 解析 对于A选项,令,可得,令,得,可得 , 故当时,函数有2个零点,所以函数 至多有2个零点,A正确. 对于B选项,当时,函数在 上单调递增, 函数在上单调递增,且 , 所以当时,函数在 上为增函数, 故当时,,不妨设,则,则 ,B正确. 对于C选项,当时,函数在上无零点,在上有唯一零点 ； 当时,函数 有两个零点； 当时,函数在上有唯一零点,在 上无零点. 综上所述,函数 至少有一个零点,C正确. 25 对于D选项,当时, 令,则方程为 . 当时,由可得,解得 ； 当时,由可得,解得 . 当时,由可得,即,解得 , 由可得,即,解得 ； 当时,由可得,即 ,该方程无解, 由可得,解得 . 综上所述,方程的解集为,,, , 所以当时,方程有4个不同实数根,D不正确.故选 . 12.[湖南长沙长郡中学2023月考] 已知函数若，则 ______________． 或或 解析 若,则，即，即或，解得 或 ； 若,，即 . 综上，或或 . 27 13.表示，两者中较大的一个．记,， ， ，则 的最小值为___． 2 解析 如图，作出函数， 的图象， 则实线部分即为函数 的图象， 由图可知，当时， 有最小值2， 所以， 的最小值为2. 28 14.设函数则不等式 的解集为_________. 解析 函数的大致图象如图所示，由图可知，函数是 上的增函 数，当时， . （1）当时， ，不等式显然成立. （2）当时， ， ，不等式 成 立. （3）当时， ，解得 . 综上所述，不等式的解集为 . 29 15.（本小题满分13分）[山东省实验中学2024高一阶段测试] 计算： [答案] . （1） ; 【解】 . （2） . [答案] . 30 16.（本小题满分15分）[湖北荆门2024高一期末] 已知函数 ． （1）若对任意，不等式恒成立，求实数 的最小值； 【解】不等式，即为 ， 化简，即对任意 恒成立， 记 . 由于时，，则 ， 所以，故 的最小值为2. 31 （2）对于函数，若，，，，，为某一三角形的三边长，则称 为 “可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数 的取值范围． [答案] 由于函数 是“可构造三角形函数”， 所以恒成立，所以 . 根据条件知，必有 . 当时，是上的增函数，则的值域为，则，得 . 当时， ，符合题意； 当时，是上的减函数，则的值域为，则，得 . 综上，实数的取值范围为 . 32 思路导引第（1）问直接利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，求出参数的取 值范围后即可得参数的最小值；第（2）问根据已知条件将问题转化为 ， ，再利用函数单调性与函数最值的关系求解. 33 17.（本小题满分15分）[宁夏银川一中2024高一期末] 为践行“绿水青山，就是金山银山”的理 念，我省决定净化某条河上游水域的水质.省环保局于2022年年底在该河上游水域投入一些蒲草， 这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2023年2月底测得蒲草覆盖面积为 ，2023年3月底 测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份 （单位：月）的关系有两个函 数模型与 可供选择. （1）分别求出两个函数模型的解析式. 34 【解】若选择模型 , 则解得, , 故函数模型为 . 若选择模型 , 则解得, , 故函数模型为 . 35 （2）若2022年年底测得蒲草覆盖面积为 ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型， 说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到 ？（参考数据： ， ）. [答案] 把代入,可得 , 把代入,可得 ,因为26.4与20相差比较大, 故选择模型 更合适. 令,可得 , 两边取对数可得 , 即 , 所以,至少要到2024年2月底蒲草覆盖面积能达到 . 36 18.（本小题满分17分）已知函数的定义域为.若对于任意,，且 ，都有 ，则称函数 为凸函数. （1）函数，， 是“凸函数”的是____（填序号）； ③ （2）若函数（，为常数）是凸函数，求 的取值范围； 【解】函数定义域为，对于任意的，且 ， . 根据题意，因为，所以 . 故的取值范围是 . 37 （3）写出一个定义在上的凸函数，满足 .（只需写出结论） [答案] .（注：答案不唯一） 38 19.（本小题满分17分）[浙江绍兴2024高一期中] 已知定义在上的函数满足：对任意 , 都有，且当时， . （1）求的值，并证明： 为奇函数； 【解】令,可得,可得 . 因为函数的定义域为 , 在等式中,令,有 , 所以,所以 为奇函数. 39 （2）证明：函数在 上单调递增； 【证明】令, , 则 , 设,则,所以 . 所以 , 即 , 所以函数在 上单调递增. 40 （3）若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 【解】因为 , 所以 , 又函数在上单调递增,所以,则 . 令,则,于是 , 当且仅当时, 取最大值1, 所以实数的取值范围为 . 41 $$