第4章 指数函数、对数函数与幂函数 高考强化-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4 第四章高考强化 刷真题 2 1.[天津2022·6,5分] 化简 ( ) B A.1 B.2 C.4 D.6 考点1 指数、对数的计算 3 解析 原式 . 考点1 指数、对数的计算 4 2.[天津2021·7，5分] 若,则 ( ) C A. B. C.1 D. 考点1 指数、对数的计算 5 解析 因为，所以，，所以 ， 故选C. 考点1 指数、对数的计算 6 3.[浙江2022·7，4分] 已知,,则 ( ) C A.25 B.5 C. D. 考点1 指数、对数的计算 7 解析 因为，所以， ，所以 ，故选C． 考点1 指数、对数的计算 8 4.[北京2023·11,5分] 已知函数，则 ___. 1 考点1 指数、对数的计算 9 解析 因为 , 所以 . 考点1 指数、对数的计算 10 5.[天津2023·3，5分] 设,,，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 11 解析 依题意,函数在上单调递增,因为,所以,即 . 又,所以 .故选D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 12 方法总结解答指数、对数式比较大小问题的方法：①同底数的指数或对数式可以利用指数或对数 函数的单调性比较大小；②不同底的指数、对数式，先看是否能化成同底，如不能，则可借助于 中间值0,1等比较大小. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 13 6.[全国新高考Ⅱ2021·7，5分] 设，， ，则( ) C A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 14 解析 因为，，所以 .故选C. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 15 7.[全国甲文2022·12，5分] 已知,, ，则( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 16 思路导引 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 17 解析 因为，所以 . 又因为，所以 ，即 .故，所以 . 因为，所以 ，即 .故，所以.综上 , 故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 18 8.[全国甲文2023·11，5分] 已知函数.记,, ,则 ( ) A A. B. C. D. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 19 解析 由题意得,则函数的图象关于直线对称,且在 上单调递 增,在 上单调递减. 因为,所以,.因为 ,所以 ,故选A. 考点2 应用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小 20 9.[山东理2015·10，5分] 设函数则满足的 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 考点3 根据条件求值或范围 21 解析 当时，,所以，即符合题意；当 时， ,若，则,即,,所以 . 综上，的取值范围是 ，故选C. 考点3 根据条件求值或范围 22 10.[［全国新高考Ⅰ2021⋅13，5分] ］已知函数是偶函数，则 ___. 1 解析 由题意可知函数为定义在上的偶函数，则 ，即 ，整理得恒成立，解得 . 考点3 根据条件求值或范围 23 多种解法由题意可知函数为定义在上的偶函数，则 ，解 得.则,是 上的偶函数. 考点3 根据条件求值或范围 24 11.[上海春季高考2021·8，5分] 已知函数的最小值为5，则 ___. 9 解析 ， 所以，经检验， 时等号成立． 考点3 根据条件求值或范围 25 12.[课标全国Ⅲ理2017⋅15，5分] 设函数则满足的 的 取值范围是__________. 解析 ①当时， , 即,, . ②当时，,即, . 图① 画出与 的大致图象，如图①. 由图可知的图象在时始终在直线上方， 不等式 恒成立. . 考点3 根据条件求值或范围 26 ③当时， , 图② 即的图象相当于的图象向右平移 个单位，画出 的图象如图②. 由图知的图象在时始终在直线上方. 恒成立， .综上， . 考点3 根据条件求值或范围 27 13.[天津2021·3，5分] 函数 的图象大致为( ) B A. B. C. D. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 28 解析 设,则的定义域为，且，故函数 为偶 函数，其图象关于轴对称，排除A，C；又当时，,，所以 , 排除D，故选B. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 29 方法总结函数图象的识别问题的解题策略：（1）确定函数的定义域；（2）研究函数的奇偶性、 周期性、图象的对称性；（3）特殊点处函数值的大小（与0比较）；（4）函数在某个区间内的 单调性；（5）极限思想，当 或 时， 的变化趋势. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 30 14.[全国新课标Ⅱ2023⋅4，5分] 若为偶函数，则 ( ) B A. B.0 C. D.1 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 31 解析 由,得或,故的定义域为.由 为偶函数可知 ,即,化简得 .又 ,即,所以,解得 ,故选B. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 32 多种解法 设,,则 .因为 ,所以为奇函数.又为偶函数,所以 为奇 函数,所以 ,故选B. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 33 15.[全国新课标Ⅰ2023⋅4，5分] 设函数在区间单调递减，则 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 34 解析 因为在上是增函数,所以函数在 上单调递减,所以 ,解得,即的取值范围是 ,故选D. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 35 16.[北京2023⋅4，5分] 下列函数中，在区间 上单调递增的是( ) C A. B. C. D. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 36 解析 对于A,因为在 上单调递增, 所以在 上单调递减,故A错误； 对于B,在 上单调递减,故B错误； 对于C,因为在 上单调递减, 所以在 上单调递增,故C正确； 对于D,因为,, , 所以在 上不单调,D错误.故选C. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 37 17.[全国乙文2022·16,5分] 若是奇函数，则____， _____. 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 38 思路导引函数解析式变形确定函数定义域的不等式组 的值由奇函数在 处有意义求出 的值 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 39 解析 ，定义域为不等式组的解集．因为函数 为奇函 数，所以其定义域关于原点对称，由，易知，所以函数 的定义域中一定不含 有，所以是方程的根，即，解得 .所以 ，所以函数的定义域为．由函数 为奇 函数知，所以，解得 ． 考点4 指数函数、对数函数与幂函数的性质应用 40 18.[课标全国Ⅰ理2018⋅9，5分] 已知函数.若 存在2 个零点，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 考点5 指、对、幂函数的零点问题 41 解析 函数存在2个零点， 函数的图象与 的图象有2个交点.如图，平 移直线,可以看出当且仅当即时，直线与 的图象有2个交 点.故选C. 考点5 指、对、幂函数的零点问题 42 19.[山东理2017⋅10,5分] 已知当时，函数的图象与 的图象有 且只有一个交点，则正实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 考点5 指、对、幂函数的零点问题 43 解析 当时，的值域为，且在 上单调递增. . 由，当,即时，函数在 上单调递减，值域为 .两函数图象有且只有一个交点，如图①. 图① 图② 考点5 指、对、幂函数的零点问题 44 当,即时，函数在上单调递减，在 上单调递增，值域为 .如图②,若两函数图象在上有且只有一个交点，则 解 得 . 综上，的取值范围是 .故选B. 考点5 指、对、幂函数的零点问题 45 20.[北京2021⋅15,5分] 已知函数 ，给出下列四个结论: ①当时， 恰有2个零点; ②存在负数，使得 恰有1个零点; ③存在负数，使得 恰有3个零点; ④存在正数，使得 恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是________. ①②④ 考点5 指、对、幂函数的零点问题 46 思路导引 考点5 指、对、幂函数的零点问题 47 解析 令，得.对①，当时，，即或 ，则 或，所以方程有两个不等实数根，即 有2个零点，故①正确. 对②和③，的零点个数即为函数与函数 图象的交点个数，画出函数 的图象，如图，的图象过定点.当 时，由图象可以看出，当 与函数的图象相切时，两函数图象有一个公共点，即，使得 有1 个零点，而两函数图象最多有两个交点，所以当时， 不可能有3个零点，故②正确，③ 错误； 当时，由图象可以看出，与函数 的图象可能有一个、两个或三个交点， 所以,使得 有3个零点，故④正确.正确的序号为①②④. 考点5 指、对、幂函数的零点问题 48 名师点拨的零点个数即为方程的根的个数，也为函数 与函数 图象的交点个数. 考点5 指、对、幂函数的零点问题 49 21.[天津2023·15，5分] 设,函数.若 恰有两个零点， 则 的取值范围为________________________. 考点5 指、对、幂函数的零点问题 50 思路导引 令判断的正负分类讨论去绝对值,化简 的解析 式 的取值范围 考点5 指、对、幂函数的零点问题 51 解析 令,则 , 当时,,恒成立,此时 . 当时,令,则,当 时, , 有且仅有两个零点； 当时,, 有且仅有一个零点,不符合题意, 所以或或 . 当或时,,方程有两个不等实根,设为,, , 所以 考点5 指、对、幂函数的零点问题 52 设,令,解得或 ；设 ,令,解得或 . 当时,,,所以 有且仅有两个零点,符合题意. 当时,因为,且 , 所以 有且仅有两个零点,符合题意. 综上所述,的取值范围为 . 考点5 指、对、幂函数的零点问题 53 22.（多选）[全国新课标Ⅰ2023⋅10，5分] 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的 强弱，定义声压级,其中常数是听觉下限阈值， 是实际声压.下表为不同 声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为,, ,则( ) ACD A. B. C. D. 考点6 函数的应用 54 解析 由,对于燃油汽车,即 , ,即 ；同理,对于混 合动力汽车；对于电动汽车,则 , ,,选项C正确.,选项A正确. ,则 ,选项B错误.,则,选项D正确.故选 . 考点6 函数的应用 55 23.[北京2022·7，4分] 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带” 使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作 出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和 的 关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是 .下列结 论中正确的是( ) D A.当， 时，二氧化碳处于液态 B.当, 时，二氧化碳处于气态 C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态 D.当, 时，二氧化碳处于超临界状态 考点6 函数的应用 56 解析 对于A选项，当，时， ，根据题图可知，二 氧化碳处于固态； 对于B选项，当，时， ，根据题图可知，二氧化碳处于液态； 对于C选项，当，时，，且 接近于4，根据题图 可知，二氧化碳处于固态； 对于D选项，当，时， ，根据题图可知，二氧化碳处于超临 界状态.故选D. 考点6 函数的应用 57 24.[全国甲理2021·4，5分] 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量， 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据 满足 .已知某同学视力的五分记录法的数据为 ，则其视力的小数记录法的数据约为 ( ) C A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 考点6 函数的应用 58 解析 将代入,得,即 ,故选C. 考点6 函数的应用 59 名师点拨（1）且, . （2） . 考点6 函数的应用 60 25.[全国新高考Ⅰ2020·6，5分] 基本再生数与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基 本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎 疫情初始阶段，可以用指数模型:描述累计感染病例数随时间 （单位:天）的变化规 律，指数增长率与,近似满足.有学者基于已有数据估计出， .据此， 在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 ( ) B A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 考点6 函数的应用 61 解析 由,,，得，代入，得 .在疫情初始 阶段，累计感染病例数增加1倍，则可令，两边取对数，得 ， 所以 ，即在疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8天.故 选B. 考点6 函数的应用 62 名师点拨在疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，可将原看作1，则现在的 为2，代入 公式得到的时间即为在疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间. 考点6 函数的应用 63 4 第四章高考强化 刷原创 64 1.已知指数函数为增函数，且图象过点,,，则 满足( ) C A.当时，有最大值 B.当 时，有最大值5 C.当时，有最小值32 D.当 时，有最小值2 65 解析 因为为增函数,所以,又,,则, , , , 又,取倒数后整理可得 . ,则,当时,, ,故 ,由对勾函数的性质知在 上单调 递增,故 . 又由于递增,递减,且, ,则 ,B，D错误.当时，, ,故 ,当且仅当 时等号成立,C正确.故选C. 66 2.实数,,, 从小到大排列为_____________________. 解析 因为,,则由在上单调递增,在 上单调递 增,知,故,又由函数 为增函数,得 ,则 . 67 3.已知函数 . （1）判断函数 的单调性，并证明； 【解】函数在 上单调递增. 证明：对,,则,则函数的定义域为 . 又,即,故函数 为奇 函数. 任取 ,则 ,故,因此 ,所以函数 在区间 上单调递增. 又函数为上的奇函数,所以函数在 上单调递增. 68 （2）函数，若对任意满足的正数,，都有 ，求 实数 的取值范围. [答案] 因为,在上单调递增,所以,即 , 故 , 因为,当且仅当时等号成立,所以 ,因此 , 所以 的取值范围为 . 69 4.已知函数 （1）若，，都有，求解关于的方程 ； 【解】由题意知,因为为减函数,故 .若,则时,,,与 矛盾,不符合题 意,故 . 又,则当,即时, ,故 , . 当,即时,,由在区间 上单调递增,且 ,得,即 . 所以方程的解集为, }. 70 （2）若函数的图象上存在关于直线对称的点，求实数 的取值范围. [答案] 因为曲线关于直线对称的曲线为,则函数 的图象上若存在关于 直线对称的点,即曲线与的图象在 上有公共点, 故,使,即在 时成立. 因为函数在上单调递增,所以函数在 上单调递增,当 时, ,当时, . 所以,即的取值范围为 . 71 $$