专题1 指数函数、对数函数与幂函数-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 1 专题1 指数函数、对数函数与幂函数 刷难关 2 1.[吉林省实验中学2024高一期中] 设，， ，则( ) B A. B. C. D. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 3 解析 由函数是增函数,且,故,即 ； 又函数是增函数,所以,即.故 .故选B. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 4 归纳总结 比较幂值大小的三种类型及常用方法 （1）底数相同、指数不同：用指数函数的单调性比较.对于指数函数，当 时在上单调递减，当时在 上单调递增. （2）底数不同、指数相同：方法一，根据不同底数的指数函数的图象规律，在第一象限，底数 越大，函数值越大，画出指数函数图象的简图，然后观察、比较指数取相应值时对应的函数值的 大小.方法二，利用幂函数的单调性，对于幂函数 ,当时，在 上单调递减，当 时，在 上单调递增. （3）底数不同、指数也不同:采用中间量法.取中间量1,其中一个大于1,另一个小于1;或者以其中 一个指数式的底数为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如，要比较与的大小，可取 为 中间量,与利用指数函数的单调性比较大小,与 利用幂函数的图象及单调性比较大小. 中间量1有时也可用在类型（1）或类型（2）中. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 5 2.[辽宁葫芦岛协作校2024高一月考] 已知,, ，则( ) D A. B. C. D. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 6 解析 因为,, , 所以 , 所以 .故选D. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 7 归纳总结 利用指数函数、对数函数的性质比较大小的常用方法 （1）作差法； （2）作商法； （3）利用函数的单调性（指数式和对数式经常化为同底）； （4）图象法； （5）构造中间量法,比如和0, 进行比较. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 8 3.已知函数为上的偶函数，对任意,， ，均有 成立，若,,，则,, 的大小关系是 ( ) C A. B. C. D. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 9 解析 因为对任意,，,均有 成立， 所以函数在 上单调递减. 因为函数为 上的偶函数， 所以，函数在 上单调递增. 因为， ， 所以 ， 所以，即 .故选C. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 10 名师点拨利用函数的奇偶性比较函数值的大小，可将待比较的各函数值中自变量的值化在函数的 同一单调区间内，比较出自变量的大小后由函数单调性得出函数值的大小. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 11 4.（多选）若 ，则( ) BD A. B. C. D. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 12 思路导引先由变形为，构造函数 ，利用 其单调性，得到， 的大小关系，再逐项判断. 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 13 解析 若，则 ， 令，因为,都为增函数，所以为增函数，所以 . 对于A，取，，则 ，故A错误； 对于B，因为函数为减函数，所以 ，故B正确； 对于C，因为函数在,上单调递减，所以当或 时， ，故C错误； 对于D，设函数易知函数 为增函数， 因为，所以，故D正确.故选 . 题型1 利用指数函数、对数函数与幂函数的性质比较大小 14 5.已知，，其中且，且.若，则 的值为( ) A A. B. C.2 D.3 题型2 指数与对数的运算 15 解析 因为，所以，得 ， 所以 , 即.因为，所以，解得 .故选A. 题型2 指数与对数的运算 16 6.[辽宁大连八中2023高一期中] 已知函数（其中 ，且 ）.若，则 ( ) A A. B.2 C. D. 题型2 指数与对数的运算 17 解析 由可得，又，且，解得 ， 所以， ，故选A. 题型2 指数与对数的运算 18 7.[山东新泰一中2024高一月考] 求值： ____. 11 解析 . 题型2 指数与对数的运算 19 8.记，则关于的方程 的解集为____. 解析 因为 , 所以方程可化为 ， 令，则可化为，解得或 （舍去）， 所以，解得 ， 所以方程的解集为 . 题型2 指数与对数的运算 20 9.（多选）[黑龙江大庆铁人中学2024高一期中] 若为函数 图象上的 一点，则下列选项正确的是( ) ABC A.为函数图象上的点 B.为函数 图象上的点 C.为函数图象上的点 D.为函数 图象上的点 题型3 指数函数、对数函数与幂函数的图象 21 解析 为函数 图象上的一点, ,,则为函数 图象上的点,故A正确； ,,则为函数 图象上的点,故B正确； ,,则为函数 图象上的点,故C正确； ,,故D错误.故选 . 题型3 指数函数、对数函数与幂函数的图象 22 10.[四川成都树德中学2023高一月考] 已知函数,, 的图象如图所示，则( ) C A. B. C. D. 题型3 指数函数、对数函数与幂函数的图象 23 解析 由题图知，过点的是的图象，过点的是的图象，过 点的是 的图象， 因此,, ， 所以，，，即 ，故选C. 名师点拨正确识别函数的图象，需要熟悉简单函数的图象，更要准确把握图象的性质. 题型3 指数函数、对数函数与幂函数的图象 24 11.[山东济南一中2024开学考试] 函数 的图象大致为( ) A A. B. C. D. 题型3 指数函数、对数函数与幂函数的图象 25 解析 由函数，令，解得，则的定义域为 ，关于原 点对称，又，所以函数 在定义域内为偶函数，排除C，D选项.因为 ，观察选项可知，A正确.故选A. 题型3 指数函数、对数函数与幂函数的图象 26 12.[广东广州九区2024高一期末联考] 函数， ， ，若，则 的值为( ) C A.4 B.4或 C.2或 D.2 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 27 解析 由题意得, , 令,则 , 则函数, , 即, . 当时,在上单调递增,由可得 ,解得 ； 当时,在上单调递减,由可得 , 解得 . 故的值为2或 ,故选C. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 28 13.[云南师大附中2023高一期中] 已知函数若关于 的不等式 的解集为，则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 29 解析 当时，在上单调递增且 ； 当时，在上单调递增且 ， 所以在 上单调递增. 所以由，可得 ， 由题可知的解集为 ， 当时， 恒成立，符合题意； 当时，则有 解不等式组得 . 综上可得，当时，的解集为 .故选D. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 30 14.已知幂函数在上单调递增，函数 ， ，，使得成立，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 31 解析 因为幂函数在上单调递增，所以 解得 ，即 . 当时，的取值范围为 . 又因为函数在上为增函数，所以当时，的取值范围为 . 因为，，使得成立，所以, ， 即，解得 .故选A. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 32 15.［山东省实验中学2024高一阶段测试］函数的定义域为，函数图象过点 ，对任意 ，都有，则不等式 的解集为( ) C A. B. C. D. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 33 解析 依题意可得，且对任意，都有，即对任意 ，都有 ，即，令，则对任意 ,都 有，所以在定义域上单调递减，且 .不等式 ，即 ，即 ，等价于，所以，则 ，所以 ，即不等式的解集为 .故选C. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 34 16.已知函数的定义域为，若满足在内是单调函数；②存在使 在 上的值域为，则称为“半保值函数”.若函数 且是“半保值函数”，则实数 的取值范围为_______________. 解析 已知函数且是“半保值函数”，且定义域为，当 时，在上单调递增，在上单调递增，可得在 上单调递增；同 理当时，在上也单调递增，所以在其定义域 内单调递增.因为函数 且是“半保值函数”，所以与 的图象 有两个不同的交点，即方程有两个不同的根，即 有两个不同的根, 即有两个不同的根.令，，即 有两个不同的正实根， 可得，且，解得 . 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 35 17.[重庆一中2024高一期中] 已知函数的图象恒过定点，其中 且 . （1）求实数的值，并研究函数 的奇偶性； 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 36 【解】因为函数的图象恒过定点 , 所以,则,得 , 所以 . 所以 , 由,得,即的定义域为 ,关于原点对称. 令 , 因为 , 所以为奇函数,即函数 为奇函数. 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 37 （2）函数，关于的方程恰有唯一解，求实数 的取值范围. [答案] 由,得 , 所以 由,得,解得 . 由,得 , 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 38 因为,当且仅当,即 时取等号, 所以,得 . 由,得 , 整理得 , 得,解得或 . 因为关于的方程 恰有唯一解, 所以或 解得（舍去）或 . 综上,实数的取值范围为 . 题型4 指数函数、对数函数、幂函数性质的综合应用 39 $$