4.6 函数的应用（二）-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.6 4.6 函数的应用（二） 刷基础 2 1.[陕西西安高新区一中2024高一期中] 如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展 和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位： ）满足函数关系 （，为常数），若该果蔬在的保鲜时间为，在的保鲜时间为 ，那 么在 时，该果蔬的保鲜时间为( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的应用 3 解析 由题得, , 所以时,,此时 .故选D. 题型1 指数函数的应用 4 2.[广东六校2024高一期中联考] 为了抗击新型冠状病毒感染疫情，保障师生安全，某校决定每天 对教室进行消毒工作.已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（单位：）与时间 （单位：）成正比;药物释放完毕后，与 的函数关系式为 .据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 以下时，学生方可 进教室，则学校应安排工作人员至少提前( ) 分钟进行消毒工作 C A.30 B.40 C.60 D.90 题型1 指数函数的应用 5 解析 因为药物释放完毕后，即时，室内空气中的含药量（单位：）与时间 （单位：）的函数关系式为，且图象过点，所以，所以 ， 解得,所以 . 令，解得 ，所以工作人员应至少提前60分钟进行消毒工作. 题型1 指数函数的应用 6 3.[重庆一中2024高一期中] 宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学.2023年诺贝尔物理学奖颁给 了“阿秒光脉冲”，光速约为，1阿秒等于.现有一条 的线段，第一次截 去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，若要使其长度小于光在1阿秒内走的距离，则需 要截（参考数据：, ）( ) B A.30次 B.31次 C.32次 D.33次 题型1 指数函数的应用 7 解析 根据已知可得,光在1阿秒内走的距离为 . 设截次后,剩余的长度为（单位:）,则 . 令,可得,结合函数 的单调性,两边同时取对数可得 , 所以 .所以应当截31次.故选B. 题型1 指数函数的应用 8 4.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利 息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为 ，若放入某理财产品，年利率可达 .如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息____元．（参考数据： ，， ） 99 题型1 指数函数的应用 9 解析 将1 000元存入该理财产品，选择复利的计算方法， 则存满5年后的本息和为 （元）， 故共得利息 （元）， 将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为 （元）， 即获得利息（元），故可以多获利息 （元）. 题型1 指数函数的应用 10 5.[山东滨州2024高一竞赛] 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发 现鲑鱼的游速（单位：）满足函数关系，其中 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当 一条鲑鱼以 的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为( ) B A.2 500 B.2 600 C.2 700 D.2 800 题型2 对数函数的应用 11 解析 当鲑鱼静止时，，此时，则，即耗氧量 ；当鲑鱼以 的速度游动时，，此时，所以，则 ，即耗氧 量.因此当一条鲑鱼以 的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为 .故选B. 题型2 对数函数的应用 12 6.[辽宁大连八中2023高一月考] 我国的通信技术领先世界， 技术的数学原理之一是著名的 香农 公式，香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送 速率的公式，其中是信道带宽， 是信道内所传信号的平均功率 ，是信道内部的高斯噪声功率，其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变 的前提下， 将信噪比从99提升至 ，使得大约增加了，则 的值大约为（参考数据： ） ( ) C A.1 559 B.3 943 C.1 579 D.2 512 题型2 对数函数的应用 13 解析 由题意得 ， 则， ， .故选C. 题型2 对数函数的应用 14 7.[湖北部分重点中学2023联考] 恩格尔系数 ，国际上常用恩格尔 系数 来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕.某地区家庭2021年底 恩格尔系数为，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加 ，食 品消费支出总额增加，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足 达 到富裕水平，至少经过（参考数据：，， ， ） ( ) C A.8年 B.7年 C.4年 D.3年 题型2 对数函数的应用 15 解析 设经过年达到富裕水平，依题意有，即 ， 两边同时取以10为底的对数得，即 ， 故至少经过4年，可使该地区家庭恩格尔系数满足 达到富裕水平.故选C. 题型2 对数函数的应用 16 8.（多选）[江苏南通2024高一质量检测] 研究表明，地震时释放的能量（单位： ）与地震里氏 震级之间的关系为 ，则( ) BD A.震级为2级的地震释放的能量为 B.释放能量为 的地震震级为3级 C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍 D.释放能量之比为 的两场地震的震级相差2级 题型2 对数函数的应用 17 解析 对于A,当时,,解得 ,A错误； 对于B,当时,,解得 ,B正确； 对于C,令9级地震释放的能量为,8级地震释放的能量为 ,则 ,于是 ,C错误； 对于D,设释放的能量为,对应的震级为,释放的能量为,对应的震级为 , 则,且,两式相减得 ,解得 , D正确.故选 . 题型2 对数函数的应用 18 9.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度 （单位：A） 与电线半径（单位：）的三次方成正比.若电流通过半径为 的电线时，电流强度为 ，则电流通过半径为 的电线时，电流强度为( ) D A. B. C. D. 题型3 幂函数的应用 19 解析 由已知，设比例系数为，则 . 由题意，当时，，故有，解得，所以 . 故当时， .故选D. 题型3 幂函数的应用 20 10.我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解 元一次方程组的算法，这是一种 效率极高的算法.按照这种算法，求解元一次方程组大约需要对实系数进行（ 为给定常数） 次计算.1949年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经 济学奖），利用当时的计算机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型 包含500个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知 数个数估计所需机时，结果最接近于( ) C A.机时 B.机时 C.机时 D. 机时 题型3 幂函数的应用 21 解析 设1机时能进行次计算，则由题意得 . 原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为 ， 则,故 , 故结果最接近于 机时,故选C. 题型3 幂函数的应用 22 11.[北京陈经纶中学2024高一期中] 某机构对一种病毒在特定环境下进行观测，每隔单位时间 进 行一次记录，用表示经过的单位时间数，用 表示病毒感染人数，得到的观测数据如表： 1 2 3 4 5 6 … （人数） … 6 … 36 … 216 … 若与的关系有两个函数模型可供选择：；.若经过 个 单位时间，该病毒的感染人数不少于1万人，则的最小值为（参考数据： ， ，， ）( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 易错点1 错用函数模型而致错 23 解析 若选,将和代入得 解得所以,代入有 ,不合题意. 若选,将和代入得 解得所以.代入有 ,符合题意. 依题意可令 , 即 , 则,又, , 所以,又 , 所以 的最小值为11.故选C. 易错点1 错用函数模型而致错 24 易错警示（1）当描述增长速度变化很快的情况时,选用指数函数模型. （2）幂函数模型可以描述增长速度不同的变化情况,当值较小 时,增长较慢； 当值较大 时,增长较快. 易错点1 错用函数模型而致错 25 12.[重庆育才中学2023高一期末] 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量 会按确定的比率衰 减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中 为常数），大约每经过 5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残 余量约占原始含量的 ，则可推断该文物属于( ) 参考数据： . 参考时间轴： D A.宋 B.唐 C.汉 D.战国 易错点2 忽视指数与对数的运算方法而致错 26 解析 设文物原有的碳14含量为1.依题意，当时，，而与死亡年数 之间的函数 关系式为 ， 则有，解得，于是得， . 当时，，于是得 ，解得 ， 由 得，对应朝代为战国， 所以可推断该文物属于战国.故选D. 易错警示忽视指数式与对数式的关系，不能充分应用指数式与对数式的互化解题. 易错点2 忽视指数与对数的运算方法而致错 27 4.6 4.6 函数的应用（二） 刷能力 28 建议用时：25分钟 1.[山东新泰一中2024高一月考] 人们通常以分贝（符号是 ）为单位来表示声音强度的等级.一 般地，如果强度为的声音对应的等级为（单位：），则有 .一架小型飞 机降落时，声音等级约为，轻声说话时，声音等级约为 ，则小型飞机降落时的声音 强度是轻声说话时声音强度的( ) C A.倍 B.倍 C.倍 D. 倍 29 解析 设当声音等级为时声音强度为，由题意，得 ，即 ，则， 设当声音等级为时声音强度为，由题意，得，即 ， .因为 ，所以小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声 音强度的 倍.故选C. 30 2.[四川绵阳2024阶段考试] 核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，核酸检测是用荧光定量 法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标 进行实时检测．已 知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本 扩增5次 后，数量变为原来的10倍，则的值约为（参考数据：， ）( ) C A.36.9 B.41.5 C.58.5 D.63.1 31 解析 设被标靶的没有扩增前数量为，由题意可得 ，所以 ，所以，可得， ，故选C. 32 3.[河北衡水中学2024高一期末] 为了贯彻落实《中共中央、国务院关于深入打好污染防治攻坚战 的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数 量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放 的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满 足函数模型，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有 的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， 为改良工艺的次数.假 设废水中含有的污染物数量不超过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排 放标准，则至少需要改良工艺（参考数据：， ）( ) B A.15次 B.16次 C.17次 D.18次 33 解析 由题意知, , 当时,,故, , 故 , 由得,即 , 则,而,故 , 故若该企业排放的废水符合排放标准,则至少需要改良工艺16次,故选B. 34 4.[广东佛山2024高一期末] 表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式中的参量 提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能.阿伦尼乌斯公式中的为反应速率常数， 为摩 尔气体常量，为热力学温度（单位为开尔文，简称开）， 为频率因子.已知某化学反应 的温度每增加10开，反应速率常数变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时， ________.（参考数据： ） 8 400 35 解析 根据题意,温度每增加10开,反应速率常数 变为原来的2倍, 则当温度从300开上升到400开时,反应速率常数变为300开时的 倍, 由 , 当开时, , 当开时, , 所以 , , , , , . 36 5.某市某区大力开展民心工程，近几年来对全区 的老房子进行“平改坡”（“平改坡”是指 在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善 住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年“平改坡”面积的百分比相等.若改造 到原来面积的一半，所用时间需10年.已知到今年为止，“平改坡”剩余面积为原来的 . （1）求每年“平改坡”的百分比. 【解】设每年“平改坡”的百分比为，则，即 ，解得 .即每年“平改坡”的百分比为 . 37 （2）问到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了多少年？（参考数据： ） [答案] 设到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了年，则，即 ， 解得 ，所以到今年为止，该“平改坡”工程已经进行了5年. 38 $$