4.5 增长速度的比较-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.5 4.5 增长速度的比较 刷基础 2 1.函数在区间上的平均变化率为3，则实数 的值为( ) D A.5 B.4 C.3 D.2 题型1 函数的平均变化率及大小比较 3 解析 由题意可得，故 .故选D. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 4 2.若函数，，在上的平均变化率分别记为,, ，则下面结 论正确的是( ) A A. B. C. D. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 5 解析 函数在上的平均变化率，函数在 上的平均变化率 ，函数在上的平均变化率，所以 .故 选A. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 6 规律方法求函数在区间 上的平均变化率的一般步骤：（1）求函数值的变化量 ; （2）计算平均变化率 . 题型1 函数的平均变化率及大小比较 7 3.[江苏徐州2024高二月考] 函数 的图象如图，则函数 在下列区间上平均变化率最大的是( ) C A. B. C. D. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 8 解析 由题图可知，在区间上，函数的图象最陡，即最大，所以函数在区间 上的平均变化率最大.故选C. 题型1 函数的平均变化率及大小比较 9 4.某公司的盈利（元）和时间（天）的函数关系是，假设 恒成立， 且， ，则这些数据说明第20天与第10天比较( ) D A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C.公司在亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 10 解析 函数 的平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了， 但还是增加的.故选D. 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 11 5.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八， 不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.如图所示是一段登山路线图,同样是登山，从 处 到处会感觉比较轻松，而从处到 处会感觉比较吃力,想想看，为什么？你能用数学语言来量化 段曲线的陡峭程度吗？ 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 12 【解】根据题图A,,的坐标计算出山路从到高度的平均变化率和山路从到 高度的平均变 化率，根据变化率越大山路越陡峭即可得结论.山路从到高度的平均变化率 ,山 路从到高度的平均变化率，， 山路从到比从到 要陡 峭．故从处到处会感觉比较轻松,而从处到 处会感觉比较吃力. 题型2 同一函数在不同区间内的变化趋势 13 6.[山西临汾2024高一期中联考] 在一次物理实验中某同学测量获得如下数据： 1 2 3 4 5 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482 下列所给函数模型较适合的是( ) D A. B. C. D. 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 14 解析 由所给数据可知随 的增大而增大,且增长速度越来越快,而A中的函数增长速度保持不变,B 中的函数增长速度越来越慢,C中的函数是随 的增大而减小,D中的函数符合题意.故选D. 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 15 7.[江西部分学校2023高一联考] 已知 ，则下列命题正确的是( ) A A.，，有成立 B.，，有 成立 C.，，有成立 D.，，有 成立 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 16 解析 因为，所以函数，， 均为增函数,且各类函数的增长速度为指 数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数,所以，，有 成立.故选A. 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 17 规律方法 对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势 函数 在区间 内的单调 性 增函数 增函数 增函数 增长的速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳 图象的变化 随着 的增大而快速 增大 随着 的增大而缓慢增大 随 值的不同而不同 题型3 不同函数在相同区间内的变化趋势 18 4.5 4.5 增长速度的比较 刷能力 19 建议用时：25分钟 1.[北京理工大学附中2024高一月考] 下列函数中，随着 的增长，增长速度最快的是( ) D A. B. C. D. 20 解析 依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数 函数模型,故随着的增长, 的增长速度最快.故选D. 21 2.[福建福州八县2024高一期中联考] 某地某一天内的气温（单位：）与时间 （单位：时） 之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段 内最高温度与最低温度的 差），与 之间的函数关系用图象表示，则下列图象正确的是( ) B A. B. C. D. 22 解析 由题意，且在上逐渐增大，在上不变，在 上逐渐增大，在 上不变，在上逐渐增大，且在上的值为4，在 上的值为8，只有B满 足，故选B． 23 3.（多选）[河南开封五县2024高一期中] 在同一坐标系中，对于函数与 的图 象，下列说法错误的是( ) AC A.与 的图象有两个交点 B.与 的图象有三个交点 C.，当时，的图象恒在 的图象的上方 D.，当时，的图象恒在 的图象的上方 24 解析 ,,,,,, , , 则可在同一坐标系内作出两函数图象如图所示. 显然两函数的图象有三个交点A,B,C,故A错误,B正确； 由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度, 所以当时,的图象恒在的图象的上方,故C错误,D正确.故选 . 25 4.如图所示为物体甲、乙在时间0到 范围内路程的变化情况，下列说法正确的是____. ③ ①在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度. 26 解析 在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①,②错误.在到 范围内，甲的平均速 度为，乙的平均速度为.因为，，所以 ，故 ③正确，④错误． 27 5.某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润（单位：元）与生产量 （单位：台）之 间的关系式为, . （1）求生产量为1 000台时的生产总利润与平均利润. 【解】生产量为1 000台时的生产总利润为 （元），平均利润为 （元/台）． （2）求生产量由1 000台增加到1 500台时，生产总利润的平均改变量. [答案] 当生产量由1 000台增加到1 500台时，生产总利润的平均改变量为 （元/台）． 28 （3）当生产量由1 500台增加到2 000台时，生产总利润的平均改变量相比由1 000台增加到1 500台时的平均改变量是增大还是减小，这说明什么问题？ [答案] 当生产量由1 500台增加到2 000台时，生产总利润的平均改变量为 （元/台），所以生产总利润的平均改变量相比由1 000 台增加到1 500台时的平均改变量减小了，这说明生产总利润并非随着生产量的增加而增加，就 本题来看当生产量达到1 750台时生产总利润达到最大值，再增加生产量利润反而会降低. 29 $$