4.4 幂函数-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.4 4.4 幂函数 刷基础 2 1.[吉林普通高中2024高一期末] 下列函数中，不是幂函数的是( ) A A. B. C. D. 题型1 幂函数的概念 3 解析 幂函数的通式为（ 为常数）,则,, 均符合幂函数的定义, 而 不符合幂函数的定义.故选A. 题型1 幂函数的概念 4 2.[黑龙江双鸭山一中2024高一月考] 已知幂函数 的图象与坐标轴没有公 共点，则 ( ) C A. B. C. D. 题型1 幂函数的概念 5 解析 因为 为幂函数, 所以,即,解得或 , 则或 . 又因为 的图象与坐标轴没有公共点, 所以,则 ,故选C. 题型1 幂函数的概念 6 3.[吉林长春第二中学2024高一期中] 已知函数，则“”是“ 是幂函数”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 幂函数的概念 7 解析 若函数为幂函数,则,解得或 .故“ ”是“ 是幂函数”的充分不必要条件.故选A. 题型1 幂函数的概念 8 4.[辽宁本溪一中2024高一验收考试（改编] ］已知幂函数的图象过点 ，则函数 的定义域为________. 题型1 幂函数的概念 9 解析 设幂函数 . 的图象过点,, . ,,则,即 , 的定义域为 . 题型1 幂函数的概念 10 5.[上海浦东新区2023高一期中] 直线，，及幂函数 的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数 的图象在第一象限中经过( ) D A.③⑦ B.③⑧ C.④⑦ D.①⑤ 题型2 幂函数的图象 11 解析 在第一象限内,直线的左侧,幂函数的指数越大图象越接近于 轴, , 在直线的左侧,的图象位于 图象的左侧,故经过⑤； 在第一象限内,直线的右侧,幂函数的指数越小图象越接近于轴, 在直线 的右侧 的图象位于 图象的上方, 的下方,故经过①.故选D. 题型2 幂函数的图象 12 6.[湖南株洲2024高一期中] 如图的曲线是幂函数 在第一象限内的图象.已 知分别取,四个值，与曲线,,,相应的 依次为( ) A A.2,,, B.2,,, C.,,2, D.,, ,2 题型2 幂函数的图象 13 解析 曲线,单调递增且趋于平缓,所以曲线,相应的的值分别为2,；曲线, 单调递 减且曲线在直线右侧更高,故曲线,相应的的值分别为, .故选A. 题型2 幂函数的图象 14 规律方法幂函数 在第一象限的变化规律：时,单调递减, 时,单调递增； 时,增长得越来越慢,时,增长得越来越快；当 时,幂函数图象越高指数越大. 题型2 幂函数的图象 15 7.[山东聊城2023高一期中] 在同一坐标系中，函数， 的图象不 可能是( ) D A. B. C. D. 题型2 幂函数的图象 16 解析 当时,的图象不过原点且在第一象限, 单调递减； 的图象在第四象限且 单调递增,如选项C所示. 当时,且, ,没有符合要求的图象. 当时,的图象在第一象限且 单调递减. 当时,的图象过原点,在第一象限且 单调递增,且增长得越来越慢,没 有符合要求的图象； 当时,的图象过原点,在第一象限且 单调递增,如A,B所示.故选D. 题型2 幂函数的图象 17 8.函数,不论为何值，的图象均过点,则实数 的值为( ) A A. B.1 C.2 D.3 题型3 幂函数的性质与应用 18 解析 幂函数的图象过定点,的图象过定点 ,结合已知条件 可知,则 . 题型3 幂函数的性质与应用 19 9.（多选）[陕西榆林五校2024高一联考] 下列说法正确的是( ) BD A.所有幂函数的图象均过点 B.若幂函数的图象经过点，则解析式为 C.幂函数一定具有奇偶性 D.任何幂函数的图象都不经过第四象限 题型3 幂函数的性质与应用 20 解析 对于A项：比如,图象不过点 ,故A错误； 对于B项：设幂函数为 ,幂函数的图象经过点,则 ,解得,所以 , 故B正确； 对于C项：比如 ,其定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故C错误； 对于D项：任何幂函数的图象都不经过第四象限,故D正确.故选 . 题型3 幂函数的性质与应用 21 10.（多选）[黑龙江齐齐哈尔八中2024高一期中] 已知幂函数的图象经过点 ，则 ( ) CD A.函数 为减函数 B.函数 为偶函数 C.当时， D.当时， 题型3 幂函数的性质与应用 22 解析 设幂函数 ,则,解得,所以,定义域为 . A选项,因为,故在 上为增函数,故A错误； B选项,因为的定义域不关于原点对称,所以函数 不是偶函数,故B错误; C选项,由A可知,在 上单调递增, 故当时, ,故C正确; D选项,当 时, , 又,所以,D正确.故选 . 题型3 幂函数的性质与应用 23 二级结论 满足的函数是上凸函数,满足 的函数是下凸 函数. 题型3 幂函数的性质与应用 24 11.下列比较大小正确的是( ) C A. B. C. D. 题型3 幂函数的性质与应用 25 解析 因为 . 又在上单调递减,,所以 , 所以 .故选C. 题型3 幂函数的性质与应用 26 12.[山东菏泽一中2024高一期末] 若幂函数在 上单调递增， 则实数 ____. 题型3 幂函数的性质与应用 27 解析 由题意可得,解得或 . 若,则在 上单调递减,不符合题意； 若,则在 上单调递增,符合题意. 综上所述, . 题型3 幂函数的性质与应用 28 13.［湖北荆州中学2024高一期中］已知幂函数在 上单调递减， 若，则 的取值范围为________. 题型3 幂函数的性质与应用 29 解析 幂函数在上单调递减,则解得 . 不等式化为,显然函数在 上单调递增, 因此,解得 , 所以的取值范围为 . 题型3 幂函数的性质与应用 30 14.已知幂函数的图象关于 轴对称. （1）求 的值; 【解】由题意知,解得或 . 又因为的图象关于轴对称,所以为偶函数,从而 . 题型3 幂函数的性质与应用 31 （2）若函数，求 的单调递增区间. [答案] 由（1）知,则 . 当时,,因为图象的对称轴为直线 , 所以在上单调递减,在 上单调递增； 当时,,因为图象的对称轴为直线 , 所以在上单调递减,在 上单调递增. 因此,的单调递增区间为, . 题型3 幂函数的性质与应用 32 15.[江西南昌2024高一期中] 有四个幂函数：;; ; .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2） 值域是,且；（3）在 上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确， 一个错误，那么他研究的函数是( ) B A.① B.② C.③ D.④ 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 33 解析 只满足值域是,且 ； 只满足在 上单调递增; 只满足在 上单调递增； 是偶函数,在上单调递增,但其值域是 .故选B. 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 34 16.（多选）[云南昆明2024高一月考] 已知，若 为偶函数，则满足要求 的 有( ) AC A. B.1 C.4 D. 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 35 解析 当时,,定义域为,且 , 所以 为偶函数,故A正确； 当时,,定义域为,且 为奇函数,故B错误； 当时,,定义域为,且 , 所以 为偶函数,故C正确; 当时,,定义域为,所以 为非奇非偶函数,故D错误. 故选 . 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 36 易错警示 虽然指数部分分母为偶数,但是其定义域为,所以 为非 奇非偶函数. 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 37 17.[山东枣庄2024高一月考] 已知函数是幂函数，且函数 的图象关 于 轴对称. （1）求实数 的值； 【解】因为函数 是幂函数, 则,即,解得或 . 当时, 为偶函数,满足题意； 当时, 为奇函数,不满足题意. 综上所述,实数的值为 . 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 38 （2）若不等式成立，求实数 的取值范围. [答案] 设函数,则函数在定义域 上单调递减. 由可得解得 , 所以实数的取值范围为 . 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 39 易错警示（1）判断幂函数的奇偶性,要考虑指数的特点,从而确定参数.（2） 要注意其定 义域为,所以要保证 易错点1 误判幂函数的奇偶性而致错 40 18.[四川凉山州2023高一月考] 已知幂函数的图象不过原点，则实数 的取值为 ( ) A A. B.0 C.2 D.2或 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 41 解析 因为为幂函数,所以,解得 . 当时, ,图象过原点,不合题意,舍去； 当时, ,图象不过原点,符合题意. 综上所述, .故选A. 易错警示若幂函数的图象过原点,则指数大于0；若图象不过原点,则指数小于或等于0. 易错点2 忽视幂函数的图象特点而致错 42 4.4 4.4 幂函数 刷能力 43 建议用时：30分钟 1.[云南昆明一中2024高一月考] 若幂函数 的图象过点，且 ，则 实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 44 解析 由已知条件可得,解得,则 , 所以函数在 上为增函数. 由可得,解得 .故选B. 45 2.[山西大同部分学校2024高一联考] 已知幂函数的图象过点，则函数 的定 义域为( ) B A. B. C. D. 46 解析 是幂函数, 设,将 代入解析式, 得,解得,故,则 , 故,解得 .故选B. 47 3.[湖北宜昌2023高一期中] 幂函数，，， 在第一象限 的图象如图所示，则下列不等关系成立的是( ) C A. B. C. D. 48 解析 由图可知,, , 所以,所以 , 又,,所以 .故选C. 49 4.[重庆西南大学附中2024高一段考] 已知,, ，则( ) C A. B. C. D. 50 解析 由 单调递增, 可知 . 由 单调递增, 且,,可得 . 所以 .故选C. 51 5.[江苏苏州2023高一期中] 不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 52 解析 的定义域为,在与上均单调递减,且当 时,恒成立,当时, 恒成立. 故 或 或,解①得,解②得 ,解③得 . 综上,不等式的解集为 .故选D. 53 特别注意利用幂函数解有关不等式时,需要依据幂函数的性质进行分类讨论,分类的依据是幂函数 的图象和单调性,且应把各种情况考虑周全,不能遗漏某种情况. 54 6.（多选）已知幂函数的图象经过点，, 是函数图象上 任意两点，则下列结论正确的有( ) BC A. B. C. D. 55 解析 设幂函数 ,则有,解得,所以 . 作出函数的大致图象如图所示,由其图象知图象上的点与原点连线所在直线的倾斜程度随 的 增大而减小,即,即 ,所以B,C正确. 56 7.[天津部分区2024高一期中联考] 已知函数，若正数,满足 ， 则 的最大值是__. 57 解析 由题意得的定义域为,且 , 所以为奇函数,,且函数 单调递增. 因为,所以,化简得 . 所以 , 当且仅当时取等号,故的最大值为 . 58 8.已知，若，且，则 的取值集合是_______. 解析 若,且,则幂函数的图象一定在 的图象的上方,故 不可能为奇函数,即不能取和 . 当取,,2时, 是偶函数, 故只需满足当时,即可,此时,即,则,即 , 则可取,,故的取值集合是 . 59 9.[辽宁名校联盟2024高一联考] 已知幂函数的图象过点 . （1）求实数 的值； 【解】由函数是幂函数,得,解得 . 当时,函数的定义域为,显然此函数图象不可能过点,即 不符合题意； 当时,函数的定义域为,显然此函数图象可以过点 , 所以,函数, . 60 （2）设函数，用定义证明：在 上单调递减. 【证明】由（1）知,函数,则函数 . 任取,,且 ,则 , 由,得,且,因此, , 则,即 , 所以函数在 上单调递减. 61 10.[重庆八中2023高一期中] 已知幂函数，且 . （1）求函数 的解析式； 【解】幂函数,则,解得或 . 当时, ,是偶函数,满足题意； 当时, ,是奇函数,不满足题意,舍去. 故 . 62 （2）若,,均为正数且，求 的最小值. [答案] , , 即 . , 当且仅当,即时等号成立,故 的最小值为2. 63 $$