4.3 指数函数与对数函数的关系-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.3 4.3 指数函数与对数函数的关系 刷基础 2 1.[四川成都2024高一月考] 已知是函数的反函数，则 的值为( ) A A.0 B.1 C.10 D.100 题型1 对数函数与指数函数互为反函数 3 解析 当时，,则，故 ，故选A. 题型1 对数函数与指数函数互为反函数 2.[广东茂名2024高一期末] 若指数函数的图象经过点，则它的反函数 的解析式为 ( ) A A. B. C. D. 题型1 对数函数与指数函数互为反函数 5 解析 设指数函数且，因为点在的图象上，所以 ，解得 （舍去）.所以，故反函数 .故选A. 题型1 对数函数与指数函数互为反函数 6 3.[辽宁沈阳2024高一期末] 若函数的反函数为，则 ____. 12 解析 令，由可得，所以 ， 所以 . 题型1 对数函数与指数函数互为反函数 7 4. 下列函数中，存在反函数的是( ) D A. B. C. D. 题型2 反函数的求法 8 解析 对于A，当时， ，不存在反函数； 对于B，当时， ，不存在反函数； 对于C，当时， 或3，不存在反函数； 对于D， 是单调函数，显然存在反函数，故选D. 题型2 反函数的求法 9 链接教材此题改编自教材P32例1，对于任意一个函数 ，它的反函数不一定存在，但是单 调函数必有反函数. 题型2 反函数的求法 10 5. 的反函数是( ) A A. B. C. D. 题型2 反函数的求法 11 解析 令，则，故 . 题型2 反函数的求法 12 归纳总结 求反函数的一般步骤 （1）解方程求出 ； （2）把, 互换； （3）求出原函数的值域即得反函数的定义域. 题型2 反函数的求法 13 6.[上海2021·5，4分] 已知,则 ____. 题型2 反函数的求法 14 解析 由题意，得原函数的定义域为，结合反函数的定义，令 ，解得 ，所以 . 题型2 反函数的求法 15 7.求函数和函数 的反函数. 【解】，所以 ； ，所以 ． 题型2 反函数的求法 16 8.已知函数,且，若，则 的图象为( ) A A. B. C. D. 题型3 反函数的图象与性质 17 解析 由解得，又，所以，所以 . 因为，所以 ， 所以的图象可以由 的图象向左平移1个单位长度得到，故选A. 题型3 反函数的图象与性质 18 9.[山东德州2023高一阶段检测] 若函数与的图象关于直线 对称，函数 ，则 ( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 题型3 反函数的图象与性质 19 解析 函数与的图象关于直线对称，， ， .故选D. 题型3 反函数的图象与性质 20 名师点拨指数函数与对数函数且 互为反函数，互为反函数的两个函 数的图象关于直线 对称. 题型3 反函数的图象与性质 21 10.函数的反函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 题型3 反函数的图象与性质 22 解析 ， ， 函数的值域为 . 的定义域即函数 的值域， 的定义域为 .故选C. 题型3 反函数的图象与性质 23 11.函数且 的反函数的图象恒过定点______. 解析 对于函数且,令,即,所以 ,即函数 且的图象恒过定点 , 所以函数且的反函数的图象恒过定点 . 题型3 反函数的图象与性质 24 12.函数 的反函数是______________________. 解析 由得，即，又 原函数的值域是， 函数 的反函数是 . 易错警示若一个函数存在反函数，求其反函数时要注明反函数的定义域，也就是原函数的值域. 易错点 求反函数解析式时忽略反函数的定义域而致误 25 13.求函数的反函数 . 【解】令 由，得，由，得 . 由，得，由，得，解得 . 所以 易错点 求反函数解析式时忽略反函数的定义域而致误 26 4.3 4.3 指数函数与对数函数的关系 刷能力 27 建议用时：30分钟 1.若函数的图象与的图象关于直线对称，，则 ( ) B A. B.1 C.2 D.4 28 解析 由函数的图象与的图象关于直线 对称，得两函数互为反函数. 由， ， 因为，所以 .故选B. 29 2.若函数是，且 的反函数，则下列结论错误的是( ) D A. B. C. D. 30 解析 函数是，且的反函数，,且 ， . ,B正确，D错误. ，A正确. ，C正确.故选D. 31 3.若函数是函数，且的反函数，且的图象经过点 ，则 ( ) B A. B. C. D. 32 解析 因为的反函数为，又此函数的图象经过点，因此 ，解得 ，所以 . 33 4.已知，均为不等于1的正数，且满足，则函数与函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 34 解析 ，，即 ， ，与互为反函数，图象关于直线 对称,只有B选项符合题 意.故选B. 35 5.已知且，函数的图象与的图象关于直线对称.在 ， ，，四点中，可能是函数与 的图象的公共点的有( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 36 解析 由题意，根据指数函数与对数函数的关系可知 . 显然不在指数函数且 的图象上，故错误； 点不在对数函数且 的图象上，故错误； 若满足且，则,解得 ， 若满足且，则,解得 ，显然不是公共点; 若满足且，则,解得 ， 若满足且，则,解得 ，符合题意. 故仅点 可能同时在两条曲线上.故选B. 37 6.已知是的反函数，则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 38 解析 因为是的反函数，所以 . 由可得，则，即 成立，即充分性成立； 反之，当时，只能得到 ，必要性不成立. 故“”是“ ” 的充分不必要条件.故选A. 39 7.[辽宁丹东2024高一期末] 已知函数且与的图象关于直线 对 称，且，则函数 的单调递减区间是( ) C A. B. C. D. 40 解析 因为函数且与的图象关于直线 对称，所以 且，因为，所以，解得 ，所以 .由，可得 的定义域为 .令，则在上单调递减，而 在定义域内 单调递增，由复合函数的单调性可知,在 上单调递减.故选C. 41 8.[黑龙江省实验中学2023高一期中] 已知是奇函数，若函数 的图象与 函数的图象关于直线对称，则 的值域为( ) A A. B. C. D. 42 解析 因为 ， 由可得或 ， 所以的定义域为或 . 因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得 ， 所以的定义域为 . 因为函数的图象与函数的图象关于直线 对称， 所以与 互为反函数， 故的值域即为的定义域 .故选A. 43 9.[浙江绍兴一中2024高一期中] 已知函数的反函数为，且有 . 若，，则 的最小值为__. 44 解析 由题得函数的反函数 . ,,即,则 , 又,,则, , , 当且仅当, 时取等号, 故的最小值为 . 45 10.设方程的根为，方程的根为，求 的值. 【解】将题中两个方程整理为， . 如图，是指数函数的图象与直线交点 的横坐标， 是对数函数的图象与直线交点 的横坐标. 由于函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线 对 称.由题意可得，，两点也关于直线 对称， 于是，两点的坐标分别为， . 又，两点都在直线 上， 所以（或），故 . 46 $$