第4.1节 指数与指数函数 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.1 4.1 指数与指数函数 2 4.1 第4.1节综合训练 刷能力 3 建议用时：30分钟 1.[湖北荆州中学2024高一期中] ( ) C A. B. C.12 D. 4 解析 . 故选C. 5 2.[福建三明五校2024高一期中] 已知函数且 是减函数，则实 数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 6 解析 由题意知在上单调递减,所以 . 由在上单调递减,得,即 . 由在上单调递减,得,解得 . 综上,实数的取值范围是 . 故选D. 7 3.已知，若函数，的最大值为，最小值为，则 的值为 ( ) D A.4 046 B.2 023 C.2 022 D.2 026 8 解析 函数 . 令,定义域为 , 则,又在上单调递减,在 上 最大值和最小值的和为,函数 的最大值 ,最小值,则 .故选D. 9 4.（多选）[湖南长沙明德中学2024高一开学考试] 如图，某湖泊蓝藻的面积 （单位：）与时间（单位：月）的关系满足 ，则下列说法正确的 是( ) ACD A.蓝藻面积每个月的增长率为 B.蓝藻每个月增加的面积都相等 C.第4个月时，蓝藻面积就会超过 D.若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，， ，则一 定有 10 解析 由题图可知,函数的图象经过点,即,则,, 不是常数.由可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的3倍,则每个月的增长率为 ,A正确,B 错误； 当时, ,C正确； 若蓝藻面积蔓延到,,所经过的时间分别是,,,则,, , ,则,D正确.故选 . 11 5.（多选）[重庆西南大学附中2024高一检测] 已知函数 是奇函数，则下列选项 正确的是( ) ABD A. B.,，且，恒有 C.函数在上的取值范围为 D.，恒有成立的充分不必要条件是 12 解析 函数的定义域为,又是奇函数,所以 ,解得 ,代入验证可知,所以 ,故A正确； ,由于函数在 上单调递 增且,函数在上单调递增,所以函数在上单调递增,则, ,且 ,恒有 ,故B正确； 因为在上单调递增,,,所以函数在 上的取值范围为 ,故C错误； 13 若,恒有成立,则,则的解集为 , 当时,,解得 ,不符合题意, 当时,要使得解集为,则有解得 , 综上,若,恒有成立,则 ,因此其成立的充分不必要条件可以是 ,故D正确.故选 . 14 6.[辽宁六校协作体2024高一期中联考] 已知函数为常数，若 有 最大值，则实数 的取值范围是________. 15 解析 画出, 的图象,如图所示, 联立解得或 ①对于二次函数,其图象开口向下,对称轴为直线 , 当时, ； ②对于指数型函数,当时, . 则对于函数 当时, , 当时, , 当时, 没有最大值. 综上所述,实数的取值范围是 . 16 7.[湖北咸宁2024高一期末] 已知,，其中, . （1）若，求 的取值范围； 【解】由的定义域为,且,得 为偶函数. 当时, , 当时,,,则 , 当时,,,则 . 因此,,即在 上单调递增. 若,即,则 ,两边平方可得 ,即 , 解得,所以的取值范围为 . 17 （2）设，若,，恒有，求实数 的取值范围. [答案] 设,,依题意可知时, . 因为 , 则 , 当时,令,由（1）可知,在上单调递增,在 上单调 递增, 则在上单调递增,可得在 上单调递减, 所以 . 因为 18 , 由以上分析知在上单调递增,则在 上单调递增, 可得在 上单调递增, 所以 . 因此 恒成立, 设,则,,整理得,解得 ,则 , 所以,解得且 , 结合,可得 , 所以实数的取值范围为 . 规律方法1.,,则等价于 ； 2.,,则等价于 ； 3.,,则等价于 ； 4.,,则等价于 . 20 $$