4.1.2 指数函数的性质与图象-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

4.1 4.1 指数与指数函数 1 4.1 4.1.2 指数函数的性质与图象 刷基础 2 1.若函数（是自变量）是指数函数，则实数 的取值范围是( ) C A.且 B.且 C. D. 题型1 指数函数的概念 3 解析 函数（是自变量）是指数函数，则解得且 ，所以实 数的取值范围是 .故选C. 题型1 指数函数的概念 4 2.下列函数中，不能化为指数函数的是( ) B A. B. C. D. 题型1 指数函数的概念 5 解析 ，故可以化为指数函数；，故 不能化 为指数函数；，故可以化为指数函数；，故 可以化 为指数函数.故选B. 题型1 指数函数的概念 6 名师点拨指数函数定义的“形式”：①底数：大于0且不等于1的常数；②指数：自变量；③系数： 为1.像，，，等函数均不符合且 的形式， 因此，它们都不是指数函数. 题型1 指数函数的概念 7 3.[重庆九龙坡2024高一期末] 放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设初始质量为 ， 质量与时间（单位：天）的函数关系为（其中 为常数），若锶89的半衰期 （质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为 的锶89经过30天衰减后质量大约变为 （参考数据： ）( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的概念 8 解析 由题意,锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天, 即,则 . 所以质量为 的锶89经过30天衰减后, 质量大约为 .故选D. 题型1 指数函数的概念 9 4.[浙江宁波效实中学2024高一期中] 函数 的图象必经过点( ) D A. B. C. D. 题型2 指数函数的图象 10 解析 令,则,代入函数 , 解得 , 则函数的图象必经过点 .故选D. 题型2 指数函数的图象 11 5.已知函数,,,（,,, 均大于0且不等于1）的大致 图象如图所示，则下列不等式一定成立的是( ) B A. B. C. D. 解析 由题图可得,由不等式的性质可得 .故选B. 题型2 指数函数的图象 12 规律方法 不同底数的指数函数图象的规律 若,,,,,, 均大于0且不等于1）的图象如图所示,则 . 简记规律：在第一象限,按照逆时针方向观察,对应的指数函数的底数逐渐增大. 题型2 指数函数的图象 13 解析 因为函数 的图象过原点, 所以 , 又因为图象无限接近直线 ,但又不与该直线相交, 所以 是图象的一条渐近线, 所以,所以 .故选C. 题型2 指数函数的图象 14 7.[陕西安康七校2023高一期末联考] 要得到函数的图象，只需将函数 的图象 ( ) A A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 题型2 指数函数的图象 15 解析 因为,所以只需将函数 的图象向左平移1个单 位长度,即可得到函数 的图象.故选A. 题型2 指数函数的图象 16 8.[山东青岛2024高一期中] 函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 17 解析 函数的自变量满足 解 得且 . 题型3 指数函数的性质 18 9.当时，函数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 19 解析 因为指数函数在区间上单调递增,所以 ,于是 ,即,所以的取值范围为 .故选C. 题型3 指数函数的性质 20 10. [广东深圳南山外国语2024高一期中] 已知,, ，则( ) A A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 21 解析 是上的增函数,,即 ； 又是上的减函数,,即 .故选A. 题型3 指数函数的性质 22 链接教材 本题目由教材第12页例1改编而来,结合指数函数的单调性比较大小. 规律方法 指数式比较大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由指数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同,指数为同一常数 借助不同底数的指数函数图象的高低比较大小 底数与指数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 题型3 指数函数的性质 23 11.（多选）[吉林长春外国语2024高一期中] 函数,其中且 ，则下列 结论正确的是( ) ABD A.函数是奇函数 B.方程在 上有解 C.函数的图象过定点 D.当时，函数 在其定义域上为增函数 题型3 指数函数的性质 24 解析 的定义域为,且,故 为奇函 数,A正确； ,故方程在 上有解,B正确,C错误； 当时,函数在上单调递增,在上单调递减,故在 上单调递 增,D正确. 故选 . 题型3 指数函数的性质 25 12.若不等式对一切实数恒成立，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 26 解析 因为不等式对一切实数恒成立,所以对一切实数 恒成立. 又因为为上的增函数,所以对一切实数 恒成立,所以 对一切实数恒成立,故,解得 ,故选A. 题型3 指数函数的性质 27 13.函数在区间内不单调，则实数 的取值范围是______. 解析 令,则.因为在区间内不单调,所以 在区间 内不单调.又因为在上单调递减,在 上单调递增,所以 ,解得 . 题型3 指数函数的性质 28 14.[辽宁重点高中协作体2024高一期末] 设函数，则使成立的 的取值范围是_________. 解析 因为的定义域为,又,所以 为偶函数. 当时,令,则可转化为 , 因为函数在上单调递增,函数是 上的增函数, 所以在 上单调递增. 结合偶函数的性质可由,得,解得,所以的取值范围为 . 题型3 指数函数的性质 29 15.[湖南长沙一中2024高一期中] 已知函数 . （1）若函数是奇函数，求 的值； 【解】由题意知的定义域为 , 若函数为奇函数,则,解得,代入函数中验证可知 , 所以 . 题型3 指数函数的性质 30 （2）请判断函数 的单调性，并用定义证明. [答案] 函数在 上单调递增,证明如下： 设,则 . 因为,所以,即,且, , 所以,即 , 所以函数在 上单调递增. 题型3 指数函数的性质 31 16.已知函数为指数函数，则 ___. 1 解析 函数 为指数函数， 解得 . 易错点1 不能正确理解指数函数的定义而致错 32 易错警示在指数函数的定义中，幂的系数为1，底数大于0且不等于1.因此求解含参数的指数函数 时，一定要检验所求参数是否满足条件. 易错点1 不能正确理解指数函数的定义而致错 33 易错警示由于指数函数的单调性与底数与1的大小有关，因此涉及底数含参数的指数函数的单调 性问题时要根据底数与1的大小关系分类讨论. 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 34 18.[广东实验中学2024高一期中] 函数 的单调递增区间是( ) A A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 35 解析 函数的定义域为,函数在上单调递减,在 上单调递增, 而函数在上单调递减,因此函数在上单调递增,在 上单调递减, 所以函数的单调递增区间是 .故选A. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 36 易错警示对于形如,且 的函数的单调性的判断,常用复合函数法.复合函数的 单调性:当时,函数与函数的单调性相同;当时,函数 与函 数 的单调性相反. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 37 19.函数 的值域是( ) B A. B. C. D. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 38 解析 令，则，而，所以 .故 选B. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 39 易错警示形如且的函数的值域问题，要注意根据函数 的值域及底 数 的取值范围来确定. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 40 20.已知不等式的解集为集合，函数, . （1）求集合 ； 【解】由题意知，则，即 ， 即，解得，故集合 . 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 41 （2）求函数 的值域. [答案] ， 令，则可化为 . ，，函数的图象的对称轴为直线 ， 在区间上单调递减，在区间 上单调递增. 故在上的最大值为，在 上的最小值为 ，故函数的值域为 . 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 42 易错警示形如,,且 型函数的性质问题可利用换元法转 化为二次函数的性质问题，注意换元后新元的取值范围. 易错点4 使用换元法时忽略新元的取值范围而致错 43 4.1 4.1.2 指数函数的性质与图象 刷提升 44 1.[山东滨州2024高一期中] 函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 45 解析 令，由，得，所以，所以，又 ， 所以函数的值域为 .故选B. 46 2.[辽宁辽南协作体2024高一期中（改编] ］已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 47 解析 当时，，故，解得 .故选C. 3.[江西吉安2024高一月考] 函数 的大致图象是( ) C A. B. C. D. 49 解析 函数 又,则根据指数函数的性质知,时,函数 单调递增,排除B,D； 时,函数 单调递减,排除A.故选C. 50 解析 由可得，因为在 上单调递增，所以 ,即，解得，所以，即函数 的值 域是 ，故选B. 51 归纳总结 指数中含有未知数的不等式主要有以下类型 或或 . 解法：或 或 或 解决类似. 52 5.若存在正数，使得关于的不等式成立，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 53 解析 由题意知成立，即 成立. 令，显然在 上单调递增， 所以， ， 所以实数的取值范围是 .故选C. 54 规律方法 不等式恒成立与能成立问题 （1）若，都有恒成立 ; （2）若，都有恒成立 ; （3）若，有成立 ; （4）若，有成立 . 55 6.[辽宁大连部分学校2023高一期中联考] 我们知道,比较适合生活的安静环境的声强级 （噪音级） 为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为 （，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为 ，驶进 市区附近降低速度后的声强为，声强级为 .若要使该高铁驶入市区时的声强级 达到安静环境要求，则声强的最大值为( ) B A. B. C. D. 56 解析 由题意可知解得所以 ，易得当 越大时，越大，所以当时，达到安静环境要求下的 取得最大值 .故选B. 57 7.[山东省实验中学2023高一期中] 已知，且 ，函数 满足对任意实数，都有成立，则实数 的 取值范围是( ) D A. B. C. D. 58 解析 由于 ，所以在上单调递增,所以解得 .故选D. 59 8.已知函数，，若存在实数,使得，则实数 的取 值范围是( ) B A. B. C. D. 60 解析 因为，所以函数的值域为，所以若存在实数,使得 ， 则.所以，解得 ，故选B. 61 9.[广东深圳中学2023高一期末] 已知关于的方程 的根为负数， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 62 解析 将化为，因为关于 的方程 的根为负数，所以实数的取值范围是函数 在 上的函数值的范围. 当时，，则 ， 即实数的取值范围是 .故选D. 63 10.设函数若互不相等的实数,,满足 ，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 64 解析 画出函数 的图象如图所示． 不妨令，则，则 ． 结合图象可得，故 ． 所以 ．故选B． 65 11.[四川内江六中2024高一月考] 已知函数，若 ， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 66 解析 令,定义域为 ,则 , 所以 为奇函数. 不等式等价于 , 即 . 因为为奇函数,所以 . 因为,,均为减函数,所以 为减函数, 则,解得 .故选B. 67 解析 因为是 上的偶函数, 当时,,所以 ,故A错误； 当时,, ,故B正确； ,故C正确； 当时,由,得 , 又函数的图象关于 轴对称, 所以的解集为,故D正确.故选 . 68 13.[辽宁大连2023高一期中] 已知函数且在区间 上单调 递减，则实数 的取值范围是_______________. 69 解析 函数可以看作由函数,复合而成,当 时, 外层函数单调递增,所以内层函数在上单调递减,则 ,解 得；当时,外层函数单调递减,所以内层函数在 上单调递增,则,解得 . 综上所述,或 . 70 14.[山东青岛2024高一阶段考试] 已知函数在上的取值范围为 ，则实 数 的取值范围为______. 71 解析 函数图象的对称轴为直线，且在 上单调递减，在 上单调递增.由函数在区间上的取值范围为 及 ,可得, . 72 规律方法形如且,的函数图象的对称轴方程为 . 73 15.已知函数且在上的最大值为，最小值为 . 【解】①当时，在上单调递增，则的最大值 ，最小值 ； ②当时，在上单调递减，则的最大值，最小值 . 74 （1）若，求实数 的值； [答案] ，，解得或 （舍去）. （2）若，求实数 的值. [答案] ， 当时，，解得或 （舍去）； 当时，，解得或 （舍去）. 综上所述,或 . 75 16.[安徽六安一中2024高一期中] 已知定义在上的函数 . （1）当时，求 的值域； 【解】当时, , 令,则可转化为,即 , 的值域为 . 76 （2）若函数在上单调递增，求实数 的取值范围； [答案] 令,,,则可转化为 . 在 上单调递增, 要使在 上单调递增, 只需在 上单调递增即可. ①当时,在 上单调递减,不符合题意； ②当时, 的图象开口向下,不符合题意； ③当时,要满足解得 . 综上,实数的取值范围是 . 77 （3）若函数的定义域内存在，使得成立，则称 为局 部对称函数，其中为函数的局部对称点，若是函数 的局部对称点，求实 数 的取值范围. [答案] 由是函数的局部对称点,得, , 代入整理得 .① 令,则,当且仅当时取等号，则 , 代入①式得,即 . 当时,函数和 均单调递增, 在 上单调递增, , , 实数的取值范围为 . 78 17.[2022THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试] 已知定义域为的偶函数和奇函数 满 足：.若存在实数，使得关于的不等式在区间 上恒成立，则正整数 的最小值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 79 解析 由题可得，又 ，联立可得 ，.又的内层函数为（在 上单调递增），外层函 数为（在上单调递增），故由复合函数单调性知在 上单调递增， 故,.在上单调递增，故,.若 则 且为正整数，只需即可.若则且 为正整数，不成立. 综上，正整数 的最小值为2.故选B. 80 $$