4.1.1 实数指数幂及其运算-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.1 4.1 指数与指数函数 2 4.1 4.1.1 实数指数幂及其运算 刷基础 3 1.下列说法： 的运算结果是 ； 的4次方根是2； ③当为大于1的偶数时，只有当 时才有意义； ④当为大于1的奇数时，对任意 都有意义. 正确的个数为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 题型1 根式 4 解析 对于①,偶次根式的结果只能是正数,①错误； 对于②,偶次方根的结果有正有负,②错误； 根据 次方根的意义可知③④正确. 则正确的个数为2.故选C. 题型1 根式 5 2.（多选）[四川成都七中2024高一期中] 以下运算结果等于2的是( ) BCD A. B. C. D. 题型1 根式 6 解析 对于A, ,不符合题意； 对于B, ,符合题意； 对于C, ,符合题意； 对于D,,符合题意.故选 . 题型1 根式 7 特别注意（1）偶次方根暗含其被开方数必须大于等于0. （2）与,且 的区别: ①是实数的次方根,是一个恒有意义的式子,不受的奇偶性的限制,但这个式子的值受 的 奇偶性的限制, . ②是实数的次方根的次幂,其中实数的取值受的奇偶性的限制,, 为奇数时, ;为偶数时, . 题型1 根式 8 3. ( ) B A.2 B. C. D. 题型2 分数指数幂 9 解析 原式 .故选B. 题型2 分数指数幂 10 4.已知，则 ( ) B A. B. C. D. 题型2 分数指数幂 11 解析 .故选B. 题型2 分数指数幂 12 5.（多选）[广东广雅中学2024高一期中] 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) BD A. B. C. D. 题型2 分数指数幂 13 解析 对A,当时, ,故A错误； 对B, ,故B正确； 对C, ,故C错误； 对D,,故D正确.故选 . 题型2 分数指数幂 14 解析 ,要使式子有意义,必须有 解得,所以 . 题型2 分数指数幂 15 7.[湖南长沙名校联合体2024高一联考] 计算 ( ) C A. B. C. D. 题型3 实数指数幂的运算性质 16 解析 .故选C. 题型3 实数指数幂的运算性质 17 8.[山东泰安一中2024高一期中] 已知实数， ，则下列选项中正确的是( ) C A. B. C. D. 题型3 实数指数幂的运算性质 18 解析 对A, ,A错误； 对B, ,B错误； 对C, ,C正确； 对D, ,D错误. 故选C. 题型3 实数指数幂的运算性质 19 归纳总结 高中常用的乘法公式 （1）平方差公式: . （2）完全平方公式: . （3）立方和公式: . （4）立方差公式: . （5）完全立方公式:, . （6）三项和的平方公式: . 题型3 实数指数幂的运算性质 20 10.（多选）[辽宁辽阳2024高一月考] 下列表达式不正确的是( ) CD A. B. C. D. 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 21 解析 由指数幂运算法则知A,B正确； 对C, ,故C错误； 对D,,故D错误.故选 . 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 22 11.当有意义时，化简 的结果是( ) C A. B. C. D. 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 23 解析 当有意义时, ,则 . 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 24 12.已知，，，化简 . 【解】,, . ,, 当是奇数时,原式 ； 当是偶数时,原式 . 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 25 易错警示根式有意义的条件：根指数为奇数,被开方数为实数,结果的符号与被开方数的符号相同； 根指数为偶数,被开方数非负,结果非负. 易错点 忽略偶次根式的成立条件而致错 26 4.1 4.1.1 实数指数幂及其运算 刷提升 27 1.（多选）[湖南长沙雅礼中学2023高一期中] 若，，是正整数，且 ，则下列各式 中，正确的是( ) ABD A. B. C. D. 28 解析 对于A,,,是正整数,且, ,故A正确. 对于B,显然 ,故B正确. 对于C, ,故C不正确. 对于D,当取偶数时,；当取奇数时,,综上,,故D正确.故选 . 29 2.[福建漳州一中2024高一期中] 设，则 ( ) C A. B. C. D. 30 解析 ,故选C. 31 3. ( ) C A. B. C. D. 32 解析 原式 ,故选C. 4.[四川绵阳2023高一期中] 若，是方程 的两根，则下面各式的值等于8的有 ( ) B A. B. C. D. 34 解析 因为,是方程的两根,所以, . 对于A, ,故选项A错误； 对于B, ,故选项B正确； 对于C, ,故选项C错误； 对于D, ,故选项D错误.故选B. 35 5.[河南焦作2024高一期中] 已知，则 的值是( ) B A. B.0 C. D. 36 解析 由题意知, .故选B. 37 6.[山东青岛2023高一调研检测] 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起 算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄. 某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为，若存 期，本利和为5.4 万元，若存期，本利和为5.5万元，若存 期，则利息为( ) D A.5.94万元 B.1.18万元 C.6.18万元 D.0.94万元 38 解析 由题意可得则 , 即存期,本利和为万元,故若存 期,利息为 万元.故选D. 39 7.（多选）[江西上饶2024高一月考] 若，则化简 的结 果可能是( ) AC A. B. C. D. 40 解析 由化简可得,所以,所以或 . , 当时, ; 当时,.故选 . 41 8.[重庆巴蜀中学2024适应性考试] 若,，且，则 的最小值为___. 8 解析 , ,可得,, , ,当且仅当 即 时取等号. 42 9.当时，式子 的值为___. 0 解析 ,,, , . 43 10.[辽宁朝阳2024高一期末] （1）计算： ; 【解】 . 44 （2）化简： . [答案] . 45 规律方法根式及分数指数幂的化简应遵循“数字分离、同类合并”原则,即系数（含符号）和字母 分开计算,相同的字母合并. 46 11.正实数,满足：，若,，求 的值. 【解】最小次幂换元,设, , 则条件化为,所以, , 所以原式 . 47 规律方法对于复杂形式的分数指数幂化简问题,可以尝试将指数最小的式子换元,这样做的好处是 换元后所有的次幂均为整数次幂,易于化简计算. 48 12.[2023 全国高中数学联赛山东预赛] 已知,, , 则集合,, 的元素个数是___. 7 解析 , } ,,,0,1, , , } , , 所以,,,0,1,2, , 所以集合 的元素个数是7. 49 $$