第5章 三角函数 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (湘教版)

数学 必修第一册 XJ 1 5 第5章素养检测 刷速度 2 1.在中，若，则 ( ) A A. B. C. D. 3 解析 在中,由,A, , 得 , ,所以 .故选A. 4 2.[河南郑州多校2023高一联考] 点 在平面直角坐标系中位于( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5 解析 因为 , ,所以 角为第三象限角,故 .因为8与终边相同,且 ,所以8是第二象限角,故 , 则点A在第三象限.故选C. 6 3.[河北沧州部分学校2024高一月考] 已知 为锐角，且，则 ( ) C A. B. C. D. 7 解析 因为 为锐角,且,所以 也是锐角, 所以 , 则 ,故选C. 8 4.[河南南阳五中2024高一月考] 函数 的图象大致为( ) D A. B. C. D. 9 解析 因为函数的定义域为 且 ,所以 为奇函数,所以排除选项B. 当时, , 当 时, , 所以可排除选项A和选项C.故选D. 10 5.[原创] 若，则 ( ) C A. B. C. D. 11 解析 , , .由 得, . 12 6.[甘肃兰州2023高一期末] 若把函数的图象沿轴向左平移个单位长度，沿 轴向下平 移一个单位长度，然后再把图象上各个点的横坐标缩短到原来的，得到函数 的图象， 则 的解析式为( ) D A. B. C. D. 13 解析 函数的图象上各个点的横坐标伸长为原来的2倍得到 的图象,然后向上 平移一个单位长度得到的图象,再向右平移 个单位长度得到 的图象,所以 .故选D. 14 7.[甘肃部分学校2024开学考试] 已知函数，则函数 的单调递减区间 是( ) A A.， B.， C.， D.， 15 解析 , 令,则,,所以函数 的单调递减区间为 , .故选A. 16 8.如图，一个大风车的半径为，旋转一周，它的最低点离地面 ，风车翼片的一个 端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间 之间的函数关系式是 ( ) D A. B. C. D. 17 解析 根据题意可设,则, 旋转一周, , . 最大值与最小值分别为14,2, 解得, . .故选D. 18 9.已知, ，则( ) AC A. B. C. D. 19 解析 , , 又 , , ,故A正确； ,故B错误； ,故C正确； ,故D错误. 故选 . 20 10.[浙江杭州部分学校2024联考] 函数 的部分图象如图所示，则下列说法 正确的是( ) ABD A.的表达式可以写成 B.的图象向右平移 个单位长度后得到的图象对应的新函数是奇函数 C.在区间 上单调递增 D.若方程在上有且只有6个根，则 21 解析 由,得,即,又 , 所以.又的图象过点,则 , 结合图象得 ,,即得,,又,所以 , 所以 ,故A正确； 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象,此函数为奇函数, 故B正确； 当时,,由余弦函数的单调性知,在区间 上单调递减,故C错误； 由,得,则 或 , , 所以若方程在上有6个根,这6个根从小到大依次为,,,,,,而第7个根为 ,所 以,故D正确.故选 . 22 11.已知函数，对于任意的，方程 仅 有一个实数根，则实数 的取值可以为( ) AB A. B. C. D. 23 解析 函数,对于任意的,方程 仅有一 个实数根,等价于函数在上的图象与直线 只有一个交点.由函数 的最小正周期为 ,且的图象与轴的交点为 ,可知当 时,对任意的,函数的图象与直线仅有一个交点,故实数 的 取值可以为,.故选 . 24 12.若扇形的圆心角为，弧长为 （单位：），则该扇形面积为____.（面积的单位： ） 25 解析 设扇形的弧长为,圆心角大小为 ,半径为 , 则由 ,得,解得,所以扇形的面积 . 26 13.已知函数,，若，且在 上有最小值但无最 大值，则 的值为___. 27 解析 ,且在上有最小值但无最大值, 当时, 取最小值, ,,,得, . 在上有最小值但无最大值,,即,又 , .故 . 28 14.设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作 轴的垂 线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段 的长为__. 29 解析 联立消去,得 . 整理得,,,所以 或 （舍去）,所以点的纵坐标,所以线段的长为 . 30 15.（本小题满分13分）[河南郑州外国语学校等五校2024高一联考] 已知 . （1）化简函数 ； 【解】 . 31 （2）若，求和 的值. [答案] 因为 , 所以 , 所以 ； . 32 16.（本小题满分15分）[四川师大附中2024高一月考] 已知函数 的最小正周期为 ,且 . （1）求函数的解析式并分别写出取最大值与最小值时相应 的取值集合； 33 【解】的最小正周期为 , 最小正周期 ,,又, . , , 又 , . . 当,即时,取得最小值 , 此时的取值集合为 , . 当,即时, 取得最大值2, 此时的取值集合为 , . 34 （2）求函数, 的单调递减区间. [答案] 依题意 . 若单调递减,则, , 即, . ,令,,得其单调递减区间为, . 35 17.（本小题满分15分）已知函数 ，____. 请在①函数的图象关于直线对称；②函数 的图象关于原点对称；③函数 在区间上单调递减，在区间 上单调递增，这三个条件中任选一个，补充 在上面的横线上，并解答下列问题. （1）求函数 的解析式； 36 【解】若选①,函数的图象关于直线 对称, 则 , , 则, , 因为,所以,所以函数的解析式为 . 若选②,函数的图象关于原点对称,则 , ,则 , . 因为,所以,所以函数的解析式为 . 若选③,函数在区间上单调递减,在区间 上单调递增, 则函数在处取得最小值,则 , 则 ,,所以 , , 因为,所以,所以函数的解析式为 . 37 （2）若将函数的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在 上的值域. 38 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 由题意可得函数,因为 , 所以 , 所以当 时, ； 当时, , 所以函数在上的值域为 . 39 18.（本小题满分17分）[安徽名校联盟2024高一开学考试] 近年来，我国逐渐用风能等清洁能源 替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成， 每两个叶片之间的夹角均为 ，现有一个风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀 速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点（此时 离地 面60米）.设点转动（秒）后离地面的距离为（米），则关于 的函数关系式为 . 40 （1）求 的解析式； 【解】以风车塔底为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 当时,风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点,设为,则 , 由题意得 , 且 解得 所以, . 41 （2）求叶片旋转一圈内点 离地面的高度不低于80米的时长. [答案] 令 , 则 , 即 , 所以 , 解得 . 当时,, , 所以叶片旋转一圈内点离地面的高度不低于80米的时长为 秒. 42 19.（本小题满分17分）函数，,在 内只取到 一个最大值和一个最小值，且当 时，；当 时， . （1）求函数的解析式. 【解】由题意得, , . , . 由点 在函数图象上,得 , , , . 43 （2）求函数的单调递增区间. [答案] 当,即 时,函数单 调递增, 函数的单调递增区间为 . 44 （3）是否存在实数，满足不等式 ？若存 在，求出 的取值范围（或值）;若不存在，请说明理由. 45 [答案] 存在 . 理由如下：满足解得 . , , 同理 . 由（2）知函数在 上单调递增, 若 , 只需,即成立即可. 存在 , 使得 成立. 46 $$