专题2 利用基本不等式求最值-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (湘教版)

数学 必修第一册 XJ 1 2 专题2 利用基本不等式求最值 刷难关 2 1.已知，，且，则 的最小值为( ) B A.8 B.6 C.4 D.2 题型1 求简单代数式的最值 3 解析 因为,,且 , 所以,当且仅当 , 即,时取等号,因此 的最小值为6. 题型1 求简单代数式的最值 4 2.[贵州六盘水2024高一期中] 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂并大斜 幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开 平方得积.即假设在平面内有一个三角形，边长分别为,,，三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶 公式.现有一个三角形的边长满足, ，则此三角形面积的最大值为_____. 题型1 求简单代数式的最值 5 解析 由题意可得,,则 . 由基本不等式可得, . 当且仅当,即 时取等号. 题型1 求简单代数式的最值 6 3.[甘肃兰州一中2024高一期末] 若，则 的最小值为( ) D A. B. C.4 D. 题型2 利用配凑法求最值 7 解析 因为,所以,所以 ,当且仅当,即 时等 号成立,所以的最小值为 ,故选D. 题型2 利用配凑法求最值 8 4.若,，且，则 的最大值为( ) B A.9 B.6 C.3 D. 题型2 利用配凑法求最值 9 解析 因为,,且,所以 , 当且仅当,即,时等号成立,因此 的最大值为6,故选B. 题型2 利用配凑法求最值 10 5.[江西赣州2024高一期中] 若，满足 ，则( ) D A. B. C. D. 题型2 利用配凑法求最值 11 解析 因为,所以,所以 . 对于A,B:因为,所以 ,即 ,所以 ,所以A不正确,B不正确. 对于C,D:由,得,当且仅当 时等号成立,所以 ,所以D正确；当,时,满足,但 ,所以C不正确. 故选D. 题型2 利用配凑法求最值 12 6.[江苏盐城联盟校2024高一期中联考] 设,，且恒成立，则 的最 大值为( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 题型2 利用配凑法求最值 13 思路导引 恒成立,等价于 恒成立,又 ,结合基本不等式即可求解. 题型2 利用配凑法求最值 14 解析 因为,所以,, , 恒成立,等价于 恒成立. 因为 , 所以 , 当且仅当,即 时等号成立, 所以要使恒成立,则需,所以 的最大值为4. 故选B. 题型2 利用配凑法求最值 15 7.[河南南阳一中2024高一月考] 若两个正实数，满足，则 的最小值为( ) C A.12 B.10 C.9 D.8 题型3 利用“1”的代换求最值 16 解析 ,, , , 当且仅当,即时,不等式取“ ”. 的最小值为9.故选C. 题型3 利用“1”的代换求最值 17 8.已知，，且，则 的最小值是( ) C A.1 B. C.2 D. 题型3 利用“1”的代换求最值 18 解析 因为,所以,又,,所以, ,则 , 当且仅当,即, 时等号成立.故选C. 题型3 利用“1”的代换求最值 19 9.[重庆一中2024高一期末] 已知正实数，满足，则 的最小值为( ) D A. B. C.10 D.11 题型4 利用消元法或换元法求最值 20 解析 因为,显然,得到,所以 ,又 ,为正实数,所以,得到,即 , 所以 , 当且仅当,即, 时取等号,故选D. 题型4 利用消元法或换元法求最值 21 10.已知,,，则 的最小值是( ) A A.14 B. C.8 D. 题型4 利用消元法或换元法求最值 22 解析 因为,,所以,,由,得 ,于是 ,当且仅当 ,即,时取“”,所以当,时, 取得最小值14.故选A. 题型4 利用消元法或换元法求最值 23 11.已知，为正实数，则 的最小值为( ) C A.4 B.5 C.6 D.8 题型4 利用消元法或换元法求最值 24 解析 , 设,则 , 当且仅当,即 时取等号. 所以 的最小值为6.故选C. 题型4 利用消元法或换元法求最值 25 12.[天津南开中学2023段考] 已知，都是正数，则 的最小值是________. 解析 因为,均为正实数,故设,,则, , 联立解得, , 所以 , 当且仅当,即,即 时取等号. 题型4 利用消元法或换元法求最值 26 $$