第2.1节 相等关系与不等关系 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (湘教版)

数学 必修第一册 XJ 1 2.1 2.1 相等关系与不等关系 2 2.1 第2.1节综合训练 刷能力 3 1.[北京师大附中2024高一期中] 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成 了后来西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形 实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径 上，且 ，设， ，则该图形可以完成的无字证明为( ) D A. B. C. D. 4 解析 由图形可知,, , 由勾股定理可得 . 在中,由可得 .故选D. 5 2.[黑龙江五地市2024高一期中联考] 已知，，，则 的最小值为 ( ) A A.2 B.3 C. D.4 6 解析 由,,,得,,, , ,故, , , 当且仅当,结合,即, 时等号成立. 故 的最小值为2. 故选A. 7 3.[江西南昌2024高一月考] 已知，当代数式取最小值时， 的值为 ( ) D A. B. C. D. 8 解析 由,得,所以,当且仅当,即 时等 号成立. 所以 , 其中第一个不等式的等号当且仅当时成立,第二个不等式的等号当且仅当 时成立. 所以当取最小值时,有即 所以 .故选D. 9 4.[甘肃武威2023高一月考] 若两个正实数，满足，且存在这样的， 使不等式 有解，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 10 解析 由,可得, ,当 且仅当,即时等号成立.所以, , 解得或,所以实数的取值范围是 .故选C. 11 5.[山东青岛二中2023高一期中] 设正实数，满足 ，则下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 12 解析 A：由,,则,当且仅当时等号成立,故 ,A错误； B：由,当且仅当时等号成立,故 ,B正确； C：由,当且仅当 时等号成立,故 ,C错误； D：由,当且仅当时等号成立,故 ,D错误.故选B. 13 6.（多选）[四川眉山2024高一月考] 已知正实数，满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的值可以为( ) BC A. B. C.1 D.3 14 思路导引 恒成立,为参数,可以先将 分离出来,即转化为 恒成立,即 ,进而转化为利用基本不等式求最值问题. 15 解析 由题可得 恒成立. , , 而,当且仅当,即, 时取等号,则 ,故选 . 16 7.[辽宁大连2023高一期中] 已知,且，则 的最小值等于__________. 解析 因为,且 ,所以 , 当且仅当且,即,时,等号成立,故 的最小值等于 . 17 8.[河南信阳高级中学2023期末] 已知正数,,满足 . （1）若，求 的最大值； 【解】当时,由可得,则 ,所以 ,当且仅当以及 ,即 时等号成立,所以,又,,所以.所以的最大值为 . 18 （2）证明： . 【证明】由已知可得,,则 ,则 ,当且仅当 ,即 时等号成立,所以,同理可得,, ,当且仅当 时等号同时成立. 所以 . 19 规律方法（1）基本不等式的变形形式 要熟练掌握和运用；（2）先利用“乘 1法”转化,再使用基本不等式求最值是已知和为定值求倒数和的最值的有利方法. 20 9.[清华大学2022强基计划] 已知,则 的最大值和最小值分别为_____. 9,1 解析 当时,,,当且仅当 时取等号. 当时,,,当且仅当 时取等号. 当时,也存在满足 的情况, ,当时取得最小值,当 时取得最大值. 21 $$