1.2.2等差数列与一次函数（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.2.2 等差数列与一次函数 课程标准 学习目标 （1）体会等差数列与一元一次函数的关系。 （1）理解等差数列与一次函数的关系; （2）掌握等差数列性质的运用。（难点) 知识点01 等差数列与一次函数的关系 （1）对于一般地等差数列，其通项公式为，将其中的正整数自变量换成实数自变量，得到。 当时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差)； 当时，。这两种情形的函数图象都是直线。 这说明，当用直角坐标系中的点来变式等差数列是，所有的一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数的孤立点组成。 （2）当时，直线从左至右上升，等差数列递增； 当时，直线从左至右下降，等差数列递减； 当时，为水平方向的直线，数列为常数列. 【即学即练1】 数列是等差数列么？若是，求公差是多少？若不是说明理由. 解析 数列是等差数列，且公差为. 知识点02 等差数列的性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，其中， 它具有以下性质： ； 证明 由等差数列通项公式可得，， 两式相减可得，即. 意义 求等差数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等差数列中，，，则 . 解 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等差数列任意两项可求公差. 例 若等差数列中，，,则公差 . 解 . 若, 则； 证明 由等差数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 【即学即练2】在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列下标和的性质直接计算可得结果. 【详解】根据等差数列下标和的性质可得， 又，所以， 故选：D． 【题型一：等差数列通项公式与一次函数的关系】 例1．已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差；(2)画出数列的图象． 【答案】(1)，； (2)图象见解析； (3)单调递减. 【分析】（1）利用给定的通项公式计算即得. （2）在直角坐标系内作出数列的图象. （3）利用数列单调性定义判断单调性即得. 【详解】（1）等差数列的通项公式为，所以首项， 公差. （2）数列的图象，如图， 变式1-1．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 变式1-2．若数列的通项公式，则此数列（    ） A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列 C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义即可求解. 【详解】解：， 是公差为，首项为的等差数列． 故选：A. 【方法技巧与总结】 1 等差数列的通项公式为，与一次函数存在一定的关系； 2 判断等差数列，可证明其通项公式为的形式，其中公差. 【题型二：等差数列的单调性】 例2．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)为递减数列． 【分析】（1）根据已知的两点，列出关于数列基本量的方程组，解出首项、公差d； （2）函数图像是在解析式对应直线方程上的离散的点，再坐标系中描出这些点； （3）直接根据公差的正负判断数列的单调性. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得． 因此，． （2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：    （3）因为公差，所以等差数列为递减数列． 变式2-1．已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列， 即“”“数列为单调递增数列”； 若等差数列为单调递增数列，则， 即“”“数列为单调递增数列”. 因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 变式2-2．已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断. 【详解】等差数列的图象所在直线的斜率， 则直线呈下降趋势，故数列单调递减. 故选：B. 变式2-3．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 变式2-4．写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式 . ①是递增的等差数列；②. 【答案】（答案不唯一） 【分析】设等差数列的公差为，列举满足，即可得到，即得解. 【详解】设等差数列的公差为，由①可知，取， 由，得，则， 所以数列的一个通项公式. 故答案为：（答案不唯一） 变式2-5．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题. 【方法技巧与总结】 在等差数列中，当公差时数列递增，当公差时数列递减. 【题型三：等差数列性质的运用】 例3．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，令的公差为d， 则， 故选：D． 变式3-1．已知在等差数列中，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，代入计算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 变式3-2．等差数列中，，则的值为（    ） A．5 B．10 C．14 D．35 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【详解】解： ，解得， 故选：B 变式3-3．已知数列为等差数列，，则（    ） A．16 B．19 C．25 D．29 【答案】A 【分析】 根据等差数列的通项公式及性质，进行计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 【方法技巧与总结】 等差数列性质告诉我们求等差数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 【题型四：等差数列性质的运用】 例4．已知数列为等差数列，，则的公差为（    ） A．2 B．6 C．1 D．14 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解. 【详解】根据题意，因为等差数列中，， 所以公差. 故选：B． 变式4-1．在等差数列中，若，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式和性质可得答案. 【详解】. 故选：B. 变式4-2．已知数列是等差数列，为其公差，，，则等于 。 【答案】 【详解】，，，， 是等差数列，， ，. 变式4-3．在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根． (1)求，； (2)求的通项公式． 【答案】(1)，或， (2)或 【分析】（1）求出方程的根即可. （2）由（1）可解出等差数列的公差即可. 【详解】（1）因为，所以或14， 所以，；或，． （2）设公差为d， 若，，得， 所以通项公式为； 若，，则， 所以通项公式为． 故的通项公式：或. 【方法技巧与总结】 等差数列性质告诉我们若知道等差数列的两项，则可以直接求出公差. 【题型五：等差数列性质的综合运用】 例5．已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【详解】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 变式5-1．在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将的值代入即可求出值． 【详解】由题意，得， 所以，故C正确. 故选：C. 变式5-2．已知等差数列满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先求解出等差数列的通项公式，然后根据下标和性质化简，最后结合绝对值的取值特点求解出的最小值. 【详解】设等差数列的公差为，所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 当时，显然此时有最小值为， 故选：C. 变式5-3．已知数列满足：，且.若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比值关系用表示出，根据递推关系列方程组可得，可知为等差数列，然后由等差数列通项公式和下标和性质可解. 【详解】因为，所以. 由题知，，即，化简得，且不为0. 所以，所以数列是等差数列. 因为，所以. 因为，所以，解得，即公差. 所以，所以， 所以. 故选：C. 变式5-4．已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可. 【详解】根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即时，取“”号. 故选：B. 变式5-5．已知正项等差数列，若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出和，进而求出公差即可求解. 【详解】在等差数列中，依题意，， 故， 解得，， 故和是的两根，解得，，， 因为为正项等差数列，故公差， 从而，，则，即， 所以. 故选：. 【方法技巧与总结】 1 在等差数列中，若, 则； 2 在等差数列的基本量计算中，可采取列方程组或利用等差数列的性质进行求解；若要利用性质，则需要多观察下标之间的关系. 一、单选题 1．对于数列，“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件. 【答案】C 【分析】由等差数列的定义、通项公式以及充要条件的定义即可求解. 【详解】解：若数列的通项公式为，则(为常数)，由等差数列的定义可得数列为等差数列； 若数列为等差数列，设首项为，公差为，则通项公式为， 令，则数列的通项公式可写为，为常数，. 所以对于数列，“”是“数列为等差数列”的充要条件. 故选：C. 2.数列的通项公式为an＝5－3n，则此数列（    ） A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 【答案】A 【分析】通过计算可得答案 【详解】解：因为， 所以数列{an}是以为公差的等差数列 故选：A. 3.首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（    ） A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d 【答案】D 【分析】根据从第8项起开始为正数，可得a7≤0，a8＞0，利用“”法求解. 【详解】an＝﹣21+（n﹣1）d． ∵从第8项起开始为正数， ∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0， 解得3＜d． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 4.已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，进而根据结合诱导公式求解即可. 【详解】解：因为数列为等差数列，且 所以，解得， 所以. 故选：C 5.在等差数列中，若，，则（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】C 【解析】利用等差数列性质，若，则及等差中项公式可求. 【详解】因为 ，由等差中项公式，得， 同理，得， ． 故选：C． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式. （1）如果为等差数列，若，则 ． （2）为等差数列，则有. 6.已知等差数列的前项积为，若，则当取得最小值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由等差中项的性质和公差的定义求出，再求出通项，然后求出当时的，即可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 则， 所以， 当时，解得， 因此当时，， 因此最小，故取得最小值时，， 故选：C． 7.已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 【答案】C 【分析】根据式子的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质和等差中项公式不断简化式子即可得解. 【详解】由题 ，解得， 故选：C. 8.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立， 则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 二、多选题 9．已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断. 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立． 故选：ABC． 10.若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【分析】写出的通项公式，结合各项写出的通项公式，利用所得通项公式对应函数性质判断单调性、等差数列的通项公式判断等差数列. 【详解】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 11.已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ） A．数列的公差为 B． C．数列是公差为的等差数列 D． 【答案】ABC 【分析】 A选项，根据等差数列的性质得到，从而求出，，得到公差，A正确； 利用等差数列求通项公式求出B正确； 由，得到当时，，结合，从而得到C正确； 在C选项的基础上，求出，结合，求出答案. 【详解】 由题意知，又， 故可看出方程的两根， ∵数列为递减数列， ，． 公差，故A正确； 又， ，故B正确； 由上可知，则当时，， 当时，， 数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确； 由C选项知：，故， ∵， ，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 12．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ． ①；②单调递增． 【答案】（符合此种形式即可） 【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案. 【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得： ， 即， 再根据②可知，公差，显然（）满足题意. 故答案为：（符合此种形式即可） 13.已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 【答案】/ 【分析】利用韦达定理求出，再根据下标和性质计算可得. 【详解】因为，为方程的两根， 所以， 又，，，成等差数列， 所以. 故答案为： 14.已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】根据题意得到，计算可得，进而得出的公差的范围，得到是递增数列，若存在，使得，则当时，取得最小值. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 则，，得， 则是递增数列，且，， 因此当时，，当时，， 因此最小，故取得最小值时，. 故答案为： 四、解答题 15．已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列．如果是，求出公差；如果不是，说明理由． 【答案】是，公差为3 【分析】根据等差数列的定义，即可判断. 【详解】因为， 所以数列是等差数列，且公差为3. 16.已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3)数列是单调递减数列 【分析】（1）设，根据已知的两个点列出关于,的方程组，解出,的值； （2）描出为正整数时的点，即可得到的图象； （3）根据公差的正负判断数列的单调性. 【详解】（1）设， 因为，在等差数列的图像上，所以，， 即 解得 故数列的通项公式为. （2）数列的图象是直线上横坐标为正整数的离散的点，如图所示：    （3）因为，所以是递减数列. 17. 已知在递增的等差数列中，，． (1)求和； (2)求的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列下标和性质可得，再与联立，即可解出； （2）设出数列的公差为，所以，解出，即可得到的通项公式． 【详解】（1）因为，所以且递增∴， （2）设数列的公差为，所以∴，， ∴． 18. 已知等差数列和等差数列…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列，问数列是否为等差数列？ 【答案】25个相同的项，是以12为公差的等差数列 【分析】由题意首先得数列，的通项公式，令，看有多少组正整数解即可，结合数论知识求出的通项公式，结合等差数列的定义即可判断. 【详解】易得. 假设数列的第n项与数列的第k项相同，即有，所以． 而，则k必是3的倍数． 设，于是． 由题设知，两数列各有100项， 则，解得， 又，故两数列共有25个相同的项． 将代入 (或将代入)， 得 (或)， 即等差数列中的第项与等差数列中的第项是相同项， 于是，， (常数)， 故数列是以12为公差的等差数列． 19．若数列{an}(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1，2，3，…，n-1)，则称数列{an}为M数列．记S(An)=a1+a2+a3+…+an(n≥2)． （1）写出一个满足a2=1，a7=0，且S(A7)>0的M数列{an}； （2）若M数列{an}满足a1=2，n=2017，证明：M数列{an}为递增数列的充要条件为a2017=2018； 【答案】（1）答案见解析，答案不唯一；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据题设给定的数列性质写出一个满足题设的M数列{an}即可. （2）分别从必要性、充分性两个方面证明：由已知条件结合M数列{an}为递增数列证a2017=2018；由已知条件结合a2017=2018证M数列{an}为递增数列，即可证结论. 【详解】（1）满足a2=1，a7=0，且S(A7)>0的一个M数列{an}为0，1，2，1，2，1，0． （2）证必要性：∵M数列{an}为递增数列，a1=2，n=2017，又|ak+1-ak|=1(k=1,2,3,…,n-1)， ∴ak+1-ak=1(k=1，2，3，…，2016)，则数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列， ∴a2017=2+(2017-1)=2018． 证充分性：∵M数列{an}满足|ak+1-ak|=1(k=1，2，3，…，n-1)， ∴a2017-a2016≤1，a2016-a2015≤1，a2015-a2014≤1，……，a2-a1≤1， 以上各式累加可得：a2017-a1≤2016，即a2017≤2016+a1=2018，又a2017=2018， ∴a2017=2016+a1=2018． ∴以上各式应该都取等号，即ak+1-ak=1>0(k=1，2，3，…，2016)，即M数列{an}为递增数列． 故M数列{an}为递增数列的充要条件为a2017=2018． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.2 等差数列与一次函数 课程标准 学习目标 （1）体会等差数列与一元一次函数的关系。 （1）理解等差数列与一次函数的关系; （2）掌握等差数列性质的运用。（难点) 知识点01 等差数列与一次函数的关系 （1）对于一般地等差数列，其通项公式为，将其中的正整数自变量换成实数自变量，得到。 当时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差)； 当时，。这两种情形的函数图象都是直线。 这说明，当用直角坐标系中的点来变式等差数列是，所有的一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数的孤立点组成。 （2）当时，直线从左至右上升，等差数列递增； 当时，直线从左至右下降，等差数列递减； 当时，为水平方向的直线，数列为常数列. 【即学即练1】 数列是等差数列么？若是，求公差是多少？若不是说明理由. 知识点02 等差数列的性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，其中， 它具有以下性质： ； 证明 由等差数列通项公式可得，， 两式相减可得，即. 意义 求等差数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等差数列中，，，则 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等差数列任意两项可求公差. 例 若等差数列中，，,则公差 . 若, 则； 证明 由等差数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 【即学即练2】在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【题型一：等差数列通项公式与一次函数的关系】 例1．已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差；(2)画出数列的图象． 变式1-1．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若数列的通项公式，则此数列（    ） A．是公差为-2的等差数列 B．是公差为2的等差数列 C．是公差为3的等差数列 D．是首项为3的等差数列 【方法技巧与总结】 1 等差数列的通项公式为，与一次函数存在一定的关系； 2 判断等差数列，可证明其通项公式为的形式，其中公差. 【题型二：等差数列的单调性】 例2．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 变式2-1．已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 变式2-3．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 变式2-4．写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式 . ①是递增的等差数列；②. 变式2-5．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【方法技巧与总结】 在等差数列中，当公差时数列递增，当公差时数列递减. 【题型三：等差数列性质的运用】 例3．在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1．已知在等差数列中，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3-2．等差数列中，，则的值为（    ） A．5 B．10 C．14 D．35 变式3-3．已知数列为等差数列，，则（    ） A．16 B．19 C．25 D．29 【方法技巧与总结】 等差数列性质告诉我们求等差数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 【题型四：等差数列性质的运用】 例4．已知数列为等差数列，，则的公差为（    ） A．2 B．6 C．1 D．14 变式4-1．在等差数列中，若，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-2．已知数列是等差数列，为其公差，，，则等于 。 变式4-3．在等差数列中，已知，是一元二次方程的两个根． (1)求，； (2)求的通项公式． 【方法技巧与总结】 等差数列性质告诉我们若知道等差数列的两项，则可以直接求出公差. 【题型五：等差数列性质的综合运用】 例5．已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 变式5-2．已知等差数列满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知数列满足：，且.若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 变式5-4．已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 变式5-5．已知正项等差数列，若，，则(    ) A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 在等差数列中，若, 则； 2 在等差数列的基本量计算中，可采取列方程组或利用等差数列的性质进行求解；若要利用性质，则需要多观察下标之间的关系. 一、单选题 1．对于数列，“”是“数列为等差数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件. 2.数列的通项公式为an＝5－3n，则此数列（    ） A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 3.首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（    ） A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d 4.已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 5.在等差数列中，若，，则（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 6.已知等差数列的前项积为，若，则当取得最小值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7.已知等差数列满足，则（    ） A． B．5 C．5或－5 D．或 8.设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 11.已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ） A．数列的公差为 B． C．数列是公差为的等差数列 D． 三、填空题 12．写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： ． ①；②单调递增． 13.已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 14.已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时， ． 四、解答题 15．已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列．如果是，求出公差；如果不是，说明理由． 16.已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 17. 已知在递增的等差数列中，，． (1)求和； (2)求的通项公式． 18. 已知等差数列和等差数列…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列，问数列是否为等差数列？ 19．若数列{an}(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1，2，3，…，n-1)，则称数列{an}为M数列．记S(An)=a1+a2+a3+…+an(n≥2)． （1）写出一个满足a2=1，a7=0，且S(A7)>0的M数列{an}； （2）若M数列{an}满足a1=2，n=2017，证明：M数列{an}为递增数列的充要条件为a2017=2018。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$