1.2.3等差数列的前n项和（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.2.3 等差数列的前n项和 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握等差数列的前 项和公式； （2） 理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系。 （1）掌握等差数列的前n项和的公式，并会求等差数列前n项和; （2）掌握等差数列前n项和的性质及其运用.（难点) 知识点01 等差数列前n项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ， 解析 (1)证明 (1) (2) 两式相加可得， 有等差数列的性质：若， 则； 可得， 故； 又，所以. 以上方法是倒序相加法. (2)等边数列的前项和，可写成， 当时，可看成关于的二次函数. 【即学即练1】等差数列中，，则其前项和________. 知识点02 等差数列前n项和性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 成等差数列； 证明 ； 即； 同理； 归纳得证. 例 是一等差数列的前项和，成等差数列. . 证明 . 例 是一等差数列的前项和，，. 【即学即练2】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．54 B．63 C．72 D．135 【题型一：求等差数列的前n项和】 例1．已知等差数列的公差为，前项和为.若成等差数列，且，则（    ） A．12 B．21 C．32 D．56 变式1-1．等差数列的前项和记为，若，，则（   ） A．51 B．102 C．119 D．238 变式1-2．设等差数列满足，则（    ） A．80 B．100 C．120 D．160 变式1-3．设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．272 B．270 C．157 D．153 【方法技巧与总结】 1 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ①， ②； 2 在求等差数列其前项和时，若能根据条件得到和采取公式②，要采取公式①，要注意各项的下标. 【题型二：等差数列的前n项和的基本量计算】 例2．记为等差数列的前n项和，已知，， (1)求公差d及的通项公式；(2)求. 变式2-1．已知是等差数列的前项和，且，则的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-2．记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式 (2)求的前项和 【方法技巧与总结】 在等差数列基本量的计算中，往往采取列方程组的方法求解，而能注意到各项下标存在一定关系，利用等差数列的性质进行求解，会起到简便的效果！ 【题型三：等差数列前n项和的二次函数特征】 例3．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 变式3-1．等差数列 中， 是其前 项和，，则公差 的值为（       ） A． B．1 C．2 D．3 变式3-2．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ） A． B． C． D． 变式3-3．已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【方法技巧与总结】 1 等差数列的前n项和，可写成，当时，可看成关于的二次函数； 2 利用二次函数的对称性可求某项的值，或利用配方求前n项和最值； 3 若某数列的前n项和，则该数列是等差数列，这为证明等差数列又提供一个方法. 【题型四：等差数列的前n项和的性质与应用】 例4．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式4-1．等差数列的前项和分别为，且，则（　　） A． B． C． D．以上答案均不对 变式4-2．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式4-3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 变式4-4．在等差数列中，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 成等差数列； . 【题型五：等差数列前n项和在实际问题中的应用】 例5．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 变式5-1．《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱？”则第人比第人多得钱数为（　　） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 变式5-2．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（    ） A．754 B．755 C．756 D．757 变式5-3．小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 【方法技巧与总结】 在实际问题中，根据题意提取出有关“等差数列”的信息是关键，再把其自然语言化为等差数列的符号语言，明确首项和公差，问题转化为等差数列基本量的计算. 【题型六：等差数列的综合运用】 例6．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求证：． 变式6-1．设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知首项为1的数列的前项和为，其中，现有以下结论：①；②；③．则正确结论的序号为（    ） A．① B．② C．②③ D．①②③ 变式6-3．已知函数的所有正零点构成递增数列． (1)求函数的周期和最大值； (2)求数列的通项公式及前项和． 变式6-4．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求； (2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 变式6-5．已知正项数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．7 C．11 D．23 2.设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．10 C． D．15 3.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．-1 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（    ） A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块 5. 已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 6.设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7.已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．2600 B．2480 C．1660 D．1460 8.已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（    ） A． B． C．200 D．400 二、多选题 9．数列的前项和，则（    ） A． B． C．数列有最小项 D．是等差数列 10.等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 11.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．使得成立的最大正整数 C． D．中最小项为 三、填空题 12．记为等差数列的前n项和，若，，则 . 13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足，且.则该数列的通项公式为 . 14.已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 四、解答题 15．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 16.已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和. 17.已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 18.已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 19．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. (1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； (2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3 等差数列的前n项和 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握等差数列的前 项和公式； （2） 理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系。 （1）掌握等差数列的前n项和的公式，并会求等差数列前n项和; （2）掌握等差数列前n项和的性质及其运用.（难点) 知识点01 等差数列前n项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ， 解析 (1)证明 (1) (2) 两式相加可得， 有等差数列的性质：若， 则； 可得， 故； 又，所以. 以上方法是倒序相加法. (2)等边数列的前项和，可写成， 当时，可看成关于的二次函数. 【即学即练1】等差数列中，，则其前项和________. 解析 ；或，. 知识点02 等差数列前n项和性质 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 成等差数列； 证明 ； 即； 同理； 归纳得证. 例 是一等差数列的前项和，成等差数列. . 证明 . 例 是一等差数列的前项和，，. 【即学即练2】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．54 B．63 C．72 D．135 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，，为等差数列，再根据等差中项的性质即可得到答案. 【详解】因为是等差数列，所以，，为等差数列， 即成等差数列， 所以，解得. 故选：B 【题型一：求等差数列的前n项和】 例1．已知等差数列的公差为，前项和为.若成等差数列，且，则（    ） A．12 B．21 C．32 D．56 【答案】C 【分析】设公差，利用等差中项概念得方程，解方程求出，继而利用等差数列求和公式计算即得. 【详解】因为数列的公差为则 ， 因成等差数列，则有， 即，两边取平方整理得， 再两边取平方整理得，， 解得或（因，故舍去）. 故当时，. 故选：C. 变式1-1．等差数列的前项和记为，若，，则（   ） A．51 B．102 C．119 D．238 【答案】B 【分析】结合等差数列的性质先求出公差，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】等差数列中，，，即， 所以， 则. 故选：B. 变式1-2．设等差数列满足，则（    ） A．80 B．100 C．120 D．160 【答案】D 【分析】由等差数列的下标性质可得，再由等差数列的求和公式，代入计算，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，则， 则. 故选：D 变式1-3．设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．272 B．270 C．157 D．153 【答案】D 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 故． 故选：D 【方法技巧与总结】 1 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 ①， ②； 2 在求等差数列其前项和时，若能根据条件得到和采取公式②，要采取公式①，要注意各项的下标. 【题型二：等差数列的前n项和的基本量计算】 例2．记为等差数列的前n项和，已知，， (1)求公差d及的通项公式； (2)求. 【答案】(1)2， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求得，即可求得数列的通项公式； （2）根据等差数列的求和公式得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，即， 又由，可得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知， 变式2-1．已知是等差数列的前项和，且，则的公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故选：C. 变式2-2．记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 变式2-3．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式 (2)求的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式，结合等差数列的下标性质、通项公式进行求解即可； （2）根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）设的公差是，则，∵，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， ∴， ∵， 所以是等差数列，首项是，公差是， 所以. 【方法技巧与总结】 在等差数列基本量的计算中，往往采取列方程组的方法求解，而能注意到各项下标存在一定关系，利用等差数列的性质进行求解，会起到简便的效果！ 【题型三：等差数列前n项和的二次函数特征】 例3．已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（     ）． A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 【答案】C 【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列前项和公式， 得：，， 又， ， 即， 又， ， 由此可知，数列是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上， 又， 点与点关于直线对称， 当或时，最大. 故选：C 变式3-1．等差数列 中， 是其前 项和，，则公差 的值为（       ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】代入等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ，则， 则. 故选：C 变式3-2．已知等差数列的前项和为，，，当取最大时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前n项和的函数性质判断取最大时的值. 【详解】令公差为，则，解得， 所以， 当时，取最大值. 故选：B 变式3-3．已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和二次函数性质及求得，进而求得，最后应用等差数列前n项和公式求结果. 【详解】由，故对称轴为， 又， 所以，即，故， 所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 1 等差数列的前n项和，可写成，当时，可看成关于的二次函数； 2 利用二次函数的对称性可求某项的值，或利用配方求前n项和最值； 3 若某数列的前n项和，则该数列是等差数列，这为证明等差数列又提供一个方法. 【题型四：等差数列的前n项和的性质与应用】 例4．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 变式4-1．等差数列的前项和分别为，且，则（　　） A． B． C． D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】根据给定条件结合等差数列项的性质、等差数列前n项和公式计算作答. 【详解】根据题意，. 故选：C. 变式4-2．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】设等差数列有，项．公差为．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得，，分别相加相减即可得出． 【详解】解：设等差数列有奇数项，．公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32， ， ， ，， ，即等差数列共项，且 故选：． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 变式4-3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．30 B．58 C．60 D．90 【答案】D 【分析】 借助等差数列片断和的性质计算即可得. 【详解】由数列为等差数列， 故、、、、亦为等差数列， 由，，则， 故，，， 即有，，. 故选：D. 变式4-4．在等差数列中，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可 【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故 故选：D 【方法技巧与总结】 若数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，它具有以下性质： 成等差数列； . 【题型五：等差数列前n项和在实际问题中的应用】 例5．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（    ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【答案】B 【分析】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断CD选项. 【详解】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为， 由题意可得，解得，A结论正确； ，B结论错误； ，C结论正确； ，D结论正确. 故选：B. 变式5-1．《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国､秦､汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱？”则第人比第人多得钱数为（　　） A．钱 B．钱 C．钱 D．钱 【答案】B 【分析】设从前到后的个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得结果. 【详解】设从前到后的个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列， 则有，， 故，解得，则， 故选：B. 变式5-2．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（    ） A．754 B．755 C．756 D．757 【答案】B 【分析】由题意可得除以三余二且除以五余三的正整数是以为首项，为公差的等差数列，再根据等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】设除以三余二的正整数为数列，则， 除以五余三的正整数为数列，则， 除以三余二且除以五余三的正整数为数列， 而和的最小公倍数为， 则数列是由数列和的公共项构成的一个数列， 数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 所以前10个数的和为. 故选：B. 变式5-3．小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 【答案】C 【分析】利用等差数列定义及前n项和公式得前n天阅读总时间为，再列不等式求恰好阅读完这两本书的时间. 【详解】由题设，每天阅读时间是首项、公差都为10的等差数列， 所以前n天阅读总时间为分钟， 令，则，， 又开口向上且对称轴为，即上递增， ，，， 所以恰好阅读完这两本书的时间为第22天. 故选：C 【方法技巧与总结】 在实际问题中，根据题意提取出有关“等差数列”的信息是关键，再把其自然语言化为等差数列的符号语言，明确首项和公差，问题转化为等差数列基本量的计算. 【题型六：等差数列的综合运用】 例6．已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造新数列，是等差数列，通过的通项公式得到的通项公式. （2）由，得到，进而，裂项相消法求和. 【详解】（1）由知，若，则，若，则． 又，所以． 由，可得即（常数）， 故是首项为2，公差为1的等差数列，所以． 故． （2）由得，① 由得，② ①②可得． 当时，，则． 所以 ， 所以， 当时，也满足上式，所以． 由上可知，， 所以 ， 即． 变式6-1．设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用可证明得数列和都是公差为2的等差数列，再可求得，有了这些信息，就可以从的取值分析并求解出结果. 【详解】因为， 所以， 假设，解得或（舍去）， 由存在，，所以有或， 由可得，，两式相减得：， 当时，有，即， 根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2， 所以，解得， 当时，有，即， 根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2， 所以，解得， 由已知得，所以. 故选：A. 变式6-2．已知首项为1的数列的前项和为，其中，现有以下结论：①；②；③．则正确结论的序号为（    ） A．① B．② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①通过做差，判断差值正负，来判断和得大小关系， ②通过对变形得到，然后求和即可， ③通过得到，然后对进行放缩. 【详解】对①，因为， 所以 所以，即， 故①错误， 对②，由得， 所以， 所以, 因为， 所以， 所以， 所以②正确， 对③，当时，，化简得， 所以当时，，即， 所以， 所以， 所以③错误， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是通过找到递推关系和①②③的形式之间的关系，通过作差法，裂项，放缩分别判断. 变式6-3．已知函数的所有正零点构成递增数列． (1)求函数的周期和最大值； (2)求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1)周期2，最大值2 (2)， 【分析】（1）先应用辅助角公式化简再得出最大值即可； （2）令可得出，根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式. 【详解】（1）由题可得， 因此函数的周期， 当，即时，取最大值，最大值为． （2）由得， 因此函数的所有正零点为， ，，因此是首项为，公差为1的等差数列； ， 变式6-4．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求； (2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由求和公式求解， （2）代入化简可得恒成立．利用作差法求解的单调性，即可求解最值得解. 【详解】（1）设公差为，则，解得， 故 （2）由，可得， 即恒成立． 设，则， 当时，则， 当，即时，则， 所以，故，所以， 即实数的取值范围为． 变式6-5．已知正项数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）已知，求出. （2）先求出，再求出新数列的通项公式，再放缩求和即可. 【详解】（1）当时，,得， 当时，， 又， 两式相减得整理得到，， 又∵，∴， ∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴． （2）∵， ∴时，，时，， ∴ ∴成立． 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．7 C．11 D．23 【答案】C 【分析】根据等差数列通项公式和求和公式得到方程，求出公差，得到答案. 【详解】，解得， . 故选：C 2.设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．10 C． D．15 【答案】B 【分析】利用等差中项性质得，再利用等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】若，由等差中项性质得， 故，即，易知. 故选：B 3.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D．-1 【答案】A 【分析】令，求出和的关系，根据即可求出. 【详解】因为，令， 则，所以， 故，因为，所以， 即， 由等差数列的性质可得， 所以，即，解得. 故选：A. 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（    ） A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块 【答案】B 【分析】由等差数列前项和的性质求解． 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，， 设每层有环，则，， 是等差数列，则也成等差数列， 所以， 所以，， 故选：B． 5. 已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解. 【详解】由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 6.设是等差数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等差数列的性质，与的关系，等差中项的性质，前项和公式逐一分析即可； 【详解】因为是等差数列的前n项和， 由， 由， 设公差为，则， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：A. 7.已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．2600 B．2480 C．1660 D．1460 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和的特征，先得出的值，再由当时，，得出的通项公式，求出的值，从而可得出也为等差数列，根据等差数列前项和的公式可得出答案. 【详解】因为为等差数列，所以， 当时，， 由，则 所以，所以，公差为6； ，则也为等差数列， 公差， 所以， 故选：B． 8.已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（    ） A． B． C．200 D．400 【答案】C 【分析】利用关系及等差数列的定义求的通项公式，进而可得，根据正弦函数的周期性并讨论，求得，即可求. 【详解】由题设 ，则， 所以，又为正项数列，则， 由，可得， 所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，故， 当且，； 当且，； 当且，； 当且，； 则， 由. 故选：C 二、多选题 9．数列的前项和，则（    ） A． B． C．数列有最小项 D．是等差数列 【答案】AD 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以， 所以，，则，故B错误； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且， 即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：AD 10.等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 【答案】ABD 【分析】对于A，由等差数列性质即可判断；对于B，由公差的定义即可判断；对于C，作差结合公差小于0即可判断；对于D，只需注意到，由此即可判断. 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，，其中为等差数列的公差，即，故B正确； 对于C，，即，故C错误； 对于D，由题意， 从而当，，且，故D正确. 故选：ABD. 11.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．使得成立的最大正整数 C． D．中最小项为 【答案】ACD 【分析】A选项，根据题目条件得到，，从而得到，，A正确；B选项，，，B错误；C选项，先得到，从而得到；D选项，得到当时，，当时，，当时，，并得到. 【详解】A选项，，即，故， 故，故，故，A正确； B选项，，， 故使得成立的最大正整数，B错误； C选项，由于， 故， 则， 故，C正确； D选项，由于， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 故当时，，当时，，当时，， 由，得， ， 由不等式的同向可乘性可得，，故， 故中最小项为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足，且.则该数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】依题意可得，，利用累加法计算可得. 【详解】因为，，所以，， 所以当时， ， 又，所以当时，上式也成立， 所以； 故答案为： 14.已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解. 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为： 四、解答题 15．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 【答案】(1) (2)；的最小值为 【分析】（1）根据题意结合等差数列求和公式求得，即可得结果； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质分析求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 可得，解得：， 所以． （2）由（1）可得：， 可知：时，取得最小值， 所以的最小值为． 16.已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式； （2）先根据第（1）题的结果计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式并进行转化，最后运用裂项相消法即可计算出数列的前10项和. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 则， 化简整理，得， 解得， . （2）由（1）可得，， 则 ， 数列的前10项和为： . 17.已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，前项和公式和等差数列的性质，求出和，得到等差数列的通项公式. （2）由 .再由，求数列的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则： . 所以. （2）由（1）得： 由 . 所以当时，. 当时，. 所以. 18.已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解； （2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解． 【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得， 解得，则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到， 又恒成立，则恒成立， 设，则， 当时，，即； 当时，，则，则； 则，故， 故实数λ的取值范围为． 19．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”. (1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项； (2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和. ①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值? ②若，且，求的最小值. 【答案】(1)1，3，5，7，5，3，1 (2)①1012；②2025 【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果； （2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果 【详解】（1）因为数列是项数为7的“对称数列”，所以， 又因为成等差数列，其公差，… 所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1； （2）①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足， 可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列， 故 ， 所以当时，取得最大值； ②因为即， 所以即， 于是， 因为数列是“对称数列”， 所以 ， 因为，故， 解得或，所以， 当，，…，构成公差为的等差数列时，满足， 且，此时，所以的最小值为2025. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$