精品解析：山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

高二6月阶段性教学质量检测数学试题 本试卷共4页，考试时间120分钟 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 考生须知： 1.答题前，考生应在试卷和答题卡的指定位置填写姓名、考试号、座号等.检查条形码上的姓名、考试号、座号等是否正确，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.答选择题时，应使用2B铅笔按填涂样例将答题卡对应题目的标号涂黑；答非选择题时，应使用0.5mm黑色签字笔在答题卡的指定位置书写答案，笔迹清晰，字迹工整. 3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答案无效.保持答题卡清洁，不折叠、不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 36 B. 48 C. 96 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列中，由，得. 故选：B 2. 某校一次数学考试成绩 服从正态分布，已知，则（ ） A. 0.15 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求解即得. 【详解】由 服从正态分布，， 得. 故选：C 3. 若函数在内无极值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】函数在内无极值， 所以在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可， 解得或， 故选：C. 4. 已知 是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 则， 故选：D. 5. 已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【详解】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即 ， 故选：A. 6. 5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 12 C. 48 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑和插空法进行求解. 【详解】将甲乙捆绑，有种情况，将甲和乙看作一个整体， 和除丙外的两个人进行全排列，有种情况， 然后将丙进行插空，两边的空不插，共有2空，故有种情况， 综上，不同的安排方法数有. 故选：A 7. 已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项． 【详解】由题意可得，而且在点的左侧附近， ，此时，排除B、D； 在点的右侧附近， ，此时，排除A， 所以函数的图象可能是C． 故选：C 8. 已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及等比数列前项和公式，即可求解. 【详解】联立可得或， 又因为数列是递增的等比数列，所以， 则公比， 所以， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由，以及等差数列的性质可得，，然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可. 【详解】由，得， 设等差数列的公差为 ，则有， 所以， 所以， 所以，， ， 由，得， 故选：ACD. 10. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时，在处的切线方程为 B. 当 时，在上存在唯一极大值点 C. 存在 ，使得有且仅有2个零点 D. 存在 ，使得有且只有一个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】当 时，利用导数的几何意义，即可判定A正确；当 时，求得， 令，结合导数的符号和极值点的概念，可 判定B错误；当 时，先判定函数在 没有零点，再由零点的定义和函数与的图象的交点个数，可判定C正确；当时，根据对数函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，当 时，可得，所以，即切点为 ， 由，可得切线的斜率为， 所以在处的切线方程为，所以A正确； 对于B中，当 时，可得， 令，可得在为单调递增函数， 由，所以存在，使得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在区间上有唯一的极小值点，所以B错误； 对于C中，当 时，函数，且， 当时， ，函数单调递增， 所以，即函数在 没有零点； 在，令，即， 由函数和的图象，如图所示， 可得当 时，；当时，； 当时，，所以在上仅有两个零点， 综上可得，当 时，函数有且仅有2个零点，所以C正确； 对于D中，当时，函数， 根据对数函数的性质，可得函数的图象与 轴仅有一个交点， 即当时，函数有且只有一个零点，所以D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 【答案】ACD 【解析】 【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确； 对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法， 所以共有种排法，故B错误； 对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法， 所以共有种排法，故C正确； 对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法， 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法， 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 数列满足，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】累加法以及等差数列求和公式求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， 累加得： 故答案为：. 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 14. 已知函数满足，且，当 时，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得出为奇函数，进而得出为偶函数.再根据，得出原函数，进而分析原函数的单调性和奇偶性，从而得出不等式的解. 【详解】因为，所以为奇函数，故为偶函数. 当时，，令，故当时，，且为偶函数. 由，故，即. 而，所以. 由上知在上递减，上递增. 因此，即. 故答案为：. 四、解答题：本提供5小题，满分77分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知展开式的二项式系数和为64，且． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后根据二项展开式的通项即得； （2）由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得； （3）由题可得，然后利用赋值法即得. 【小问1详解】 ∵的展开式的所有项的二项式系数和为， ∴， 故展开式中第三项为：， 所以； 【小问2详解】 ∵， ∴第四项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项； 【小问3详解】 因为， ∴， 令 ，可得. 16. 2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值； （2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中 近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率； （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望. 附：若，则， ，. 【答案】（1）26， （2） （3）分布列： Y 0 1 2 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图,结合概率可求出质量超过515克的产品数量，再由平均数的公式求样本平均值. （2）利用正态分布的原则的对称性求解即可； （3）质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且，利用二项分布求出分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 质量超过515克的产品的频率为， 质量超过515克的产品数量为（件）. . 【小问2详解】 由题意可得， 则， 则该批产品质量指标值的概率： . 【小问3详解】 根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品， 该产品的质量超过515克的概率为. 所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看作二项分布. 故，质量超过515克的件数Y可能的取值为0，1，2，且, , ， ，， 的分布列为 Y 0 1 2 P Y的均值为或者 17. 设函数，已知 是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【答案】（1） ； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间 内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间 内是增函数，在区间 内是减函数，所以，即（当且仅当 时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【解析】 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数 ； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，， 又 是函数的极值点，所以，解得 ； （2）略 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当 时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 18. 2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． （1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值； （3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・ 【答案】（1）乙； （2）； （3）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法公式，结合配方法进行求解即可； （2）根据概率的加法公式和乘法公式进行求解即可； （3）根据概率的乘法公式进行求解即可. 【小问1详解】 甲队进入决赛的概率为， 乙队进入决赛的概率为， 丙队进入决赛的概率为，因为， 所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大； 【小问2详解】 因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有， 解得，或，因为，所以； 【小问3详解】 由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、， 的可能取值为 、、 、， ， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若关于 的方程有两根（其中）， ①求 的取值范围； ②当时，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为的单调递减区间为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）对求导，并判断导函数的正负，即可得到的单调性； （2）①可转化为，令，有，再借助的单调性，得到，令，借助的单调性，得到的大致图象，即可求得 的取值范围；②借助的单调性，有，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 由 解得 ，由 解得， 故的单调递增区间为的单调递减区间为. 【小问2详解】 ①由，即，即， 令，上式为，因为， 所以在上单调递增，故等价于， 即在上有两根， 令，则， 由解得，由解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以有极大值，且当 时，， 其图象如图所示： 所以 的取值范围为. ②由①得在上有两根，所以， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，所以， 可得，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二6月阶段性教学质量检测数学试题 本试卷共4页，考试时间120分钟 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 考生须知： 1.答题前，考生应在试卷和答题卡的指定位置填写姓名、考试号、座号等.检查条形码上的姓名、考试号、座号等是否正确，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.答选择题时，应使用2B铅笔按填涂样例将答题卡对应题目的标号涂黑；答非选择题时，应使用0.5mm黑色签字笔在答题卡的指定位置书写答案，笔迹清晰，字迹工整. 3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答案无效.保持答题卡清洁，不折叠、不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 36 B. 48 C. 96 D. 24 2. 某校一次数学考试成绩 服从正态分布，已知，则（ ） A. 0.15 B. 0.25 C. 0.3 D. 0.2 3. 若函数在内无极值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 12 C. 48 D. 36 7. 已知是函数在上的导函数，函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数 等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时，在处的切线方程为 B. 当 时，在上存在唯一极大值点 C. 存在 ，使得有且仅有2个零点 D. 存在 ，使得有且只有一个零点 11. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 数列满足，，则___________． 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 14. 已知函数满足，且，当 时，，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本提供5小题，满分77分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知展开式的二项式系数和为64，且． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的值． 16. 2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值； （2）由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中 近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率； （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望. 附：若，则， ，. 17. 设函数，已知 是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 18. 2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． （1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； （2）若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值； （3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・ 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若关于 的方程有两根（其中）， ①求 的取值范围； ②当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $