第1章 三角形的初步认识（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

第1章：三角形的初步认识章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024春•碑林区校级期末）下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．8，8，16 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、3+4＜8，不能构成三角形，故A不符合题意； B、5+6＝11，不能构成三角形，故B不符合题意； C、5+6＞10，能构成三角形，故C符合题意； D、8+8＝16，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2．（2024春•涧西区校级月考）下列四个命题： ①相等的角是对顶角； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③等角的补角相等； ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离，其中真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据对顶角性质，平行线的判定与性质，点到直线的距离，补角的定义，逐项判断即可． 【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故①是假命题； ②两直线平行，同位角相等，故②是假命题； ③等角的补角相等，正确，③是真命题； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④是假命题； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故⑤是假命题， 综上所述，真命题的个数为1， 故选：A． 【点评】本题考查了命题真假的判断，对顶角性质，平行线的判定与性质，点到直线的距离，补角的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2024•海珠区一模）在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝AD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD， ∵△ABD的周长为45， ∴AB+AD+BD＝45， ∵AB＝20， ∴20+CD+BD＝45， ∴CD+BD＝25， ∵BC＝18， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形的周长公式，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解决问题的关键． 4．（2024春•兴化市校级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点D为BC的中点得到，再利用E点为AD的中点得到S△BDE＝4，S△CDE＝4，所以S△BCE＝8，然后利用F点为CE的中点得到． 【解答】解：∵点D为BC的中点， ∴， ∵E点为AD的中点， ∴， ∴S△BCE＝4+4＝8， ∵F点为CE的中点， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，关键是三角形中线性质的应用． 5．（2024春•如皋市期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠EGF＝∠MPN＝90°，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，则∠BEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，延长NG交AB于点Q， ∵AB∥CD， ∴∠EQG＝∠MNP＝45°， 在Rt△EQG中，∠EGQ＝90°，∠EQG＝45°， ∴∠QEG＝45°， ∴∠BEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和是180°以及平角的定义是正确解答的关键． 6．（2024春•青岛期末）如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若∠BAC＝33°，则∠EFC的度数为（　　） A．33° B．57° C．123° D．147° 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠DAE＝∠CAB＝33°，∠D＝∠C， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠EFC＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣∠D﹣∠AED＝∠DAC＝33°， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 7．（2024春•奉节县期末）如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM的度数为（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据翻折的性质，三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°， 由翻折的性质可知，∠B＝∠DAE，∠C＝∠MAN， ∴∠DAE+∠MAN＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAM＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查翻折的性质，三角形内角和定理，掌握翻折的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的关键． 8．（2024•天山区校级四模）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝9，BC＝6，AC＝13，则△ABD的周长为（　　） A．28 B．22 C．19 D．15 【分析】由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，则可得BD＝CD，进而可得△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC，即可得出答案． 【解答】解：由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝22． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 9．（2024春•碑林区校级期末）如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意先过点E作EG⊥AC，设EF＝EG＝x，根据S△BDC＝20，得出△ABE的面积+△ADE的面积＝20，即，进而求得x的值即可． 【解答】解：过点E作EG⊥AC， ∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB于F， ∴EF＝EG， 设EF＝EG＝x， ∵BD是中线，S△BCD＝20，AC＝12， ∴，S△ABD＝S△BCD＝20， ∴S△ABE+S△ADE＝20， ∴， ∴， 解得：x＝2， ∴EF＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据△ABD的面积＝20，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 10．（2024春•未央区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA的外角平分线交AC的延长线于点F，FB的延长线交斜边上的高CD的延长线于点E，EG∥AC交AB的延长线于点G，连接CG，则下列结论：①∠F＝∠CEF；②GE＝CE；③EF⊥CG，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①根据BF平分∠CBG得∠GBF＝∠CBF＝∠EBD，再根据∠F+∠CBF＝90°，∠EBD+∠CEF＝90°即可对结论①进行判断； ②根据EG∥AC得∠GEB＝∠F，再由①正确得∠F＝∠CEF，进而得∠GEB＝∠CEB，根据∠GBF＝∠CBF得∠GBE＝∠CBE，由此可依据“SAS”判定△GBE和△CBE全等，然后依据全等三角形性质可对结论②进行判断； ③由②可知GE＝CE，∠GEB＝∠CEB，然后根据等腰三角形三线合一定理得BE⊥CG，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵BF平分∠CBG， ∴∠GBF＝∠CBF， ∵∠GBF＝∠EBD， ∴∠CBF＝∠EBD， ∵∠ACB＝90°，CD为Rt△ABC斜边上的高， ∴∠F+∠CBF＝90°，∠EBD+∠CEF＝90°， ∴∠F＝∠CEF， 故结论①正确； ②∵EG∥AC， ∵∠GEB＝∠F， 由①可知：∠F＝∠CEF， ∴∠GEB＝∠CEF， 即∠GEB＝∠CEB， ∵∠GBF＝∠CBF，∠GBE+∠GBF＝180°，∠CBE+∠CBF＝180°， ∴∠GBE＝∠CBE， 在△GBE和△CBE中， ， ∴△GBE≌△CBE（SAS）， ∴GE＝CE， 故结论②正确； ③由②可知：GE＝CE，∠GEB＝∠CEB， 根据等腰三角形三线合一定理得：BE⊥CG， 即EF⊥CG， 故结论③正确， 综上所述：正确的结论是①②③，共3个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形三线合一定理是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024春•嘉定区期末）在△ABC中，如果∠B＝30°，∠C＝55°，那么按角分类，△ABC是 　　 三角形． 【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠A，再判断三角形的形状． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝55°， ∴∠A＝180°﹣30°﹣55°＝95°， 则三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【点评】考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的分类． 12．（2023秋•静安区校级期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 　 　． 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【解答】解：命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点评】考查了命题与定理的知识，任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 13．（2024•牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可） 【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【解答】解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE， ∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS）， 添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA）， 故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答． 14．（2023秋•宣汉县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝　 　． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故答案为：90°． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°． 15．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝40°．连接CD，BE交于点F，则∠DFE的度数为 　 　． 【分析】设AB交CD于点G，由∠BAD＝∠CAE＝40°，推导出∠BAE＝∠DAC，而AB＝AD，AE＝AC，即可根据“SAS”证明△BAE≌△DAC，得∠ABE＝∠D，可求得∠BFD＝∠BAD＝40°，则∠DFE＝180°﹣∠DFB＝140°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设AB交CD于点G， ∵∠BAD＝∠CAE＝40°， ∴∠BAE＝∠DAC＝40°+∠BAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴∠ABE＝∠D， ∴∠BFD＝∠BGD﹣∠ABE＝∠BGD﹣∠D＝∠BAD＝40°， ∴∠DFE＝180°﹣∠BFD＝180°﹣40°＝140°， 故答案为：140°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△BAE≌△DAC是解题的关键． 16．（2024春•南山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝　 　秒时，△PEC与△QFC全等． 【分析】点Q在BC上，点P在AC上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【解答】解：由题意得，AP＝t，BQ＝2t， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴CP＝6﹣t，CQ＝8﹣2t， ①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l， ∵∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°， ∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°， ∴∠CPE＝∠FCQ， 当△PEC≌△CFQ时， 则PC＝CQ， 即6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当△PEC≌△QFC， 则PC＝CQ， ∴6﹣t＝2t﹣8． 解得：t； ③如图3，当点Q与A重合时，∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°， ∴∠CQF＝∠PCE， 当△PEC≌△CFQ， 则PC＝CQ， 即t﹣6＝6， 解得：t＝12； 当综上所述：当t＝2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等， 故答案为：2或或12． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2023秋•田家庵区校级期中）已知三角形ABC的三边为a，b，c； （1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 【分析】（1）根据三角形三边关系得出c的取值范围，进而解答即可； （2）根据三角形三边关系判断绝对值号内的正负，进而解答即可． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝7， ∴7﹣2＜c＜7+2， 即5＜c＜9， ∵c为最长边且为整数， ∴c＝7或8， ∴三角形ABC的周长＝2+7+8＝17或2+7+7＝16； （2）∵三角形ABC的三边为a，b，c， ∴a+b＞c，b＜a+c， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，a+b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c＝a+3b﹣c． 【点评】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，求出c的取值范围是解题的关键． 18．（8分）（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝BD， CE＝EB， 又∵EC＝4， ∴BE＝4， 又∵△BDC的周长＝18， ∴BD+DC＝10， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDN＝60°， 又∵MN垂直平分BC， ∴∠DNC＝90°， ∴∠C＝30°， 又∵∠C＝∠DBC＝30°， ∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19．（8分）（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 【分析】（1）由BC＝DE，∠B＝∠D，AB＝AD，根据“SAS”证明△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠AEC＝∠ACE，由∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝120°，求得∠ACE＝60°． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACE的度数是60°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 20．（8分）（2023秋•兴宾区期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，AD交BE于O． （1）求证：△ACO≌△DFO； （2）若BF＝CE．求证：AB∥DE． 【分析】（1）平行线的性质得出∠CAO＝∠FDO，进而利用AAS证明△ACO≌△DFO即可； （2）根据全等三角形的判定和性质得出△ABO与△DEO全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【解答】证明：（1）∵AC∥FD， ∴∠CAO＝∠FDO， 在△ACO与△DFO中 ， ∴△ACO≌△DFO（ASA）； （2）∵△ACO≌△DFO， ∴OF＝OC， ∵BF＝CE， ∴BO＝EO， 在△ABO与△DEO中 ， ∴△ABO≌△DEO（SAS）， ∴∠B＝∠E， ∴AB∥DE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 21．（9分）（2023秋•红桥区期中）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　； （2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 【分析】（1）首先由CD是中线得BD＝AD，再分别求出△BCD和△ACD的周长，然后再求出它们的差即可； （2）先根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝31°，然后根据三角形的外角定理可得∠BOC的度数； （2）先利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝102°，由此可根据据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB＝51°，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BOC的度数． 【解答】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长P1＝BC+BD+AD＝3+AD+CD，△ACD的周长为P2＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴P1﹣P2＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE＝1/2∠ABC＝1/2×62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°， （3）∵∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣78°＝102°， ∵BE，CD是△ABC的角平分线， ∴∠OBC＝1/2∠ABC，∠OCB＝1/2∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝1/2（∠ABC+∠ACB）＝1/2×102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，理解三角形角平分线的定义和三角形高的定义，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键． 22．（9分）（2024•凉州区校级三模）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键． 23．（10分）（2023春•天宁区校级期中）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G． （1）如图，点E在线段AD上运动． ①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE的度数是 　 　； ②若∠A＝70°，则∠BGE 　 　； ③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由； （2）若点E在线段DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系，不需说理． 【分析】（1）①根据角平分线的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解； ②根据三角形内角和定理先求出∠ABC+∠C，再利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解； ③由②即可推出数量关系； （2）分为点E在线段CD上和点E在DC的延长线上，分别作出图形，即可求解． 【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝20°， ∵EF∥BC，∠C＝60°， ∴∠CEF＝∠C＝60°，∠EFG＝∠CBD＝20°， ∵EG平分∠CEF， ∴∠FEG＝∠DEG＝30°， ∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝50°； ②∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠C＝180°﹣∠A＝110°， ∵EF∥BC， ∴∠C＝∠DEF， ∴∠ABC+∠DEF＝110°， ∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF， ∴∠CBD∠ABC，∠FEG∠DEF， ∴∠CBD+∠FEG∠ABC∠DEF110°＝55°， ∵EF∥BC， ∴∠EFG＝∠CBD， ∴∠EFG+∠FEG＝55°， ∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝55°； ③∵∠ABC+∠C＝180°﹣∠A，EF∥BC， ∴∠C＝∠DEF， ∴∠ABC+∠DEF＝180°﹣∠A， ∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF， ∴∠CBD∠ABC，∠FEG∠DEF， ∴∠CBD+∠FEG∠ABC∠DEF（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∵EF∥BC， ∴∠EFG＝∠CBD， ∴∠EFG+∠FEG＝90°∠A， ∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG＝90°∠A； 故答案为：50，55°； （2）当点E在线段CD上，若GE交BC于点H， 由（1）知：∠1∠ABC，∠2∠CEF， ∵EF∥BC， ∴∠CEF＝180°﹣∠C， ∴∠2＝∠3（180°﹣∠C）， ∵∠1+∠A+∠BDA＝180°，∠3+∠BGE+∠EDG＝180°，且∠BDA＝∠EDG， ∴∠3+∠BGE＝∠1+∠A，∠BGE＝∠1+∠A﹣∠3， 即∠BGE∠ABC+∠A（∠180°﹣∠C） ∠ABC+∠A﹣90°∠C （∠ABC+∠C）+∠A﹣90° （180°﹣∠A）+∠A﹣90° ＝90°∠A+∠A﹣90° ∠A； 【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想，难点在于（2）需要考虑点E在线段CD上和点E在DC的延长线上． 24．（12分）（2023秋•平乡县期末）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论； （2）由∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案； （3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CEA中，， ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABCBC•h＝12，S△ACFCF•h， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出∠CAE＝∠ABD是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章：三角形的初步认识章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级______________ 考号______________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024春•碑林区校级期末）下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．8，8，16 2．（2024春•涧西区校级月考）下列四个命题： ①相等的角是对顶角； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③等角的补角相等； ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离，其中真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024•海珠区一模）在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 4．（2024春•兴化市校级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2024春•如皋市期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠EGF＝∠MPN＝90°，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，则∠BEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 6．（2024春•青岛期末）如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若∠BAC＝33°，则∠EFC的度数为（　　） A．33° B．57° C．123° D．147° 7．（2024春•奉节县期末）如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM的度数为（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° 8．（2024•天山区校级四模）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝9，BC＝6，AC＝13，则△ABD的周长为（　　） A．28 B．22 C．19 D．15 9．（2024春•碑林区校级期末）如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024春•未央区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA的外角平分线交AC的延长线于点F，FB的延长线交斜边上的高CD的延长线于点E，EG∥AC交AB的延长线于点G，连接CG，则下列结论：①∠F＝∠CEF；②GE＝CE；③EF⊥CG，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024春•嘉定区期末）在△ABC中，如果∠B＝30°，∠C＝55°，那么按角分类，△ABC是 　 　三角形． 12．（2023秋•静安区校级期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 　 　． 13．（2024•牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可） 14．（2023秋•宣汉县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝　 　． 15．（2024•沙坪坝区校级一模）如图，D，E是△ABC外两点，连接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝40°．连接CD，BE交于点F，则∠DFE的度数为 　 　． 16．（2024春•南山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝ 　秒时，△PEC与△QFC全等． 三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）（2023秋•田家庵区校级期中）已知三角形ABC的三边为a，b，c； （1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|． 18．（8分）（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 19．（8分）（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 20．（8分）（2023秋•兴宾区期末）如图，点B、F、C、E在一条直线上，OA＝OD，AC∥FD，AD交BE于O． （1）求证：△ACO≌△DFO； （2）若BF＝CE．求证：AB∥DE． 21．（9分）（2023秋•红桥区期中）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　； （2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 22．（9分）（2024•凉州区校级三模）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 23．（10分）（2023春•天宁区校级期中）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G． （1）如图，点E在线段AD上运动． ①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE的度数是 　 　； ②若∠A＝70°，则∠BGE 　 　； ③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由； （2）若点E在线段DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系，不需说理． 24．（12分）（2023秋•平乡县期末）（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$