第10讲 垂径定理 （2个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第10讲 垂径定理 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【例1】（2021秋•江北区期中）如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为　　． 【变式1】（2024•富阳区一模）如图，是半圆的直径，弦，，弦与直径之间的距离为3，则　　． 【变式2】（2023•十堰一模）如图，在的内接四边形中，，，，则的直径为　　 A．9 B． C． D．12 【变式3】（2023秋•鄞州区期末）如图，的半径为5，弦，点在弦上，延长交于点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式4】（2022秋•西湖区校级期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． （1）求的半径长； （2）连接，作于点，求的长． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【例2】（2023秋•海曙区校级期中）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径　　 A．5米 B．米 C．6米 D．米 【变式1】（2023•金华模拟）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为　　． 【变式2】（2023秋•文成县期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为　　 A．1.7米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.4米 【变式3】（2024•诸暨市模拟）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 　　． 【变式4】（2023秋•西湖区校级月考）如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米 （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度． 经典题型汇编 题型一.利用垂径定理求值 1．（2024·浙江·一模）如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是一块破碎车轮的一部分． (1)请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）； (2)过圆心O作的垂线，交于点P，若这个圆的半径为，，求的长． 题型二.利用垂径定理求平行弦问题 4．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 5．（19-20九年级上·浙江温州·期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝2，则两条弦之间的距离为 ． 6．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 题型三.利用垂径定理求解其他问题 7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（    ） A． B． C．11 D．15 8．（19-20九年级上·浙江台州·期末）排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于 dm． 9．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 题型四.垂径定理的推论 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．不在同一直线上的三点确定一个圆 C．直径是弦，弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 ． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：． 题型五.垂径定理的实际应用 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度（如图）．则截面圆中弦的长为（    ） 、 A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m． 15．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）有一座拱桥在正常水位时，水面为，水位再上升时，水面的宽为，此时水面距桥拱最高点P的距离为． 关于这座桥的形状，四位学生的意见如下： 小敏说：这座桥的形状是圆弧形，不是抛物线形． 小刚说：这座桥的形状是抛物线形，不是圆弧形． 小亮说：这座桥的形状既是圆弧形，又是抛物线形，因为圆弧形是特殊的抛物线． 小强说：这座桥的形状既不是圆弧形，又不是抛物线形，因为它不合这两种曲线的特征． 以上四位同学的意见，只有一位是正确的，你认为谁的意见正确？请通过计算证明．          图1                      图2 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（    ） A．7 B．4 C．5 D．6 2．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，杯内水面，水深，则水杯半径是（    ） A． B． C． D． 3．（19-20九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的矩离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 5．（19-20九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 6．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 8．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的直径，弦交于点E，点C恰好落在的中点，若，则弦为（　　） A．15 B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，E，F分别是边上的两个动点，将沿着直线作轴对称变换， 得到，点恰好在边上， 过点D，F，作，连结若时，则（   ） A．3 B．6 C． D． 10．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图是唐代李皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度，则该桨轮船的轮子直径为( ) A． B． C． D． 二、填空题 11．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ． 12．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ． 13．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米． 15．（九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 16．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，P为线段上一点，以点P为圆心，为半径作圆，交x正半轴于点A，作轴交于点B，在点P从点M运动到点N的过程中，点B恰好在一段抛物线上运动，设点B到y轴的最大距离记为d．将点M向下平移若干个单位后，点B在一段新的抛物线上运动，此时点B到y轴的最大距离为，则新抛物线的表达式为 ． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的中点，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 18．（23-24九年级上·浙江·期中）请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，等腰内接于中，； (2)如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F． 19．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 20．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 22．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点． (1)求的度数； (2)证明：是的中点． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出圆心； (2)在图2中画出的中点E． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； (3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 垂径定理 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【例1】（2021秋•江北区期中）如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为　5　． 【分析】连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【解答】解：连接， 设的半径为，则， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 【变式1】（2024•富阳区一模）如图，是半圆的直径，弦，，弦与直径之间的距离为3，则　10　． 【分析】过作于，由垂径定理得到，由，得到，因此，由勾股定理求出，即可得到． 【解答】解：过作于， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出的长． 【变式2】（2023•十堰一模）如图，在的内接四边形中，，，，则的直径为　　 A．9 B． C． D．12 【分析】作直径，连、．证明，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：作直径，连、． 是圆的直径， ， ， 又， ， ， ， ， ， 的直径为． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，圆周角定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式3】（2023秋•鄞州区期末）如图，的半径为5，弦，点在弦上，延长交于点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】过作于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当和重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【解答】解：过作于， ， 的半径为5， ， ， 当和重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， 的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理，垂径定理求出的长． 【变式4】（2022秋•西湖区校级期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． （1）求的半径长； （2）连接，作于点，求的长． 【分析】（1）连接，如图，设的半径长为，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【解答】解：（1）连接，如图，设的半径长为， ， ，， 在中，，，， ， 解得， 即的半径长为5； （2）在中，，， ， ， ，， 在中，， 即的长为． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【例2】（2023秋•海曙区校级期中）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径　　 A．5米 B．米 C．6米 D．米 【分析】设的半径是米，由垂径定理，勾股定理，列出关于的方程，即可求解． 【解答】解：设的半径是米， ， （米， ， ， ， 的半径是5米． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程． 【变式1】（2023•金华模拟）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为　16　． 【分析】连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【解答】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示： ， ， 的直径为， ， 在中，， ， 即水的最大深度为， 故答案为：16． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【变式2】（2023秋•文成县期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为　　 A．1.7米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.4米 【分析】过作于，过作于，由垂径定理得（米，再证四边形是矩形，则米，（米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：过作于，过作于，如图所示： 则（米，， ， ， 四边形是矩形， 米，（米， 设该圆的半径长为米， 由题意得：， 解得：， 即该圆的半径长为1.3米， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【变式3】（2024•诸暨市模拟）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是 　2　． 【分析】由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：，， ， ， 水的最大深度． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 【变式4】（2023秋•西湖区校级月考）如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度米，拱高米 （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩支撑，求桥墩高度． 【分析】（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为，利用勾股定理求出即可； （2）利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可． 【解答】解：（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为， 在中，， ， 解得； （2）于，则，， 在中，， ，（米， 在离桥的一端4米处，桥墩高4米． 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键． 经典题型汇编 题型一.利用垂径定理求值 1．（2024·浙江·一模）如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握定理内容是解题关键． 过作交于，连接，则为中点，，用勾股定理求，确定的长度范围，取相应整数即可． 【详解】解∶过作交于，连接如图： 则，为中点，， ， 在中， ， 又长度为整数， 长可为， 故选∶C． 2．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是一块破碎车轮的一部分． (1)请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）； (2)过圆心O作的垂线，交于点P，若这个圆的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了过不在同一直线上的三个点的圆的作法，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）在上取点C，经过A、B两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，并且经过B、C两点的圆的圆心一定在线段的垂直平分线上，两条垂直平分线相交于点O，则，所以以点O为圆心，线段的长为半径作圆，便可得到经过A、B、C三点的圆； （2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得，由此即得答案． 【详解】（1）如图，圆心O即为所求； （2）连结， ， ， 这个圆的半径为， ， 由勾股定理得， ， ． 题型二.利用垂径定理求平行弦问题 4．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 【答案】A 【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案. 【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8， ∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上， ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2﹣CE2 ∴OE3， 在Rt△OFA中，由勾股定理可得： OF2＝OA2﹣AF2 ∴OF4， ∴EF＝OE+OF＝3+4＝7， AB与CD的距离为7； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE＝3，OF＝4； 则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1； 综上所述：AB与CD间的距离为1或7． 故选：A. 【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解. 5．（19-20九年级上·浙江温州·期中）已知⊙O的半径为2，⊙O中有两条平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝2，则两条弦之间的距离为 ． 【答案】+1或-1 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示， ∵AB＝2，CD＝2， ∴AF＝1，CE＝， ∵OA＝OC＝2， ∴EO＝1，OF＝， ∴EF＝OF﹣OE＝-1； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示， ∵AB＝2，CD＝2， ∴AE＝1，CF＝， ∵OA＝OC＝2， ∴EO＝，OF＝1， ∴EF＝OF+OE＝+1； 综上所述：AB和CD之间的距离为-1或+1． 故答案为：-1或+1． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 6．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 题型三.利用垂径定理求解其他问题 7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（    ） A． B． C．11 D．15 【答案】D 【分析】连接，，根据，，弧，弧的中点分别是、、、，得到，，从而得到H、I分别是、的中点，利用中位线定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，，弧，弧的中点分别是、、、， ∴，， ∴H、I分别是、的中点， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了中位线定理，垂径定理，解题的关键是正确的作出辅助线，根据垂径定理得到，． 8．（19-20九年级上·浙江台州·期末）排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于 dm． 【答案】5． 【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OA的长即可． 【详解】 解：连接OA， ∵AB＝8，OC⊥AB， ∴AC＝AB＝4． ∵OC＝3， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解决此题的关键． 9．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图1中，画出劣弧的中点； (2)在图2的劣弧上找一点，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）如图，点即为所求．      题型四.垂径定理的推论 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．不在同一直线上的三点确定一个圆 C．直径是弦，弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义是解题的关键．根据垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义判断即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确，符合题意； C、直径是弦，弦不一定是直径，故本选项说法错误，不符合题意； D、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】3 【分析】连接，根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵B是的中点，， ∴，， ∴在中，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：． 【答案】见解析 【分析】连结，，根据垂径定理的推论可得，，再由得到，根据等角的余角相等得到，即可证明结论． 【详解】证明：连结，， 是的中点，E是的中点， ，， 又， ， ，， 而，， ， 【点睛】此题主要考查垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 题型五.垂径定理的实际应用 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度（如图）．则截面圆中弦的长为（    ） 、 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出的长，即可由垂径定理求得的长． 【详解】解：由题意得： ，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∵， ∴， 故选：C． 14．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m． 【答案】29 【分析】考查垂径定理以及勾股定理，设圆弧形圆心为，作交于点C，连接，交于点D，设这个门拱的半径为r，则，根据垂径定理得到，在中，由勾股定理得，然后即可得到关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设圆弧形圆心为，作交于点C，交于点D，连接，设这个门拱的半径为r， 由题意得：， 则， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴， 这个门拱的半径为m． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）有一座拱桥在正常水位时，水面为，水位再上升时，水面的宽为，此时水面距桥拱最高点P的距离为． 关于这座桥的形状，四位学生的意见如下： 小敏说：这座桥的形状是圆弧形，不是抛物线形． 小刚说：这座桥的形状是抛物线形，不是圆弧形． 小亮说：这座桥的形状既是圆弧形，又是抛物线形，因为圆弧形是特殊的抛物线． 小强说：这座桥的形状既不是圆弧形，又不是抛物线形，因为它不合这两种曲线的特征． 以上四位同学的意见，只有一位是正确的，你认为谁的意见正确？请通过计算证明．          图1                      图2 【答案】小刚说的对，证明见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，垂径定理以及勾股定理的应用，先设这座桥形是抛物线形，以为原点，为轴，建立坐标系，设抛物线的关系式为，然后把点坐标代入解析式，求出的值，再验证的坐标即可，再假设是圆弧形，圆心在延长线上，连接，，在中，由勾股定理求出半径，再在中验证，从而得出结论． 【详解】解：小刚说的对，证明如下： 先设这座桥形是抛物线形， 如图，以为原点，为轴，建立坐标系， 点，点 设抛物线的关系式为， 把点代入，得， 抛物线的解析式为， 当时，，与点重合， 这座桥是抛物线形； 假设是圆弧形，圆心在延长线上，连接，， 设半径，则，， 在中 由，得， 解得， 在中， ， 这个桥形不是圆弧形， 小刚的说法是正确的． 试题练习 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江·期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（    ） A．7 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接，根据M是的中点，得到，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵的弦，M是的中点， ∴，， 连接， 在中，， 即：的半径等于5； 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理的逆定理．熟练掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，杯内水面，水深，则水杯半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，，根据垂径定理求出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接，，则， ， ， 设水杯半径，则， 在中，， ， 解得， 故选C． 3．（19-20九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的矩离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理及其推论、圆的外心的性质进行分析判断即可． 【详解】解：A. 不共线的三点确定一个圆，故选项A说法错误，不符合题意； B. 三角形的外心到三角形三个顶点的矩离相等，故选项B说法错误，不符合题意； C. 平分非直径弦的直径垂直于弦，故选项C说法错误，不符合题意； D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，选项D说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件、垂径定理及其推论、圆的外心等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 5．（19-20九年级上·浙江衢州·期中）已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 6．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC， 则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6， 设OD=x，则OE=16-x， ∵OB=OC， ∴OB2=OC2， ∴22+(16-x) 2=62+x2， 解得x=7， ∴r2=OB2=22+92=85， ∴圆的面积S=πr2=85π， 故选：B． 【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键． 7．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，为的直径，弦交于点E，点C恰好落在的中点，若，则弦为（　　） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，折叠后，C点落在点，设的半径为r，根据折叠的性质及题意得出，，根据线段的和差求出，，则r，根据垂径定理求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，C点落在点， 设的半径为r， ∵点C恰好落在的中点， ∴， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：D． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，E，F分别是边上的两个动点，将沿着直线作轴对称变换， 得到，点恰好在边上， 过点D，F，作，连结若时，则（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，关键是掌握并灵活应用以上知识点．由矩形的判定，证明四边形矩形，由矩形的性质得垂径定理得结合勾股定理，得，代入数值计算，即可求解． 【详解】解：延长交于G， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵和关于对称， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， 令，则 ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 10．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图是唐代李皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度，则该桨轮船的轮子直径为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作交于点，交于点，根据垂径定理可知，根据题意知，用半径表示出，利用勾股定理即可求解，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作交于点，交于点， 根据垂径定理可知，根据题意知， ， 在中，， ， 解得， ∴该桨轮船的轮子直径为， 故选：． 二、填空题 11．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ． 【答案】3 【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作OH⊥CD于H， 连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4， 在Rt△OCH中，OH＝＝3， 所以CD与AB之间的距离是3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 12．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，，是中的两条弦，且．圆的半径为，，，则与之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】连接，做， ， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ， （1）如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，    （2）如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，    故答案为或． 13．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图， 是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】先利用垂径定理及其推论得到四点共线，四点共线，再利用三角形中位线定理等知识对线段之间的关系进行转化，即可求解． 【详解】解：连接和，与和的交点分别记为点和点， ∵弧，弧的中点分别是， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点和点分别是和的中点， ∴，， ∵分别是为直径作半圆弧的中点， ∴，， ∴四点共线，四点共线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论、三角形的中位线定义与定理等知识，解题关键是得到四点共线，四点共线，然后利用线段的和差关系求解． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米． 【答案】1 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接交于点，得到，推出，利用勾股定理算出，最后根据即可解题． 【详解】解：连接交于点， 点为运行轨道的最低点， ， , 由题知米，米， 米， 米, 米． 故答案为：． 15．（九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 16．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，P为线段上一点，以点P为圆心，为半径作圆，交x正半轴于点A，作轴交于点B，在点P从点M运动到点N的过程中，点B恰好在一段抛物线上运动，设点B到y轴的最大距离记为d．将点M向下平移若干个单位后，点B在一段新的抛物线上运动，此时点B到y轴的最大距离为，则新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式，勾股定理，垂径定理．易得，当点P和点N重合时，点B到y轴的距离最大，此时，，令与x轴另一个交点为点Q，连接，，则，根据勾股定理可得，则，进而得出当点M向下平移后，点B到y轴最大距离为，根据垂径定理得出，根据勾股定理可得：，则，，，则，根据勾股定理可得：，则，设抛物线表达式为，将代入，求出a的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当点P和点N重合时，点B到y轴的距离最大， 此时，， 令与x轴另一个交点为点Q， 连接， ∵轴，则， ∴为的直径，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 当点M向下平移后，点B到y轴最大距离为， ∴， ∵， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， 则，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴设抛物线表达式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故答案为：． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的中点，． (1)求的度数； (2)求线段的长度． 【答案】(1)30° (2) 【分析】（1）根据等边对等角以及三角形内角和定理，结合已知条件可得，即可求解； （2）延长交于点，根据题意以及垂径定理的推论，可得，，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接 , ∴, ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴, ∵, ∴, 即, ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， ∵是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理及其推论，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 18．（23-24九年级上·浙江·期中）请用无刻度的直尺在以下两个图中画出线段BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，等腰内接于中，； (2)如图②，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、垂径定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． （1）如图，作直线即可，即为所求； （2）连接交于点O，连接交于点H，连接即可． 【详解】（1）如图①，作直线即可，即为所求； （2）如图②，连接交于点O，连接交于点H， 连接即可，直线即为所求． 19．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 20．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1） 证明：， 是半径， ， ， ， ， ； （2） 解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 22．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点． (1)求的度数； (2)证明：是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，，从而得出，推出是等边三角形，即可得出结论； （2）证明出是等边三角形，结合得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，为的直径， ， 垂直平分， ， 为的中点，过圆心， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， （2）解：为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ，即是的中点． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点，经过A，B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出圆心； (2)在图2中画出的中点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系等知识点，灵活运用垂径定理是解题的关键． （1）由图1可知是直径，连接，作的垂直平分线，其与的交点即为所求； （2）根据垂径定理以及弦、弧、圆周角间的关系作图即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点E即为所求． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如果设计成抛物线型，如图1，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； (2)如果设计成圆弧型，如图2，求该圆弧所在圆的半径； (3)有一艘宽为12米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，在两种方案下，此货船能否顺利通过该桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)该圆弧所在圆的半径10米 (3)①在抛物线型上时，货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，货船能顺利通过该桥；见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和垂径定理的应用以及勾股定理， 根据题意得，和，结合点A和点B设抛物线的解析式为，代入点C即可求得a； 设圆心为O，连接交于E点，连接，可得圆心距和半径之间关系，利用勾股定理即可求得半径； 当在抛物线型上时，当时，，由于，则判断货船不能顺利通过该桥；当在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，利用勾股定理求得，即可求得船顶距圆弧的距离，由于，则判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设圆心为O，连接交于E点，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 则该圆弧所在圆的半径10米； （3）①在抛物线型上时，当时，， ∵， ∴货船不能顺利通过该桥； ②在圆弧型时，设米，过点G作交弧于点F，过点O作交于H点，连接，如上图， 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴货船能顺利通过该桥． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$