第14讲 正多边形 （1个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第14讲 正多边形 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【例1】（2021秋•镇海区期末）如图，正五边形内接于，连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•鄞州区开学）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 　　 【变式3】（2023秋•桐乡市期末）如图，点是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，，则　　． 【变式5】（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 经典题型汇编 题型一、求正多边形的中心角 1．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）若正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为，则此正多边形的边数为 ． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 题型二、正多边形和圆的综合 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 5．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为，则的长为 ．    6．（20-21九年级上·浙江·期末）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．    (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 试题练习 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江温州·期中）如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 2．（22-23九年级下·浙江·开学考试）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 3．（21-22九年级·阶段练习）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（    ）． A．六 B．八 C．十 D．十二 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）    A．1 B．3 C． D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（19-20九年级上·浙江·课后作业）同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点，则的度数为（） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离（    ） A． B． C．1 D． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重台，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·浙江台州·一模）如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个正多边形的中心角是，则过它的一个顶点有 条对角线． 12．（19-20九年级上·浙江金华·期末）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为 ． 13．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    14．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则 ．      16．（2024·浙江杭州·三模）将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．    三、解答题 17．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，求边长为a的正方形的外接圆的半径长．    18．（21-22九年级上·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 19．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 20．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 21．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形． 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图，是正三角形，，六边形的各内角相等，但它不是正六边形． 丙同学：边数是3时，它是正多边形，我想…，边数是5时，它可能也是正多边形． （1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等，但它不是正六边形； （2）请你证明，各内角都相等的圆内接五边形（如图）是正五边形；（不必写已知，求证） （3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明） 22．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题． (1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； (2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用） 23．摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 24．（20-21九年级上·浙江台州·期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜360°），得到矩形AEFG，如图1，M是线段BF的中点，点O是AB的中点，连接OM． （1）将矩形AEFG绕点A顺时针旋转一周，求点M的路径长； （2）旋转过程中，当点M落在AD上时． ①求△AMF的面积； ② 如图2，连接BE，ED，求证：B，E，D共线； （3）如图3，连接MG，在将矩形AEFG绕点A顺时针旋转一周的过程中，直接写出MG的最大值_____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 正多边形 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【例1】（2021秋•镇海区期末）如图，正五边形内接于，连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】由正五边形的性质可知是等腰三角形，求出的度数即可解决问题． 【解答】解：在正五边形中，，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单． 【变式1】（2023•鄞州区开学）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【解答】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数． 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 【变式2】（2024•西湖区校级二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 　　 【分析】根据圆内接正方形，圆内接正六边形的性质求出其中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接，，， 正方形是的内接正方形， ， 正六边形是的正六边形， ， ， 弦所对圆周角的度数为． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握圆内接正方形，圆内接正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 【变式3】（2023秋•桐乡市期末）如图，点是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形，连接，，则　105　． 【分析】连接，，，，利用正六边形的性质得到，，则为等边三角形，，，在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得的度数，则结论可得． 【解答】解：连接，，，，如图， 点是正六边形的中心， ，， 为等边三角形，， ，，在一条直线上，，． 以为边在正六边形的内部作正方形， ，， ，， ， ． 故答案为：105． 【点评】本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，连接正六边形的半径，证得，，在一条直线上是解题的关键． 【变式4】（2024•义乌市模拟）在直角坐标系中，正方形的两边、分别在轴、轴上，点的坐标为、． （1）将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标； （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点、、．求证：平分． （3）若、，为延长线上一动点，过、、三点作，交于．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【分析】（1）求出旋转角、的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形， 求得为定值． 【解答】解：（1）连接， ，由轴对称可得， 又， ， ； （2）， ， 根据切线长定理，， ， 由切线长定理， 平分． （3）的值是定值为， 在上取点，使，即， ， ， 、，、， ； 又， ， ， ， ； 又，， ， 为等腰直角三角形， ． 【点评】（1）此题不仅要熟悉旋转角，还要知道旋转不变性，并联系特殊三角形用勾股定理解答； （2）运用切割线定理是解答此题的关键； （3）构造全等三角形，比作辅助线难度要大，但确是一种有效的解题方法． 经典题型汇编 题型一、求正多边形的中心角 1．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）若正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为，则此正多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质和根据正多边形的中心角=，求出n即可． 【详解】解：∵正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为72°， ∴正多边形的中心角=180°-72°-72°=36°， ∴正多边形的边数==10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 此题主要考查了正多边形和圆、利用勾股定理解三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键． 【详解】 解：如图，连接，，作，    ∵圆内接正六边形边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中， ∴正六边形的边心距是． 故选：C． 3．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得； （3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键． 题型二、正多边形和圆的综合 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆和圆周角定理，根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：正多边形的外接圆为， 点为正边形的中心．， ， ， 故选：C． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接正六边形的性质，圆周角定理，勾股定理的应用．连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接、、，    ∵六边形是正六边形， ∴经过O点，且O是的中点， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）． 故答案为：． 6．（20-21九年级上·浙江·期末）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．    (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论； （2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴EF＝ED＝CD＝BC， ∴， ∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB， ∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF； （2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE， 设⊙O的半径为r， ∵∠DOE60°，OD＝OE＝r， ∴△ODE是等边三角形， ∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°， ∴∠EOG＝30°， ∴EGr， ∴OGr， ∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2， ∵⊙O的面积＝πr2， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江温州·期中）如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 【答案】B 【分析】根据正n边形的中心角计算即可． 【详解】解：由题意这是正十六边形， ∴中心角， 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的有关性质，解题的关键是熟记正n边形的中心角． 2．（22-23九年级下·浙江·开学考试）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为， ∴该正多边形的边数为：，故D正确． 故选：D． 3．（21-22九年级·阶段练习）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（    ）． A．六 B．八 C．十 D．十二 【答案】D 【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB， ∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边， ∴,， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）    A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C，      ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、，则，所以心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，，于是得，再利用，得，则，即可求得答案． 【详解】解：如图，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接、、、． ∵， ∴，， ∴圆心在上， ∵点G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点I，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选∶A. 【点睛】本题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 6．（19-20九年级上·浙江·课后作业）同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了正多边形和圆的性质，构造直角三角形是解题的关键．经过圆心作圆的内接正变形的一边的垂线，垂足是，连接，再得到答案． 【详解】解：设圆的半径为， 则正三角形的边心距为， 正方形的边心距为， 正六边形的边心距为， 故正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为． 故选A． 7．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键． 根据正六边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在圆内接正六边形中， 故选：B． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握相关性质定理，是解题的关键．连接，根据垂径定理得出，结合正方形的性质推出，根据勾股定理求出，则，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，，列出方程求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵E为的中点， ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， ∴， 根据勾股定理可得：， 设，则， 根据勾股定理可得：，， ∴， 解得：， 即， ∴， 故选：A． 9．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重台，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质推出，进而得出，，则，再根据旋转的性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：∵该六边形为正六边形， ∴，， ∵轴，正六边形中心与原点0重合， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 第1次旋转结束时，点A的坐标为； 第2次旋转结束时，点A的坐标为； 第3次旋转结束时，点A的坐标为； 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∵4次一个循环， ∴ 第2023次旋转结束时，点A的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋转的性质． 10．（2022·浙江台州·一模）如图，有一张菱形纸片，分别把沿着两条平行于的直线进行对折，得到一个六边形，如果这个六边形是正六边形，则菱形的对角线长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AC与BD相于O， EF与AC相较于Q，根据正六边形的性质，可得，，根据菱形的性质可得，，根据直角三角形的性质可得，，可求得OE=2EQ，可得，根据对折的性质得， AC=4OQ，据此即可解答． 【详解】解：如图：设AC与BD相交于O， EF与AC相交于Q， ∵六边形BGHDFE是正六边形， ∴，， ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴OE=2EQ， 在中， ， ∴， 由对折的性质得， AC=4OQ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键． 二、填空题 11．一个正多边形的中心角是，则过它的一个顶点有 条对角线． 【答案】5 【分析】根据正多边形的中心角是，可求得是正几边形，然后利用过边形的一个顶点有对角线计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为且正多边形的中心角是， ， ， 过边形的一个顶点有条对角线，即条， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是多边形的对角线、正多边形的中心角．解题的关键是要掌握过多边形的一个顶点有条对角线、正多边形的中心角都相等． 12．（19-20九年级上·浙江金华·期末）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为 ． 【答案】 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解． 【详解】设正多边形的中心是O，其一边是AB， ∴∠AOB＝∠BOC＝60°， ∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC， ∴四边形ABCO是菱形， ∵AB＝8mm，∠AOB＝60°， ∴cos∠BAC＝， ∴AM＝8×＝4（mm）， ∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC， ∴AM＝MC＝AC， ∴AC＝2AM＝8（mm）． 故答案为：. 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键． 13．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    【答案】15 【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：15．    【点睛】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 14．（2024·浙江杭州·二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形和圆的关系，以及同弧所对圆周角是它所对圆心角得一半，先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可． 【详解】如图，连接，， ∵四边形是正方形 ∴ ∵六边形是正六边形 ∴ ∴ ∴弦所对圆周角的度数为或 故答案为：或． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则 ．      【答案】/ 【分析】连接，，过C作于T，根据在正八边形性质，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，则，进而， 证明等腰直角三角形，求得即可求解． 【详解】解：连接，，过C作于T，    在正八边形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴等腰直角三角形，则， 由勾股定理得， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握正多边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 16．（2024·浙江杭州·三模）将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆、翻折变换、勾股定理，由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的，过点G作于点R，过点O作于点T，然后根据三角形面积公式及勾股定理可得方程，通过解方程可得答案． 【详解】解：由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的． 过点G作于点R，过点O作于点T，    ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， 又正六边形的边长为1， ∴ ∴ ∴， ∴， ， ∴， 解得或（舍）， ∵， ∴； ∴，， ∴，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：；． 三、解答题 17．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，求边长为a的正方形的外接圆的半径长．    【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质得到，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形边长为a， ∴， ∴， 即半径长为．    【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质． 18．（21-22九年级上·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 19．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，） 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论． 【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE， ∵OE=OD，∠EOD=， ∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°， ∵OE＝2cm，∠OGE＝90°， ∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm， 点E的坐标为（1，）， 又由题意知点D的坐标为（2，0）， 由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）． 故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）． 【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 20．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 21．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形． 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图，是正三角形，，六边形的各内角相等，但它不是正六边形． 丙同学：边数是3时，它是正多边形，我想…，边数是5时，它可能也是正多边形． （1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等，但它不是正六边形； （2）请你证明，各内角都相等的圆内接五边形（如图）是正五边形；（不必写已知，求证） （3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由得出AFC=DAF，同理可证其余各角都等于AFC，即可证明乙同学构造的六边形各内角相等； （2）由圆周角定理可得，再由圆心角、弧、弦的关系可得BA=BC=CD=DE=AE，即可证明各内角都相等的圆内接五边形ABCDE是正五边形； （3）根据题干当中的例子和以上两题的结论可以​猜想：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形；当边数是偶数时，各内角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 【详解】（1）证明：由题图1可知AFC对，DAF对， ∵=，=，， ∴， ∴AFC=DAF． 同理可证，其余各角都等于AFC， 故乙同学构造的六边形各内角相等， ∵，即AF≠CF， ∴它不是正六边形； （2）证明：∵A对，B对，A=B， ∴=， ∴， 同理可证， ． ∴BA=BC=CD=DE=AE， ∴各内角都相等的圆内接五边形ABCDE是正五边形； （3）由（1）、（2）可猜想：当边数是奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形； 由题干可猜想：当边数是偶数时，各内角相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 【点睛】本题考查的是正多边形形和圆，熟知弧、圆周角、弦的关系是解答此题的关键．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，所对的弦相等，相等圆周角所对的弧也相等． 22．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题． (1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数； (2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用） 【答案】(1)； (2)这个托盘适用于此八角花盆． 【分析】（1）求出正八边形的外角，可得结论； （）求出正八边形的边心距，可得结论． 【详解】（1）解：正八边形的外角， ∴正八边形的内角； （2）解：如图中，连接，，过点作于点． ∵，， ∴，，由题意得， ∴（， ∵， ∴这个托盘适用于此八角花盆． 【点睛】本题考查垂径定理，正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 24．（20-21九年级上·浙江台州·期中）已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜360°），得到矩形AEFG，如图1，M是线段BF的中点，点O是AB的中点，连接OM． （1）将矩形AEFG绕点A顺时针旋转一周，求点M的路径长； （2）旋转过程中，当点M落在AD上时． ①求△AMF的面积； ② 如图2，连接BE，ED，求证：B，E，D共线； （3）如图3，连接MG，在将矩形AEFG绕点A顺时针旋转一周的过程中，直接写出MG的最大值_____________． 【答案】（1）；（2）①12；②见详解；（3） 【分析】（1）由题意得从OM看，绕A点一周，形成了一个圈，可得M的路径长为圆O的周长，且OM为半径，求出OM的长，即可得出答案； （2）①由题意可知，S△AMF=S△ADF-S△MDF，求出S△ADF和S△MDF即可得出答案，； ②先推出OM∥DB，根据E点为绕A点一周后形成的点，即可得证； （3）由题意可知，当M为圆心，BG为直径时，该圆最大且直径最大，然后计算即可． 【详解】（1）由题意得从OM看，绕A点一周，形成了一个圈， ∴M的路径长为圆O的周长，且OM为半径，OM==5， ∴圆O的周长为==； （2）①由题意可知，S△AMF=S△ADF-S△MDF， S△ADF==24，S△MDF==12， ∴S△AMF=12； ②由题意的O为AB中点，M为DA中点， ∴OM∥DB， E点为绕A点一周后形成的点， 即E，B，D三点共线； （3）由题意可知，当M为圆心，BG为直径时，该圆最大且直径最大， ∴BM=MG=r====． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$