第07讲 圆（二）（2个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第07讲 圆（二）（2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【例1】（2023秋•芝罘区期末）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•绍兴期中）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（2022秋•西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点、、　　确定一个圆（填“能”或“不能” ． 【变式3】（2023秋•西湖区校级月考）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）． 【变式4】（2023秋•诸暨市期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为的网格中，已知的三个顶点，，在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． （1）经过，，三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条抛物线上，则点的坐标为 　　． （2）经过，，三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为 　　． 知识点2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【例2】（2023秋•余姚市校级月考）锐角三角形的三边是，，，它的外心到三边的距离分别为，，，那么等于　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•江北区期中）如图，内接于，是的直径，连结，若，，则的半径 　　． 【变式2】（2022秋•西湖区校级月考）如图，内接于，高经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为5，求的面积． 【变式3】（2023秋•西湖区期末）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是　　 A．4 B． C．8 D． 【变式4】（2023秋•慈溪市期末）如图，内接于，高，相交于点，若，，，则的半径为 　　，的长为 　　． 经典题型汇编 题型一.求三角形外心坐标 1．（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（        ） A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆 2．（19-20九年级上·浙江衢州·期中）在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为 ． 3．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 题型二.判断三角形外接圆的圆心位置 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）直角三角形的外心在（   ） A．直角顶点 B．直角三角形内 C．直角三角形外 D．斜边中点 5．（2020九年级·浙江杭州·专题练习）内接于，且，点到的距离为3，圆的半径为5，则的长是 ． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 题型三.判断确定圆的条件 7．（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 8．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 9．（2022·浙江温州·一模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 题型四.确定圆心（尺规作图） 10．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为 ． 11．（20-21九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（     ） A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1) 12．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 题型五.求能确定的圆的个数 13．（九年级上·浙江宁波·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ． 15．（20-21九年级·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知的半径为4，P为内一点，则OP的长度可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 2．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A．经过三个点一定可以作一个圆 B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长 C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知的半径为，点P在外，则的长可能是（  ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 7．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 8．（2023·浙江杭州·二模）如图，O为等腰三角形的外心，，连接，记，，则满足的关系式为（　　）    A． B． C． D． 9．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 二、填空题 11．（19-20九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于⊙，连接，若，则 ． 12．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是 ．    13．（19-20九年级上·浙江绍兴·期末）将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则的坐标为 ． 14．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是 ． 15．（21-22九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ． 16．（21-22九年级上·浙江丽水·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心O．（保留作图痕迹）． 18．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．        (1)点 的坐标为 ． (2)判断点 与 的位置关系． 19．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，有两条公路相交成，沿公路方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 20．（20-21九年级上·浙江宁波·阶段练习）请解答下列各题： （1）如图1，如图，所在的直线垂直平分线，利用这样的工具，最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心； （2）如图2，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心．（保留作图痕迹）． 21．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． (1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． (2)在图2中找到一个格点，使得． 22．（19-20九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知△ABO中A（－1，3）、B（－4，0）. （1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△； （2）求△ABO外接圆圆心坐标； 23．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），顶点为点C．将抛物线绕点A旋转后得抛物线，其中顶点C的对应点为点E，点B的对应点为点D． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，连结，，，当是直角三角形时，求a的值； (3)如图2，是否存在外接圆面积的最小值，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由． 24．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标； (3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆（二）（2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【例1】（2023秋•芝罘区期末）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点、、，其中，点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：． 【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置． 【变式1】（2023秋•绍兴期中）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论． 【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个， 故选：． 【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 【变式2】（2022秋•西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点、、　能　确定一个圆（填“能”或“不能” ． 【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆． 【解答】解：、， 轴， 而点在轴上， 点、、不共线， 三个点、、能确定一个圆． 故答案为：能． 【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． 【变式3】（2023秋•西湖区校级月考）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）． 【分析】根据垂径定理，在残破的圆形瓷盘上任取两个弦，分别作弦的垂直平分线即可． 【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理， 垂直平分弦的直线一定过圆心， 所以作出两弦的垂直平分线即可． 【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 【变式4】（2023秋•诸暨市期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为的网格中，已知的三个顶点，，在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． （1）经过，，三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条抛物线上，则点的坐标为 　　． （2）经过，，三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为 　　． 【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形即可解决问题； （2）分别作出线段，的垂直平分线，两直线的交点即为所求． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为线段的垂直平分线， 点的对称点就是点， 点即为所求； 故答案为：； （2）如图， 线段，的垂直平分线的交点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，确定圆的条件，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 知识点2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【例2】（2023秋•余姚市校级月考）锐角三角形的三边是，，，它的外心到三边的距离分别为，，，那么等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据外心的性质可知，，在中，，故，同理可得，，代入中求解． 【解答】解：如图经过、、三点，连接、、， 则， 在中，，， 同理可得，， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形外心的性质．重点在于理解圆周角与圆心角的关系，解直角三角形的知识． 【变式1】（2023秋•江北区期中）如图，内接于，是的直径，连结，若，，则的半径 　　． 【分析】根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：是的直径， ， ， ， ， 由圆周角定理得，， ， 为等边三角形， ， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则的半径为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题的关键． 【变式2】（2022秋•西湖区校级月考）如图，内接于，高经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为5，求的面积． 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论； （2）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据三角形 的面积公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：， ， ； （2）解：连接， ，， ， 在中，， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键． 【变式3】（2023秋•西湖区期末）已知，线段，点为平面上一点，若，则线段的最大值是　　 A．4 B． C．8 D． 【分析】以为边作等边三角形，作的外接圆，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：以为边作等边，作的外接圆，如图所示： 为等边三角形， ， ， 点在优弧上， 当为外接圆的直径时，最大，且最大值为8， 故选：． 【点评】本题主要考查的是三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质，根据题意画出图形，确定当为外接圆的直径时最大，是解题的关键． 【变式4】（2023秋•慈溪市期末）如图，内接于，高，相交于点，若，，，则的半径为 　　，的长为 　　． 【分析】作直径，连接，，由圆周角定理推出，而，判定，同理：，推出四边形是平行四边形，得到，，由，得到，求出，得到的半径是，由勾股定理求出． 【解答】解：作直径，连接，， 是圆是的直径， ， ， ， ， 同理：， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径是， ，，， ． 故答案为：，． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是作直径，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，，由锐角的正弦求出． 经典题型汇编 题型一.求三角形外心坐标 1．（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（        ） A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆 【答案】B 【分析】直接运用对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义逐项判定即可． 【详解】解：A.圆的对称轴是直径所在的直线，所以A错误； B. 半径相等的两个半圆是等弧，所以B正确； C.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以C错误； D. 经过不共线的三个点一定可以作圆，所以D错误； 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义等知识点，考查知识点较多，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 2．（19-20九年级上·浙江衢州·期中）在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为 ． 【答案】 【分析】想办法求出抛物线顶点坐标，利用待定系数法即可解决问题； 【详解】连接OB交对称轴于点O′． ∵抛物线的对称轴x=2，A（0，2），A，B关于对称轴对称， ∴B（4，2）， ∵△ABC的外接圆经过原点O， ∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′， ∴O′（2，1）， ∴OB==2， ∴O′C=， ∴点C坐标为（2，1-）， ∴1-=4a-8a+2， ∴a=， 故答案为． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 【答案】(1)； (2)当为直角三角形时，的值为1或2或5； (3)经过的路径长度为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线， ，， 则、， 抛物线解析式为； （2）解：设点， ， 点， 则、、， ①若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ②若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ③若，则， 整理，得：， ， ， ， ， 则或（舍， ， 直线解析式为， 当时，，即， ； 综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5． （3）为的外接圆， 点在线段的中垂线上， 当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段， 当时，如图1， 由（2）知， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 当时，如图2， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， 、， ； 当时，如图3， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 则点经过的路径长度为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题． 题型二.判断三角形外接圆的圆心位置 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）直角三角形的外心在（   ） A．直角顶点 B．直角三角形内 C．直角三角形外 D．斜边中点 【答案】D 【分析】根据三角形外心的定义即可进行解答． 【详解】解：∵三角形的外心为三角形三边垂直平分线的交点， ∴直角三角形的外心在斜边中点， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是熟练掌握三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点．锐角三角形的外心在三角新内，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形在外心在三角形外． 5．（2020九年级·浙江杭州·专题练习）内接于，且，点到的距离为3，圆的半径为5，则的长是 ． 【答案】或 【分析】如图（见解析），过点A作于点D，先根据等腰三角形的判定与性质可得AD为BC的垂直平分线，再根据三角形外接圆的性质可知圆心点O在直线AD上，然后分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况，分别利用勾股定理即可得． 【详解】如图，过点A作于点D 为等腰三角形 为BC的垂直平分线（等腰三角形的三线合一） 内接于 圆心点O在直线AD上 由题意得： 根据的形状，分以下两种情况： （1）如图1，为锐角等腰三角形 ， 在中， （2）如图2，为钝角等腰三角形 ， 在中， 综上，AB的长为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆的性质、勾股定理等知识点，利用三角形外接圆的性质得出圆心点O的位置是解题关键． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 题型三.判断确定圆的条件 7．（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 8．（20-21九年级上·浙江宁波·期中）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 9．（2022·浙江温州·一模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C 均在格点上即可； （2）作 交AB于G，交AC于H，可得线段EF，此时 【详解】（1）如图，线段EF，∠AHG即为所作， （2）如图，线段EF，即为所作， 【点睛】本题主要考查了作图----应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键． 题型四.确定圆心（尺规作图） 10．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】（2，0） 【分析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示：D（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题主要考查垂径定理、坐标与图形性质，关键是根据题意确定出圆心D的位置． 11．（20-21九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（     ） A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1) 【答案】A 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点圆心D的坐标即可． 【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD=DB=DA=， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故选：A． 【点睛】此题考查圆心的确定方法，垂直平分线，勾股定理，点的坐标，正确作图确定圆心是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，是一个圆拱形模型． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆拱形的圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若弦的长为，圆拱形的最大高度为，则圆拱形所在圆的半径为_____． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查确定圆心的画法、线段垂直平分线的画法及其性质、勾股定理，正确确定圆心位置是解答的关键． （1）作线段的垂直平分线交圆拱形于点C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求作； （2）连接，设圆的半径为，根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求作： （2）解：连接，设圆的半径为， 由题意，，，， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 即圆拱形所在圆的半径为， 故答案为：5． 题型五.求能确定的圆的个数 13．（九年级上·浙江宁波·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点D在直线AB之外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．故选C． 考点：确定圆的条件． 14．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ． 【答案】1个或3个或4个 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑． 【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故答案为：1个或3个或4个． 【点睛】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答． 15．（20-21九年级·全国·课后作业）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知的半径为4，P为内一点，则OP的长度可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系确定点到圆心的距离与半径的关系成为解题的关键． 由点P为内一点，则点到圆心的距离小于4，据此即可解答． 【详解】解：∵的半径为4，点P是内一点， ∴， ∴A选项符合题意． 故选：A． 2．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A．经过三个点一定可以作一个圆 B．圆中优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长 C．圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧 D．任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【分析】根据优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵经过不在同一条直线上的三点，一定可以作一个圆， ∴A错误， ∵在同一个圆中，优弧所对的弦一定比劣弧所对的弦长，不同圆中，无法比较， ∴B错误， ∵当圆上两点的连线是直径时，两条弧都是半圆， ∴C错误， ∵任意一个三角形有且只有一个外接圆， ∴D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查圆的相关概念，掌握优弧，劣弧的定义，“不在同一条直线上的三点，确定一个圆”，三角形的外接圆的定义，是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知的半径为，点P在外，则的长可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵的半径为7cm，点P在外， ∴. 故选：A． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形，10是斜边长， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点， 三角形外接圆的半径斜边的一半， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（    ） A．14步 B．15步 C．16步 D．17步 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的外接圆及勾股定理．设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，外接圆直径即斜边，可求得直径． 【详解】解：设三角形为，，，， ， ， 该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边， 外接圆的直径是17步， 故选：D． 7．（2023·浙江·模拟预测）如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】是的外接圆， 点O是的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键． 8．（2023·浙江杭州·二模）如图，O为等腰三角形的外心，，连接，记，，则满足的关系式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 连接，    ∵O为等腰三角形的外心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可． 【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上， 圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG， ∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC， ∴AG=BM， 又∵OG=OM，OA=OB， ∴△AOG≌△BOM， ∴∠CAB=∠CBA， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 10．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），设，则，，证明，，再证明，即可判断小明的说法，画出图形，利用三角形三边关系即可判断小刚的说法，得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2）， 设，则， 为等腰三角形， 在底边的垂直平分线上， 由等腰三角形的三线合一可得：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故小明说法正确， 如图，当，时，由三角形三边关系可得：，故小刚说法错误， 故选：A． 二、填空题 11．（19-20九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于⊙，连接，若，则 ． 【答案】45或30． 【分析】此题分锐角三角形和钝角三角形，结合同圆内半径相等及三角形内角和列方程求解 【详解】解：此题分为两种情况： （1）如图1所示，当为锐角三角形时： ，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°， ∵OA=OB=OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°， ∴∠BAC＝5x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝4x°， ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴5x°＋7x°＋4x°＝180°， 则x＝ ∴∠ACB＝4x°＝45° （2）如图2所示，当为钝角三角形时： ，设∠OAC= x°，∠OBA=4x°，∠OCB=3 x°，∵OA=OB=OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝x°，∠OBA＝∠OAB＝4x°，∠OCB＝∠OBC＝3 x°， ∴∠BAC＝3x°，∠ABC＝7x°，∠ACB＝2x°， ∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180° ∴3x°＋7x°＋2x°＝180°， 则x＝15 ∴∠ACB＝2x°＝30°． 故答案为：45；30． 图1 图2 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形． 12．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是 ．    【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质可以得到，进而得到，即在以为斜边向上作等腰的外接圆上运动，所以当过圆心O时最大，进而计算即可解题． 【详解】， ， ，， ， ，为定值．以为斜边向上作等腰    在以O为圆心为半径的圆上， 当过圆心O时最大， 正方形的边长为2， ， ， ． 【点睛】本题属于几何中的隐圆问题，涉及正方形的性质，等腰三角形的性质和圆周角、圆心角定理，对于线段最值的求解问题，可观察所求线段是否过某一定点或是绕某一定点旋转，如若具有此特点，可先分析运动过程，对动点的运动轨迹进行研究，否则可考虑设未知量，引入函数模型，利用条件最值来解决．本题所求线段中点E为定点且绕点E运动，因此得到点F的运动轨迹是解决本题的关键． 13．（19-20九年级上·浙江绍兴·期末）将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点即可． 【详解】解：由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2）， 故答案为或． 【点睛】本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C点． 14．（九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， 根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点． 如图点O即为圆心的位置， 由图可得：外接圆的半径==． 故答案为. 15．（21-22九年级上·浙江金华·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角的外心，点A、B、P的坐标分别为，，，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为 ． 【答案】（1，4）或（6，5） 【分析】根据三角形的外心是三角形的外接圆圆心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，只需点C为圆与格点的交点即可． 【详解】解：因为点P是钝角的外心，则PA=PB=PC，故以点P为圆心，PA为半径画圆，如图， ∵第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数， ∴点C为圆P与格点的交点， ∵△ABC为钝角三角形， ∴由图知，满足条件在点C坐标为：（1，4）或（6，5）， 故答案为：（1，4）或（6，5）； 【点睛】本题考查三角形的外心、坐标与图形，理解题意，熟知三角形的外心是三角形的外接圆圆心，利用数形结合思想解决问题是解答的关键． 16．（21-22九年级上·浙江丽水·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】(－1，0) 【分析】根据网格的特点找到的垂直平分线的交点即可求解． 【详解】根据不共线三点确定一个圆，如图，的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不共线三点确定一个圆，求圆心的坐标，掌握确定圆的条件是解题的关键． 三、解答题 17．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心O．（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】根据圆的圆心必定在该圆内任意一条弦的垂直平分线上，作出圆O内两条不同弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心． 【详解】解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查了确定圆的圆心，熟知圆的圆心必定在该圆内任意一条弦的垂直平分线上是解题的关键． 18．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．        (1)点 的坐标为 ． (2)判断点 与 的位置关系． 【答案】(1) (2)点在内 【分析】（1）分别作的垂直平分线，交点即为点 ； （2）计算圆的半径与的长度，比较大小即可； 【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点 ，    坐标为：， （2）解：，，， ，， 点在内． 【点睛】本题考查了三点确定圆，确定圆心的位置、点与圆的位置关系等知识点，准确找到圆心的位置是解题关键． 19．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图，有两条公路相交成，沿公路方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 【答案】这两台拖拉机沿方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒 【分析】过点A作，求出的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失． 【详解】解：如图，过点A作， ∵米， ∴米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， ∴． 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． ∴影响时间应是：秒． 答：这两台拖拉机沿方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 20．（20-21九年级上·浙江宁波·阶段练习）请解答下列各题： （1）如图1，如图，所在的直线垂直平分线，利用这样的工具，最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心； （2）如图2，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心．（保留作图痕迹）． 【答案】（1）两次；（2）详见解析． 【分析】（1）由垂径定理可得，CD所在直线是直径的位置，再根据两个直径的交点即为圆心即可解答； （2）连接AC、BC，分别作它们的垂直平分线其交点即为圆心． 【详解】解：（1）如图所示， 根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心． 故：两次； （2）在上任作一点，如图所示： 1．分别连接，． 2．分别作，的垂直平分线交于点， 则点即为所求． 【点睛】本题主要考查垂径定理的推论，掌握弦的垂直平分线经过圆心且平分这条弦所对的弧成为解答本题的关键． 21．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． (1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． (2)在图2中找到一个格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）由图可得，取格点，使，且，则，即． 【详解】（1）如图1，点即为所求； （2）如图2，点即为所求． 22．（19-20九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知△ABO中A（－1，3）、B（－4，0）. （1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△； （2）求△ABO外接圆圆心坐标； 【答案】（1）详见解析；（2）（-2，1） 【分析】（1）根据旋转的性质找出A，B的对应点A1，B1的位置，顺次连接即可得到△A1B1O； （2）求得线段AO的垂直平分线的解析式为y＝x＋，BO的垂直平分线为直线x＝−2，再解方程组，可得△ABO外接圆圆心坐标为（−2，1）． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1O即为所求； （2）∵A（−1，3）、B（−4，0）． ∴直线AO的解析式为y＝−3x， 又∵AO的中点坐标为（−，）， 设线段AO的垂直平分线的解析式为y＝x＋b，则， 解得b＝， ∴线段AO的垂直平分线的解析式为y＝x＋， 又∵BO的垂直平分线为直线x＝−2， 解方程组，可得， ∴△ABO外接圆圆心坐标为（−2，1）． 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换作图，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点． 23．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），顶点为点C．将抛物线绕点A旋转后得抛物线，其中顶点C的对应点为点E，点B的对应点为点D． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，连结，，，当是直角三角形时，求a的值； (3)如图2，是否存在外接圆面积的最小值，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）当时，求出点,,顶点,由抛物线绕点A旋转后得抛物线求得点，进而求得抛物线的解析式； （2）分和两种情况求解a的值即可； （3）先求出线段的垂直平分线为直线，得到点C的坐标为，设外接圆心为，可知当垂直于直线时，外接圆半径有最小值，此时外接圆半径为，得到，由再结合即可求得a的值． 【详解】（1）当时，抛物线：， 当时，， 解得，， ∴,, ∵， ∴顶点, ∵将抛物线绕点A旋转后得抛物线， ∴，，抛物线开口向下，形状不变， ∴，的二次项系数为， ∴点， ∴， ∴点， ∴抛物线为； （2）对于抛物线：， 当时，，即， 解得，， ∴,,对称轴为直线， 由（1）可知，，点，， 如图1，作于点H， 当时， ∵将抛物线绕点A旋转后得抛物线， ∴， ∵， ∴，， ∴点， 把点代入得，， 解得； 当时， ∵A为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，   把代入得，， 解得； ∴a的值为或； （3）由（2）可知，,,对称轴为直线，，点，， ∴线段的垂直平分线为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴设外接圆心为， 当垂直于直线时，外接圆半径有最小值，此时外接圆半径为，外接圆面积为， 此时， 由，即， 解得或， ∵， ∴， ∴存在外接圆面积的最小值，此时a的值为． 【点睛】此题是二次函数几何综合题，考查了二次函数图象和性质、图形的的旋转、直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理求距离等知识，综合性较强，数形结合是解题的关键． 24．（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线于点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求点P的坐标； (3)若的外接圆恰好经过点A，求此时点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先确定出，，再分两种情况解绝对值方程即可； （3）利用四个点在同一个圆上，得出过点，，的外接圆的圆心既是线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上，建立方程即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点， ，， ， 抛物线解析式为； （2），， 设直线解析式为， 则，解得：， 直线解析式为， 设， ，， ， ，， ①当时， ， 即：， 或（舍）或（舍）， ②当时， ， 即：， 或（舍）或（舍）， 即点P的坐标为：或； （3）直线解析式为，，， 线段的中点为， 线段的垂直平分线的解析式为， 过点，，的外接圆恰好经过点， 过点，，的外接圆的圆心既在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上， 是直角三角形， 过点，，，的圆心是的中点， ， ， ，， 点在直线的垂直平分线上， ， （舍）或， 此时点C的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，绝对值方程，四点共圆的特点，解本题的关键是，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$